2021-2022学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. “冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳结合，体现了冬季冰雪运动与现代科技的特点．将如图所示的“冰墩墩”图案平移后可以得到(    )

A.
B.
C.
D.

2. 若，则下列式子中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 年月日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，为迎接航天英雄，同学们设计了他们喜欢的航空飞行器的图案．其中，属于中心对称的图案设计是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列分式中，属于最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 要使分式有意义，的取值应满足(    )

A.  B. 且
C.  D.

6. 非菲为了推理出七边形的内角和，将七边形的某一个顶点分别与其他各顶点相连，这样把原来的七边形分割成了个三角形，最终求出七边形内角和是．(    )

A.  B.  C.  D.

7. 矩形在平面直角坐标系中如图所示，若矩
   形平移，使得点到点的位置，平移后矩形顶点的对应点的坐标是
   (    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，边，相交于点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 某小区人进行核酸检测，由于组织有序，居民积极配合，实际每小时检测人数比原计划增加人，结果提前小时完成任务．若原计划每小时检测人，可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

11. 如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转拼到下方．类似地，现有如图所示的四边形，，若，，、分别是和的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在正方形外取一点，连接，，过点作的垂线交于点若，，则点到直线的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 分解因式：______．
14. 如图，点在的平分线上，于点，且，如果是射线上一点，那么线段长度的最小值是______．

15. 如图，在平行四边形中，、相交于点，，，，则的长为______．

16. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为______．

17. 在冬奥会单板滑雪项目中，运动员的空中姿态优美飘逸．如图，在平面直角坐标系中，将我国运动员的初始位置用标记，则他在空中的运动可看成从初始位置绕某旋转中心逆时针旋转一定角度后到达另一位置，记为，在这一过程中，旋转中心的坐标是______．

18. 如图，在平行四边形中，为中点，连接，为中点，连接，若，，，则的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共78分）

19. 因式分解：
    ；
    ．
20. 解下列分式方程：
    ；
    ．
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点点、在对角线上，且，连接、求证：．

23. 如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为，．
    若与关于点成中心对称，请直接写出对应点、的坐标；
    将绕点逆时针旋转度，得到，请画出旋转后的．

24. 年月日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，创造了又一个彪炳史册的奇迹，某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵元，用元购买乙种树苗的棵数恰好与用元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．
25. 如图，已知是等边三角形，为上一点，连接将旋转，使点落在上的点处，点落在上方的点处，连接．
    求证：四边形是平行四边形．

26. 在小学，我们学习过能被整除的数的规律，其实这个结论可以用因式分解的方法证明．
    请你判断 ______填能或不能被整除；
    为什么可以用各数位上的数字之和判断一个数能不能被整除呢？小明先选了一个能被整除的四位数“”试着进行推理：

现在，设是个四位数，其个位、十位、百位、千位上的数字分别是，，，，请你借鉴小明的思路，证明：若“”能被整除，则能被整除；
定义：一个自然数按从右往左的第、、、、数位，我们称为奇位，按从右往左的第、、、、数位，我们称为偶位．例如：一个四位数，其个位与百位即奇位，十位与千位为偶位．奇位和就是把所有位于奇位上的数字相加，偶位和就是把所有位于偶位上的数字相加．请证明，若的偶位和与奇位和的差是的倍数，则能被整除．

27. 如图，两个等腰直角三角形、的顶点重合，其中，连接，取中点，连接，小红想分析当绕着点旋转时，图形的基本元素之间有什么不变的关系．
    
    如图，当、、三个点共线时，请猜测线段、的数量关系，并直接写出．
    将绕着点顺时针旋转一定角度至图位置，小红根据“中点”这个条件，想到取与的中点、，分别与点相连，再连接，，最终利用≌证明了中的结论仍然成立．请你思考当绕着点继续顺时针旋转至图位置时，中的结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
    连接，在绕点旋转一周的过程中，的面积也随之变化．若，，请直接写出面积的最大值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：观察各选项图形可知，选项的图案可以通过原图形平移得到．
故选：．
根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
本题主要考查了利用平移设计图案，掌握平移的特征是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，原变形正确，故本选项符合题意；
B.，
，原变形错误，故本选项不符合题意；
C.，，
，原变形错误，故本选项不符合题意；
D.，
，原变形错误，故本选项不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义，对每个图形分析、解答．
本题主要考查了中心对称图形，熟记中心对称图形的定义是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：原式，不符合题意；
B.原式，不符合题意；
C.原式，不符合题意；
D.原式为最简分式，符合题意．
故选：．
利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，判断即可．
此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：要使分式有意义，的取值应满足，
解得，
故选：．
分式有意义的条件是分母不等于零．
本题主要考查了分式有意义的条件，解题时注意分式的分母不等于零，否则无意义．
 

6.【答案】 

【解析】解：从七边形的某一个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，可以把七边形分为个三角形．
故答案为：．
从边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个边形分割成个三角形．据此解答即可．
本题考查多项式的对角线的相关知识．明确过边形一个顶点作对角线，最多可把边形分成个三角形是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点，点，
点的横坐标向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，即可得到点，
平移后矩形顶点的对应点的坐标是，
故选：．
根据平移的特点，可以得到点到点是如何平移的，然后即可写出点的对应点的坐标．
本题考查矩形的性质、坐标与图形变化平移，解答本题的关键是发现点如何平移得到点．
 

