2021-2022学年广东省东莞市可园中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省东莞市可园中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 二次根式中字母的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 在下列四个函数中，是正比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在▱中，平分，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在矩形中，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，菱形的对角线，，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知一组数据：，，，，，，，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 关于函数，下列结论正确的是(    )

A. 图象必经过 B. 随的增大而增大
C. 图象经过第一、二、三象限 D. 当时，

10. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边中线的长是______．
12. 如图，以原点为圆心，为半径画弧交数轴于点，，则点所表示的数是______．

13. 将直线向下平移个单位长度，所得直线的解析式为______．
14. 如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加______条件，才能保证四边形是矩形．

15. 某校生物小组人到校外采集标本，其中人每人采集到件，人每人采集到件，人每个采集到件，则这个小组平均每人采集标本______件．
16. 若一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差为______．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 计算：．
19. 小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
    小红家到舅舅家的路程是______米，小红在商店停留了______分钟；
    小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是______米分，最慢速度是______米分；
    本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了______米，一共用了______分钟．

20. 如图，在四边形中，，、是对角线上的两点，，，求证：四边形是平行四边形．
     

21. 某校八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况，并统计绘制成了如图两幅不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：
    本次共抽查学生______人，并将条形图补充完整；
    捐款金额的众数是______，中位数是______；
    在八年级名学生中，捐款元及以上含元的学生估计有多少人？

22. 如图，直线交轴、轴于点、，直线交、轴于点、，两直线交于点．
    求点的坐标；
    求的面积；
    根据图象直接回答：当为何值时，？

23. 如图，将▱的边延长到，使，连接，交于点．
    求证：；
    若，求证：四边形为矩形．

24. 如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使、分别落在、轴的正半轴上，其中，对角线所在直线解析式为，将矩形沿着折叠，使点落在边上的点处．
    
    求点的坐标；
    求的长度；
    点是轴上一动点，是否存在点使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
25. 如图，在平行四边形中，平分，交边于点，，交于点，点是边的中点，连接，且，与交于点，过点作于点．
    求证：四边形是菱形；
    若，求的长；
    求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解二次根式有意义，
，解得：．
故选：．
根据二次根式中的被开方数是非负数列不等式求解即可．
本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式的运算，逐项计算找出正确的一项即可．
【解答】
解：、原式，所以选项正确；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项错误；
D、原式，所以选项错误．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、因为，故不是勾股数；故此选项错误；
B、因为，故三角形是直角三角形．故此选项正确；
C、因为，故不是勾股数；故此选项错误；
D、因为，故不是勾股数．故此选项错误；
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据正比例函数的定义，是正比例函数，
故选：．
根据正比例函数的定义条件：为常数且，自变量次数为，即可得出答案．
本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
，，
，，
平分，
，
，
，
故选：．
首先由在▱中，，，求得的长，然后由平分，可证．
本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
；
故选：．
由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出即可．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：
四边形为菱形，
，，且，
，
菱形的周长，
故选：．
由菱形的性质可求得、，在中利用勾股定理可求得，则可求得其周长．
本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数．
根据这组数据是从大到小排列的，找出最中间的数即可．
【解答】
解：，，，，，，，从大到小排列为，，，，，，，
处于最中间的数是，
这组数据的中位数是；
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：根据一次函数的性质，依次分析可得，
A、时，，故图象必经过，故错误，
B、，则随的增大而减小，故错误，
C、，，则图象经过第一、二、四象限，故错误，
D、当时，，正确；
故选：．
根据一次函数的性质，依次分析选项可得答案．
本题考查一次函数的性质，注意一次函数解析式的系数与图象的联系．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
设，则，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故正确；
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
平分，
，故正确；
，
，
，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
≌，
，故正确；
≌，
，，
，
，
，故正确；
综上所述，正确的是共个，
故选：．
设，则，用表示出长度可判断；证明即可判断；证明≌可判断；用含的式子表示与比较即可判断．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；设，用含的式子表示出相关的线段是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：已知直角三角形的两直角边为、，
则斜边长为，
故斜边的中线长为，
故答案为．
已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了斜边中线长为斜边长的一半的性质，本题中正确的运用勾股定理求斜边的长是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示：，
故点所表示的数是：．
直接利用勾股定理得出的长，进而得出点所表示的数．
此题主要考查了实数与数轴，正确利用勾股定理是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：将直线向下平移个单位长度，所得直线的解析式为，即．
故答案为：．
直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角形的中位线定理和矩形的四个角都是直角的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．根据三角形的中位线平行于第三边，，，根据平行线的性质，，根据矩形的四个角都是直角，，所以，因此．

