2021-2022学年福建省福州市连江县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省福州市连江县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知菱形的对角线，，则菱形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若点在一次函数的图象上，则点一定不在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 在一次射击预选赛中，甲、乙、丙、丁四名运动员次射击成绩的平均数及方差如表所示：

其中成绩较好且状态较稳定的运动员是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是(    )

A. 测量两组对边是否相等
B. 测量对角线是否相等
C. 测量对角线是否互相平分
D. 测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等

7. 关于的一元二次方程有两个的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 小明步行从家出发去学校，步行了分钟时，发现作业忘在家，马上以同样的速度回家取作业，然后骑共享单车赶往学校，小明离家距离米与时间分钟之间的函数图象如图，则小明骑车比步行的速度每分钟快(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知直线经过点，点且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，矩形中，，，且与之间的距离等于，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 计算：______．
12. 直线向上平移个长度单位得到的直线解析式是______．
13. 某校八年级班第一组男生体重为单位：：，，，，，，则这组男生体重的众数为______．
14. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标是，则点的坐标是______．

15. 如图，直线：与直线交于点，则当时，的取值范围为______．

16. 在▱中，为的中点，点，为边上任意两个不重合的动点不与端点重合，的延长线与交于点，的延长线与交于点下面四个推断：
    ；
    ；
    若平行四边形是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；
    对于任意的平行四边形，存在无数个四边形是矩形．
    其中正确的结论是______；写出所有正确结论的序号．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：．
    解方程：．
18. 已知与成正比例，当时，求与之间的函数解析式．
19. 如图，在正方形中，点在边上，过点作交的延长线于点求证：．

20. 如图，有一张矩形纸片，长比宽多，在它的四角分别剪去一个边长为的正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，量得该长方体纸盒的体积为求矩形纸片的长与宽．

21. 如图，在平行四边形中，，是的垂直平分线与上的交点，连接求证：．

22. 某商店销售两种不同品牌的甲、乙两种文具盒，这两种文具盒的进价和售价如表：

该商店甲、乙两种文具盒每月进货数量之和都是件，因乙种文具价格偏贵，乙种文具的进货数量不超过甲种文具的三分之二．
若该商店某月所购进的甲、乙两种文具盒的总进价为元，问这个月该商店甲、乙两种文具盒各进货多少件？
请你为文具店设计一个月的甲、乙两种文具盒进货数量，使其销售完所获得的总利润最大？并求出总利润的最大值．

23. 学校为了调查学生对环保知识的了解情况，从初中三个年级随机抽取了名学生，进行了相关测试，获得了他们的成绩单位：分，并对数据成绩进行了整理、描述和分析．部分信息如下：
    信息：名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，，；
    信息：所抽取的名学生中，各年级被抽取学生的人数及测试成绩的平均数如下表：

信息：测试成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，根据以上信息回答下列问题：
抽取的名学生测试成绩的中位数为______；
测试分及以上记为优秀，若该校初中三个年级名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数；
求被抽取名学生的平均测试成绩．

24. 如图，在矩形中，，，是边的中点，点是边上一动点与，不重合，射线与线段的延长线交于点．
    求证：；
    若点是线段中点，连接，，当时．
    求证：四边形是平行四边形；
    试判断四边形是否是菱形，并说明理由．

25. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线，且经过点和点，一次函数的图象为直线．
    求直线的解析式；
    过点作，垂足为，求线段的最大值；
    对于一次函数，，当时，都有，请直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图，设与的交点为，

四边形是菱形，，，
，，，
，
故选：．
由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．
点在一次函数的图象上，
点一定不在第四象限．
故选：．
结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数的图象经过第一、二、三象限，此题得解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：甲、丙、丁射击成绩的平均环数较大，
丁的方差甲的方差丙的方差，
丁比较稳定，
成绩较好状态稳定的运动员是丁，
故选：．
根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
，
．
故选：．
先把代入方程，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

6.【答案】 

【解析】解：、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、测量对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线是否互相平分，可以判定为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项D符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得，
故选：．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意，得小明步行的速度为米分钟，
小明从家骑共享单车赶往学校所需时间为：分钟，
小明骑车速度为：米分钟，
小明骑车比步行的速度每分钟快：米分钟．
故选：．
根据题意可知小明步行的速度为米分钟，小明从家骑共享单车赶往学校所需时间为：分钟，据此可得骑车速度，进而得出结论．
本题考查了函数的图象，利用数形结合的方法，观察函数图象找出各问所用到的数据是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
．
又，
直线中的值随的增大而减小，
．
解得．
故选：．
根据一次函数的增减性解答．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，注重考查学生思维的严谨性，易错题，难度中等．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，垂足为，

