2021-2022学年山东省济南市高新区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省济南市高新区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若分式的值为零，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在平行四边形中，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，点，的坐标分别为，，将三角形沿轴向右平移，得到三角形，已知，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成个三角形，则此多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 多项式可分解为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知关于的分式方程无解，实数的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

11. 如图，把放在直角坐标系内，其中，点、的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线时，线段扫过的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，已知中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，交于点，交、于点、，则以下结论：
    ≌；
    连接、，则；
    当时，的长度最大；
    当点是的中点时，四边形的面积等于．
    其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 把多项式分解因式的结果为______．
14. 正十二边形的一个外角的度数为______．
15. 当______时，分式与相等．
16. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则______度．

17. 如图，直角三角形的周长为，在其内部有个小直角三角形，则这个小直角三角形周长的和是______．

18. 如图，在平行四边形中，，，，点在边上，且，点在线段上，点在线段的延长线上，且，连接交于点，过点作于，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

19. 化简：
20. 在正方形的网格中，每个小正方形的边长为个单位长度，的三个顶点，，都在格点正方形网格的交点称为格点现将平移．使点平移到点，点、分别是、的对应点．
    分别连接，，则与的数量关系为______，位置关系为______．
    求四边形的面积．

21. 如图，已知、是▱对角线上的两点，并且．
    求证：四边形是平行四边形．

22. 阅读下列解题过程，然后解题：
    题目：已知、、互不相等，求的值．
    解：设，则，，，
    ，．
    依照上述方法解答下列问题：
    已知：，其中，求的值．
23. 如图，点是平行四边形对角线上一点，点在延长线上，且，与交于点．
    求证：；
    若垂直平分，，求的长．

24. 在新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了、两种不同型号的口罩，已知每个型口罩的进价比每个型口罩的进价少元，且用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同．
    、两种型号口罩的进价各是多少元？
    若该商公司购进型口罩的数量比购进型口罩的数量的倍还少个，且购进、两种口罩的总数量不超过个，则该公司最多购进型口罩多少个？
25. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
    例如：．
    根据以上材料，解答下列问题．
    分解因式：；
    求多项式的最小值；
    已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
26. 阅读理解
    材料：为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：

从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．
根据上述材料完成下列问题：
当时，随着的增大，的值______增大或减小；
当时，随着的增大，的值______增大或减小；
当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
当时，求代数式值的范围．

27. 如图，在等腰三角形中，，，，连接，点、、分别为、、的中点．
    当时，
    观察猜想：图中，点、分别在边、上，线段、的数量关系是______，的大小为______；
    探究证明：把绕点顺时针方向旋转到如图所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由；
    拓展延伸：当时，，时，把绕点在平面内自由旋转，如图，请求出面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
C.从左到右的变形是整式乘法运算，不是分解因式，故本选项不符合题意；
D.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是分解因式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：分式的值为零，
，
解得．
故选：．
分式的值为的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于此题考查的是对分式的值为的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为这个条件，所以常以这个知识点来命题．
 

4.【答案】 

【解析】解：在▱中有：，，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形对角相等即可求出，进而可求出．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：的坐标为，
，
，
，
向右平移了个单位长度，
点的坐标为，
点的坐标为：．
故选：．
直接利用对应点的变化，进而得出平移距离，即可得出答案．
此题主要考查了坐标与图形变化，正确得出平移距离是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B正确，符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据完全平方式的结构或的形式，即可作出判断．
本题考查了完全平方式的结构，正确理解结构是判断的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：这个多边形的边数是．
故选：．
边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答．
本题考查多边形的对角线规律，解题的关键是利用多边形的对角线把多边形分成个三角形，本题属于基础题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
直接利用分式的基本性质约分得出答案．
此题主要考查了约分，正确掌握分式的基本性质是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
可得．
故选：．
因式分解的结果利用多项式乘多项式的运算法则计算，利用多项式相等的条件求出的值即可．
此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：
方程两边都乘以，得：

整理，得：，
无解，就是，
，或．
故选C．
分式方程无解，就是考虑两个方面，一是增根，二是化成的一元一次方程的系数为．
本题考查的是分式方程无解的情况，关键是化为一元一次方程，把增根让分母等于的数代入整式方程．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图所示．