8.【答案】 

【解析】解：不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B.是三项不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
C.两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，不符合题意
D.是与的平方的差，能用平方差公式分解因式，符合题意．
故选：．
能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
故选：．
将绕点顺时针旋转得到，得，，
本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据“结果提前小时完成任务”列分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接并延长，交延长线于，如图：

，
，，
是中点，
，
≌，
，，
，
是中点，
是的中位线，
，
故选：．
连接并延长，交延长线于，由，得，，又是中点，即可得≌，有，，即知，是的中位线，从而可得答案．
本题考查三角形中位线，梯形中位线，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

12.【答案】 

【解析】解：
，，
，
又，，
在和中，
，
≌，
过作，交的延长线于，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点到直线的距离是．
故选：．
利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证≌，过作，交的延长线于，利用中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、．
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、勾股定理的运用等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
由于原式子中含有公因式，可用提取公因式法求解．
本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

点在的平分线上，于点，且，
，
即长度的最小值是，
故答案为：．
过点作于点，根据角平分线的性质解答即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
，
故答案为：．
由平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，，又由，根据勾股定理，即可求得的长．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为正多边形内角和为，正多边形每个内角都相等，
所以正五边形的每个内角的度数为，
正六边形的每个内角的度数为．
的度数为：．
故答案为：．
先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是即可求出的大小．
本题主要考查了多边形的内角和公式．熟练掌握正多边形的性质，多项式的内角和公式是解决问题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，旋转中心．

故答案为：．
线段，线段的垂直平分线的交点为旋转中心．
本题考查坐标与图形变化旋转，坐标确定位置等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，，分别交平行四边形四条边为，，，，
得平行四边形，，，

为中点，
是的中点，是的中点，
为中点，，
，
，
，
是的中点，，
，
过点作于点，

，
，
，，
，
．
故答案为：．
过点作，，分别交平行四边形四条边为，，，，得平行四边形，，，根据为中点，可得是的中点，是的中点，过点作于点，根据，可得，根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
 

19.【答案】解：

；


． 

【解析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

20.【答案】解：方程两边同乘以，
得，
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解；
方程的两边同乘以，
得，
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解． 

【解析】分式方程的两边同乘以去分母，解方程得出的值，再进行检验即可．
分式方程的两边同乘以去分母，解方程得出的值，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，解题的关键是能够熟练去分母，不要漏乘常数，不要漏写检验．
 

21.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】根据异分母的分式加减法法则，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握异分母的分式加减法法则是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
．
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据平行四边形性质得出，，推出，根据推出≌即可．
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出≌．
 

23.【答案】解：点的坐标为，点的坐标为；
如图，为所作．
 

【解析】根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

24.【答案】解：设每棵甲种树苗的价格为元，则每棵乙种树苗的价格为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每棵甲种树苗的价格为元，每棵乙种树苗的价格为元． 

【解析】设每棵甲种树苗的价格为元，则每棵乙种树苗的价格为元，利用数量总价单价，结合用元购买乙种树苗的棵数恰好与用元购买甲种树苗的棵数相同，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

25.【答案】证明：是等边三角形，
，；
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
、、均为等边三角形，
，
，，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据已知条件可以判定、均为等边三角形，由等边三角形的三个内角相等、三条边相等，进而得到三个三角形、、是等边三角形，可以推知同位角，内错角所以利用平行的线的判定定理可以证得四边形的对边相互平行．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及平行四边形的判定．平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边相互平行的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

26.【答案】能 

【解析】解：



，
能被整除，
能被整除，
故答案为：能；

证明：


，
能被整除，
若“”能被整除，则能被整除；

，
能被整除，
若“”能被整除，
即若的偶位和与奇位和的差是的倍数，则能被整除．
根据因式分解的方法判断即可得出答案；
根据因式分解的方法判断即可得出答案．
此题主要考查了数的整除，理解用因式分解法判断整除问题是解本题的关键．
 

27.【答案】解：．
连接，

和是等腰直角三角形，
，，，
，
为的中点，
，
又，
≌，
，
同理≌，
，
，
；
成立，．
如图，取的中点，的中点，连接，，，，

是等腰直角三角形，，
，，，
是等腰直角三角形，，
，，，
，分别是和的中点，
是的中位线，
，，
，分别是和的中点，
是的中位线，
，，
，，
又，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
≌，
；
由知：是等腰直角三角形，

当最大时，的面积最大，
，
当、、共线时，最大，
．
即面积的最大值是． 

【解析】连接，由等腰直角三角形的性质证出，得出，则可得出结论；
取的中点，的中点，连接，，，，由三角形中位线定理证出四边形是平行四边形，得出，证明≌，由全等三角形的性质得出；
当最大时，的面积最大，由等腰直角三角形的性质及三角形面积公式可得出答案．
本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．