2021-2022学年河南省郑州市高新区八年级（下）期末数学试卷-（含解析）

2021-2022学年河南省郑州市高新区八年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 习近平主席在年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，则下列不等式不一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列命题的逆命题是真命题的是(    )

A. 如果，则 B. 对顶角相等
C. 平行四边形的一组对边相等 D. 等边三角形的三个内角都相等

4. 阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如果，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，、、分别平分、、，，的周长为，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形从一个顶点可以作条对角线．(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为、，周长为，面积为，请计算的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含角的直角三角板长直角边重合于，，，，点在边上运动，点在边上运动，连接，，分别作出和边的中点和，测得的最小值是，则最长的斜边的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法：对于函数，随的增大而减小；函数不经过第四象限；不等式的解集是其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 请写出一个符合条件的含有字母的分式：______条件：不论取何值时，该分式都有意义
12. 请写出一个多项式，并把它进行因式分解．要求第一步先提公因式，第二步能运用公式分解因式
    请写出该多项式及分解的结果：______．
13. 已知中，，求证：下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
    所以，这与三角形内角和为矛盾；
    因此假设不成立，所以；
    假设在中，；
    由，得，即．
    这四个步骤正确的顺序应是______填序号
14. 如图是关于的完整函数图象，请你根据所学函数知识，观察函数图象，直接写出当时，自变量的取值范围是______．

15. 如图，，点，在射线上，且，，是射线上的动点，是线段的中点，则线段长的最小值为______．

三．解答题（本题共7小题，共75分）

16. 请用简便方法计算：．
    先化简，再求值：，其中．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
    直接写出点关于原点对称的点的坐标：______；
    平移，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的；
    画出绕原点逆时针旋转后得到的．

18. 如图，在中，，请根据要求完成以下任务：
    利用直尺与圆规，作线段的垂直平分线交、于点、，连接；
    利用直尺与圆规，作的角平分线交于点；
    若，求的度数．

19. 如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点与点重合，点的落点记为点，折痕为，连接 
    求证：四边形是菱形；
    若，，，求线段的长．

20. 为做好新冠肺炎的防控工作，某中学决定购买，两种防疫物资．已知防疫物资比防疫物资每件多元，预算资金为元，其中元购买物资，其余资金全部用于购买物资，且购买物资的数量是物资数量的倍．
    求，两种防疫物资的单价是多少元；
    学校去购买防疫物资时，为协助学校更好地做好防疫工作，防疫部门决定对，两种防疫物资均按原价八折销售给学校，若学校决定购买，两种防疫物资共件，在不超过预算资金的情况下，求最多可以购买种防疫物资的数量是多少．
21. 已知如果将分式的分子、分母都加上同一个不为的数后，所得分式的值比是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究．
    举例：比较大小： ______；
    当所加的这个数为时，请通过计算说明你的结论；
    当所加的这个数为时，你能得到什么结论？请说明理由．
22. 平移、旋转与翻折是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移、旋转与翻折只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换．小明发现，在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化．
    对称变换：如图，已知正方形的边长为点、在对角线上，点、在边上，点、在边上，且，，求阴影部分的面积；
    小明将正方形沿翻折，得到如图所示的，他发现图中阴影部分的面积就等于图中的面积，所以图中阴影部分的面积为______；
    平移变换：如图，已知长方形中，，，点、、、分别在、、、上，且，，与交于点，求阴影部分的周长；小明将平移到，平移到，快速地求出了阴影部分的周长为______；
    
    如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积；
    如图，≌，且、、在一条直线上，，设，直线上方有一点满足且，连接，当______时，取得最大值，的最大值为______注：点、、均在直线上方
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、当时，不正确，故此选项符合题意；
B、不等式两边同时加，不等号方向不变，正确，故此选项不符合题意；
C、因为，所以原变形正确，故此选项不符合题意；
D、不等式两边同时加，不等号方向不变，正确，故此选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：、逆命题为：如果，则，为假命题，例如当，时就不成立，不符合题意；
B、逆命题为：相等的角为对顶角，为假命题，不符合题意；
C、逆命题为：一组对边相等的四边形是平行四边形，错误，为假命题，不符合题意；
D、逆命题为：三个角相等的三角形为等边三角形，为真命题，符合题意；
故选：．
先写出逆命题，再根据对顶角的性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，不等式的基本性质等知识逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握对顶角的性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，不等式的基本性质等知识是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：
，
解得：，
故选：．
根据题意可得，即可求解．
本题考查解一元一次不等式，解题的关键是理解题意，得出不等式．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，于，

、的平分线，，
，，
，
的周长为，
的面积．
故选：．
过点作于，于，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得，再根据三角形面积计算即可得解．
本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设这个多边形有条边，由题意得：
，
解得：，
从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数
是，
故选：．
首先设这个多边形有条边，由题意得方程，再解方程可得到的值，然后根据边形从一个顶点出发可引出条对角线可得答案．
本题考查了多边形的内角和外角，多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．
 