则，，
四边形是矩形，
，，
在和中，
，
≌．
．
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，即．
故选：．
过点作，垂足为，则，首先证明≌，由全等三角形的性质可得到，设，则，在中依据勾股定理列方程求解即可．
本题主要考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用，依据题意列出关于的方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
利用平方差公式求解即可求得答案．
此题考查了二次根式的乘除运算．此题难度不大，注意能借助于平方差公式求解是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：将直线向上平移个单位，得到的直线的解析式为．
故答案为：．
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意知，这组男生体重的出现次数最多的是，
所以这组男生体重的众数为，
故答案为：．
根据众数的定义可得答案．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，作轴于点，轴于点，则，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
点在第二象限，
，
故答案为：．
作轴于点，轴于点，先证明≌，因为，所以，，再根据点在第二象限求出点的坐标．
此题考查正方形的性质、全等三角形的判定、图形与坐标等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
在点的左侧，直线：的图象在直线的图象的上方，
，
当时，的取值范围为，
故答案为：．
根据题意和函数图象，可以发现在点的左侧，直线：的图象在直线的图象的上方，然后即可写出的解集．
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，为▱对角线的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可得：，
，即，
又，
四边形是平行四边形，
，，，，
故结论不正确，结论正确；
若平行四边形是菱形，则，
，
点，为边上任意两个不重合的动点不与端点重合，
，
四边形不可能是菱形，
故结论不正确；
如图，当时，四边形不可能是矩形，
故结论不正确；
故答案为：．
由“”可证≌，可得≌，可证四边形是平行四边形，可得，与不一定相等，故错误，正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断错误，不正确，即可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形是菱形是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式


；
，
，
，
，
所以，． 

【解析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了二次根式的混合运算．
 

18.【答案】解：与成正比例，
设，
当时，，
，
解得，
，
与的函数关系式为：． 

【解析】根据正比例的定义设，然后把已知数据代入进行计算求出值，即可得解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据正比例的定义设出函数表达式是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是正方形，
，．
又，
．
．
在和中，
，
≌．
． 

【解析】全等三角形是证明两条线段相等的重要方法之一．只要证明≌，即可得到．
证明某两条线段相等，可证明他们所在的三角形全等，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
 

20.【答案】解：设矩形纸片的宽为，则长为，
根据题意，得，
解得，不合题意，舍去，
，
答：矩形纸片的宽为，长为． 

【解析】设矩形纸片的宽为，根据长方体纸盒的体积为列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并找到等量关系建立方程是解题的关键．
 

21.【答案】证明：在平行四边形中，，
，
，
，
即，
是的垂直平分线与上的交点，
，
，
即． 

【解析】由平行四边形的性质可得，结合已知条件可证得，再利用线段垂直平分线的性质可得，进而可得，即可证得结论．
本题主要考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，证得是解题的关键．
 

22.【答案】解：设这个月该商店购进甲种文具盒件，乙种文具盒件，
依题意得：，
解得：．
答：这个月该商店购进甲种文具盒件，乙种文具盒件．
设购进甲种文具盒件，则购进乙种文具盒件，
依题意得：，
解得：．
设购进的甲、乙两种文具盒销售完获得的总利润为元，则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当文具店购进甲种文具盒件，乙种文具盒件时，销售完所获得的总利润最大，总利润的最大值为元． 

【解析】设这个月该商店购进甲种文具盒件，乙种文具盒件，利用总进价进货单价进货数量，结合购进甲、乙两种文具盒共件且总进价为元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进甲种文具盒件，则购进乙种文具盒件，根据乙种文具的进货数量不超过甲种文具的三分之二，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设购进的甲、乙两种文具盒销售完获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量进货数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

23.【答案】 

【解析】解：由题意可知，抽取的名学生测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别、，故中位数为，
故答案为：；
人；
答：该校初中三个年级名学生中优秀的学生约为人；
分，
答：被抽取名学生的平均测试成绩为分．
根据中位数的定义直接求解即可；
用样本估计总体即可；
利用加权平均数公式计算即可．
本题考查了平均数、频数发布直方图以及中位数的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数．
 

24.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
是的中点，
，
又，
≌，
；
证明：，
，
，
，
，，
是的中位线，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
四边形不是菱形，证明如下：
由知，，
是的中点，
是的中位线，
，
设，则，
，
又四边形是平行四边形，
，
，
解得，
，
，
，
四边形不是菱形． 

【解析】利用定理可直接判定全等；
先证明，再由得出，从而得出，即可证明四边形是平行四边形；
由四边形是菱形得出，设为，利用勾股定理列出关于的方程，求出即可得出答案．
本题是四边形的综合问题，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点．熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
 

25.【答案】解：依题意，得，解得，
一次函数的解析式为．
一次函数，
当时，．
函数图象过定点．
，垂足为，
当点与点重合时，最大．
此时．
对于一次函数，，当时，都有，则的取值范围是． 

【解析】将，的坐标代入一次函数解析式中，求出，的值，得出一次函数解析式；
由于一次函数的图象过定点，所以当点与点重合时，最大，利用勾股定理求得即可；
根据图象即可求得．
本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是求解本题的关键．