2021-2022学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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2021-2022学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷 一．选择题（本题共12小题，共48分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 若，则下列不等式一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是(    )A.  B.
C.  D. 若分式有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 将点沿轴方向向左平移个单位，再沿轴方向向上平移个单位，所得的点的坐标是(    )A.  B.  C.  D. 如图，在平行四边形中，，则(    )A.
B.
C.
D. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )A.  B.
C.  D. 计算的结果是(    )A.  B.  C.  D. 如图，平分，于点，点是射线的一个动点，若，则的最小值为(    )A.
B.
C.
D. 不能判定一个四边形是平行四边形的条件是(    )A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行另一组对边相等
C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别相等如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，此时点在边上，则旋转角的大小为(    )
 A.  B.  C.  D. 把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到如图乙，此时与交于点，则线段的长为(    )
 B.  C.  D. 二．填空题（本题共6小题，共24分）分解因式：______．若分式的值为，则的值是______．如图，正方形的边在正五边形的边上，则______．
 若不等式的解集是，则的取值范围是______．如图，在平行四边形中，平分，若，，则的长为______．
 如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为，则点的坐标为______．
三．解答题（本题共9小题，共78分）解不等式，，并把它的解集表示在数轴上．
解不等式组：，并写出不等式组的整数解．把下列各式分解因式：
；
．计算：；
先化简，再求值：，其中．解方程：如图，四边形是平行四边形，、分别是、上的点，．
求证：四边形为平行四边形．
在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长个单位长度的正方形．
将沿轴方向向左平移个单位，画出平移后得到的；
将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的；直接写出点的坐标；
作出关于原点成中心对称的，并直接写出的坐标．
年月日晚，中国女足在第届亚洲杯决赛中以：逆转夺冠全国各地掀起了一股学女足精神的热潮．某学校准备购买一批足球，第一次用元购进类足球若干个，第二次又用元购进类足球，购进数量比第一次多了个，已知类足球的单价是类足球单价的倍．
求类足球的单价是多少元；
若学校需采购，两类足球共个，总费用不超过元，则类足球最多购买多少个？如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
求证：是等腰三角形；
若，，，求的周长．
发现如图，和均为等边三角形，点在边上，连接．
填空：
的度数是______；
线段、、之间的数量关系是______．
探究
如图，和均为等腰直角三角形，，点在边上，连接请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
如图，和均为等腰直角三角形，，点在的延长线上，连接，若，，求线段的长．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
 2.【答案】 【解析】解：、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由，得，原变形正确，故此选项符合题意；
D、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：．
利用不等式的性质对各选项进行判断．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 3.【答案】 【解析】解：、，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；
B、，不合题意；
C、，不合题意；
D、，从左到右是因式分解，符合题意．
故选：．
直接利用因式分解的意义分析得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握相关定义是解题关键．
 4.【答案】 【解析】解：要使分式有意义，必须，
解得，，
故选：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：将点沿轴方向向左平移个单位，
再沿轴方向向上平移个单位，所得的点的坐标是．
故选：．
根据平移的方法：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，即可得结论．
本题考查了坐标与图形变化平移，解决本题的关键是，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个整数，相应的新图形就是把原图形向右或向左平移个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加或减去一个整数，相应的新图形就是把原图形向上或向下平移个单位长度．即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 6.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，
又，
．
故选：．
根据平行四边形对角相等的性质进行分析．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等的性质是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
其解集在数轴上表示为：
．
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：原式．
故选：．
同分母分式减法，根据法则分母不变分子相减，再约分即可．
本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式加减运算法则是解题关键．
 9.【答案】 【解析】解：作于，
则此时最小，
平分，，，
，即的最小值为，
故选：．
作于，根据角平分线的性质解答．
本题考查的是角平分线的性质、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：、两组对边分别平行，可判定该四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、一组对边平行另一组对边相等，不能判定该四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故B符合题意；
C、一组对边平行且相等，可判定该四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D、两组对边分别相等，可判定该四边形是平行四边形，故D不符合题意
故选：．
根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案．
此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
 11.【答案】 【解析】解：，，
，
绕点按顺时针方向旋转后得到，
，
，
在中，，
旋转角是．
故选：．
根据直角三角形两锐角互余求出，再根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等列式求出，再根据旋转角等于对应边、的夹角解答．
本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并求出是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：，，
，
，
旋转角为，
，
又，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，．
故选：．
先求出，再根据旋转角求出，然后判断出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出、，，再求出然后利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出是解题的关键，也是本题的难点．
 13.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 14.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了分时值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为，这两个条件缺一不可．
分式的值为的条件是：分子为；分母不为，两个条件需同时具备，缺一不可，据此可以解答本题．
【解答】
解：由分式的值为，得
且，
解得，
故答案为．  15.【答案】 【解析】解：五边形为正五边形，
，
四边形为正方形，
，
．
故答案为：．
根据多边形内角和公式，计算出正五边形中，，正方形中，，即可．
本题考查了多边形内角和公式，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查对不等式的性质，解不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质和解集得出是解此题的关键．
根据不等式的性质和解集得出，求出即可．
【解答】
解：不等式的解集是，
，
即．
故答案为．  17.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
根据平行四边形性质得出，，推出，求出，推出，即可求出的长．
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：把沿轴向右平移到，
四边形是平行四边形，
，和的纵坐标相同，
四边形的面积为，点的坐标为，
，
，
，
故答案为．
根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得和的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得的坐标．
本题考查了坐标与图形的变换平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
 19.【答案】解：，
，
，
，
，
，
把它的解集表示在数轴上为：