7.【答案】 

【解析】解：长方形的边长为、，周长为，面积为，
，，
，




，
，
，
原式

．
故选：．
根据长方形的周长和面积求出和的值，根据完全平方公式的变形得到的值，对多项式进行因式分解，整体代入求值即可．
本题考查了因式分解提公因式法，掌握是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，
点和分别为和边的中点，
，
的最小值是，
的最小值是，
由题意可知，当点与点重合时，最小，
，
，
在中，，
则．
故选：．
连接，根据三角形中位线定理求出，根据题意求出，解直角三角形得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、解直角三角形，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
，则，对于函数来说，随的增大而减小，故正确；
，则，则函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故错误；
由可得，故不等式的解集是，故正确；
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作，

菱形中，，
当点在边上运动时，的值不变，
，即菱形的边长是，
，即．
当点在上运动时，逐渐减小，
，
．
在中，，，，
，解得．
故选：．
过点作，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求．
本题考查菱形的性质，根据图象分析得出的值是解题关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：要使分式有意义，分母不为若不论取任何实数，该分式都有意义，则不论取什么值，分母都不为，
例如答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
分式有意义，分母不为，若不论取任何实数，该分式都有意义，则分母不论取任何实数，分母都不为，据此写出满足条件的分式．
本题主要考查分式有意义的条件的知识点，注意分式有意义，分母不为．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：能用平方差公式分解因式的多项式可以是，
能提取公因式可以是，
故答案为：答案不唯一．
根据提公因式法和平方差公式即可得出答案．
本题考查了因式分解提公因式法和运用公式法，掌握平方差公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：、假设在中，，
、由，得，即，
、，这与三角形内角和为矛盾，
、因此假设不成立．，
故答案为：．
根据反证法的一般步骤判断即可．
本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
 

14.【答案】或 

【解析】解：由题意得，此函数图象位于轴下方部分时或，
故答案为：或．
根据函数图象位于轴下方部分可确定此题结果．
此题考查了从函数图象中获取相关信息的能力，关键是能理解相关知识，并能准确读图．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，取的中点，连接，
又是的中点，
是的中位线，
，
，即点在过点且平行于的直线上运动，
如图，当时，，依据垂线段最短可知，此时最短，
，，是的中点，
，
中，，
故答案为：．
取的中点，连接，依据三角形中位线定理即可得到，进而得出，即点在过点且平行于的直线上运动；再根据当时，，可得最短；最后根据的长即可得到的长．
本题考查的是三角形中位线定理以及垂线段最短的运用，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边．取的中点，构造中位线，得到点在过点且平行于的直线上运动是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；

原式

，
当时，
原式
． 

【解析】直接利用完全平方公式计算，进而得出答案；
直接将括号里面通分运算，再利用分式的除法运算法则化简，进而代入已知数据求出答案．
此题主要考查了实数的运算以及分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：；
如图所示，即为所求．

如图所示，即为所求．
根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；
将三个点分别向右平移个单位、再向上平移个单位，继而首尾顺次连接即可；
将三个点分别绕原点逆时针旋转后得到对应点，再首尾顺次连接即可．
本题主要考查作图平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
 

18.【答案】解：如图，直线，线段即为所求；
如图，射线即为所求．

垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
． 

【解析】根据要求作出图形即可；
证明，推出，由，推出，再求出，利用三角形外角的性质，可得结论．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

19.【答案】证明：如图，点与点重合，折痕为，
，．
四边形为平行四边形，
．
．
．
   
．
又，
四边形是平行四边形．
又，
四边形为菱形．
解：如图，作于点，则，
点的落点为点，折痕为，
．
四边形为平行四边形，
．
又，
，即．
在中，，，，
．
四边形为平行四边形，
．
．
在中，，，
．
．
． 

【解析】先证明四边形是平行四边形，再运用有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明；
作于点，因为，又易证，用勾股定理分别计算、即可．
本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现是解决第小题的关键．
 

20.【答案】解：设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：奖品的单价为元，则奖品的单价为元；
设购买种奖品的数量为件，则购买种奖品的数量为件，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为，
最多可以购买种防疫物资的数量是件． 

【解析】设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，由题意：预算资金为元，其中元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的倍．列出分式方程，解方程即可；
设购买种奖品的数量为件，则购买种奖品的数量为件，由题意：不超过预算资金列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；找出不等关系，列出一元一次不等式组．
 

21.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
增大了，
理由：，
；
当所加的这个数为时，仍是增大了．
理由：，
，
三个小题都是利用作差法比较代数式的大小．
本题考查了运算，利用作差法，得出分式的减法是解题的关键．
 

22.【答案】       

【解析】解：正方形的边长为，
，
故答案为：；
由平移的性质知，，
故答案为：；
如图，将绕点逆时针旋转得，连接，过点作，交的延长线于，

，，
，，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
过作于，
，
，
，
；
将沿翻折得，绕点逆时针旋转，使与重合，点的对应点为，连接，

，，
，，
，
，
，
，
即最大值为，此时点、、、四点共线，
，
，
故答案为：，．
根据翻折的性质，直接求的面积；根据平移的性质，求矩形的周长即可；
将绕点逆时针旋转得，连接，过点作，交的延长线于，由，得，得出的面积，在中，由勾股定理得，过作于，再求出的面积即可；
将沿翻折得，绕点逆时针旋转，使与重合，点的对应点为，连接，可得，，由，即最大值为，此时点、、、四点共线．
本题是几何变换的综合题，主要考查了翻折、平移、旋转三大全等变换，勾股定理，直角三角形的性质，根据已知条件能够熟练选择某个全等变换进行解决问题是解题的关键．