点、的坐标分别为、，
，
，，
．
．
点在直线上，
，解得．
即．
．
．
即线段扫过的面积为．
故选：．
根据题意，线段扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是的长，底是点平移的路程．求当点落在直线上时的横坐标即可．
此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为一平行四边形的面积．
 

12.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，故正确；
≌，
，，

，
，
，
≌，
，
垂直平分，故正确；
由，
是定长，
最小时，最长，
即时，最大．故正确；
当点是的中点时，有，
，，
且是公共边，
≌
，故正确．
故选：．
根据直接可证≌，可判断；证，，可证垂直平分，可判断正确；当最小时，最长，即时，最大．可判断正确；，可判断正确．
本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质等知识，抓住全等进行转化是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】正十二边形的一个外角为．
故答案为：．
根据正十二边形的每个外角都相等，且外角和为解答即可．
本题主要考查多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：分式与相等，
，
方程两边同时乘，得，
移项得，，
合并同类项得，，
经检验，是方程的解，
故答案为：．
由题意可得方程，解出方程得，再对所得的解进行检验即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对方程根的检验是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：把绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
，，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意得：
这个小直角三角形周长的和等于直角三角形的周长，
故答案为：．
根据平移的性质可得，这个小直角三角形周长的和等于直角三角形的周长，即可解答．
本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交于，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
矩形中，，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
故答案为：．
过点作交于，根据两直线平行，同位角相等可得，两直线平行，内错角相等可得，根据等边对等角可得，然后求出，根据等角对等边可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而求出，根据矩形的对边相等可得，再利用勾股定理列式求出，然后求出，再次利用勾股定理列式计算即可求出，从而得解．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：如图，

由平移的性质可得：
，，
故答案为：，；
四边形由，和平行四边形构成，每个小正方形的边长为个单位长度，


，
四边形的面积为．
由平移性质即可求解；
四边形由，和平行四边形构成，先求出，和平行四边形的面积，相加即可求解．
本题考查平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用转化的思想解决问题．
 

21.【答案】证明：如图，连接交于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】连接交于，由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设，
则：，
得：，
，
，
原式． 

【解析】根据提示，先设比值为，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出的值是，然后把代入所求代数式．
本题主要考查分式的基本性质，重点是设“”法．
 

23.【答案】证明：连接，交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
即；
解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
垂直平分，
，，，
，
，，
，，
，，
，
，
． 

【解析】连接，交于点，证出是的中位线，得，即；
求出，，则，，得，，再求出的长，然后由勾股定理求解即可．
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、含角的直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：设型口罩的进价为元，则型口罩的进价为元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意．
则，
答：型口罩的进价为元，型口罩的进价为元；
设该公司购进型口罩个，则购进型口罩个，
由题意得：，
解得：，
答：该公司最多购进型口罩个． 

【解析】设型口罩的进价为元，则型口罩的进价为元，由题意：用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设该公司购进型口罩个，则购进型口罩个，由题意：购进、两种口罩的总数量不超过个，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：；
，
，
，
多项式的最小值为；
，
，
即，
，
，，，
的周长为． 

【解析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
根据阅读材料中的方法分解即可；
根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可；
原式配方后，利用非负数的性质即可求解．
 

26.【答案】减小  减小 

【解析】解：当时随着的增大而减小，
随着的增大，的值减小；
当时随着的增大而减小，
，
随着的增大，的值减小，
故答案为：减小，减小；
，
当时，的值无限接近，
的值无限接近；
，
又，
，
．
由、的变化情况，判断、的变化情况即可；
由，即可求解；
由，再结合的取值范围即可求解．
本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
 

27.【答案】   

【解析】解：，，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，，
，
，
，
故答案为：，；
是等边三角形，理由如下：
由旋转的性质得：，
，，
≌，
，，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，，
，
，
，
是等边三角形；
由题意得：，即，
同得：，，，
，是等腰直角三角形，
，
当时，最大，
此时，如图所示：
，
面积的最大值为．
易证是的中位线，是的中位线，得出，，，，则，推出，即可得出结果；
先证≌，得出，，再证是的中位线，是的中位线，得出，，，，则，推出，即可得出是等边三角形；
易证，同得，，，则，是等腰直角三角形，当时，面积的最大值，即可得出结果．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质、等边三角形的判定、三角形面积的计算得知识；熟练掌握旋转的性质和三角形中位线定理是解题的关键．