，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为：，． 【解析】去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为，依此解不等式，并把它的解集表示在数轴上即可求解；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键，解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．
 20.【答案】解：原式
；
原式
． 【解析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 21.【答案】解：


；


，
当时，原式． 【解析】先通分，然后再化简即可；
先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．
 22.【答案】解：原方程可变为：，
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
原方程的解为． 【解析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
在和中，
，
≌，
，
，
即，又，
四边形为平行四边形． 【解析】首先根据四边形是平行四边形，可得，，，，然后再证明≌可得，进而证明，从而可得四边形为平行四边形．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等且平行．
 24.【答案】解：如图所示．
如图所示，点．
如图所示，的坐标．
 【解析】分别作出，，的对应点，，即可．
分别作出，，的对应点，，即可．
分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 25.【答案】解：设类足球的单价是元，则类足球的单价是元，
根据题意得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
答：类足球的单价是元；
设购类足球个，则购类足球个，
根据题意得，，
解得，，
答：类足球最多购买个． 【解析】设类足球的单价是元，则类足球的单价是元，根据第一次用元购进类足球若干个，第二次又用元购进类足球，购进数量比第一次多了个列方程即可得到结论；
设购类足球个，则购类足球个，根据总费用不超过元列不等式即可得到结论．
此题主要考查了分式的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
 26.【答案】证明：，
，．
平分，
．
．
．
是等腰三角形．
是的中点，
．
，
．
由对顶角相等可知：．
在和中
≌．
．
，
．
．
的周长． 【解析】首先依据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形；
首先证明≌，从而得到的长，然后可求得的长，于是可求得的周长．
本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．
 27.【答案】   【解析】解：在中，，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
；
故答案为：；

≌，
，
，
；
故答案为：；

；．
理由：和均为等腰直角三角形，，
，，，
即．
≌．
，．
．
在等腰直角三角形中，，
，
；

由知，≌．
，．
．
在等腰直角三角形中，，
，，
，
在中，根据勾股定理得，．
由≌以及等边三角形的性质，得出，则；
由≌，得出，则得出；
证明≌可得出，则结论得出；
同的方法得出，最后用勾股定理求解，即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．