【解答】

解：、、分别是、、的中点，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
．
故还要添加，才能保证四边形是矩形．

故答案为．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意，可得这个小组平均每人采集标本：
件．
故答案为．
运用加权平均数公式即可求解．
本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
数据的方差，
故答案为：．
先由平均数的公式计算出的值，再根据方差的公式计算．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

17.【答案】 

【解析】解：根据图形可知，
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；

点的坐标为；
点的坐标是
故答案为：
利用前几个点的特点，找到点的规律即可．
本题考查的是一次函数的应用和点的坐标规律，解题的关键是正比例函数的横纵坐标相等．
 

18.【答案】解：


． 

【解析】利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键．
 

19.【答案】           

【解析】解：根据图象舅舅家纵坐标为，小红家的纵坐标为，
故小红家到舅舅家的路程是米；
根据题意，小红在商店停留的时间为从分到分，故小红在商店停留了分钟．
故答案为：，；
根据图象，时，图象最陡，故小红在分钟最快，速度为米分；
时，图象最慢，速度为米分；
故答案为：；；
读图可得：小红共行驶了米，共用了分钟．
故答案为：；．
根据图象，路程的最大值即为小红家到舅舅家的路程；读图，对应题意找到其在商店停留的时间段，进而可得其在书店停留的时间；
分析图象，找函数变化最快和最慢的部分，可得小红骑车速度最快的时间段，进而可得其速度；
分开始行驶的路程，折回商店行驶的路程以及从商店到舅舅家行驶的路程三段相加即可求得小红一共行驶路程；读图即可求得本次去舅舅家的行程中，小红一共用的时间．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
即，
，
在和中，，
≌，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】证出，由证明≌，得出，即可得出四边形是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：本次抽查的学生有：人，
则捐款元的有人，
补全条形统计图图形如下：

故答案为：；

由条形图可知，捐款元人数最多，故众数是；
将这组数据按照从小到大的顺序排列，中间两个数据分别是，，所以中位数是．
故答案为：，；

捐款元及以上含元的学生有：人．
有题意可知，捐款元的有人，占捐款总人数的，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款、、、元的人数可得捐元的人数；
从条形统计图中可知，捐款元的人数最多，可知众数，将这组数据按照从小到大的顺序排列，处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
由抽取的样本可知，用捐款及以上的人数所占比例估计总体中的人数．
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，众数和中位数，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：解得，
；

当时，解得：，
，
当时，解得：，
，
，
；

由图象可知，当时，． 

【解析】联立两函数解析式，解方程组可得；
先根据函数解析式求得点、的坐标，即可得线段的长，再根据三角形面积公式计算可得；
根据图象即可求得．
本题主要考查两直线相交或平行的问题，解题的关键是根据两直线解析式求得两者交点的坐标及其与轴的交点坐标．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
；
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】证明四边形是平行四边形，可得；
由平行四边形的性质，三角形外角性质可得，再证，即可得出平行四边形是矩形．
本题考查了矩形的判定，等腰三角形的判定，平行四边形的判定和性质等知识；证明是解题的关键．
 

24.【答案】解：，四边形是矩形，
，
，代入得到，
直线的解析式为，
令，得到，
，．
在中，，，
，
，
设，
在中，，
，
，


如图作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时的周长最小．

，
，
设直线的解析式为，则有
解得
直线的解析式为，
 

【解析】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，难度较大
根据点的坐标确定的值，利用待定系数法求出点坐标即可解决问题；
在中，，，，，设，在中，根据，构建方程即可解决问题；
如图作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小．利用待定系数法求出直线的解析式即可解决问题；
 

25.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
四边形是菱形；

，，
，
，
，
，
四边形是菱形；
；

连接交于点，
是中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
即，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由在平行四边形中，，可得四边形是平行四边形，又由平分，易得是等腰三角形，继而证得四边形是菱形；
由，可得，即是等腰三角形，又由，可得，继而求得的长；
首先连接交于点，易得是等边三角形，继而可得，，则可证得结论．
此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．