2022年山东省烟台市中考数学试卷（含解析）

2022年山东省烟台市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为：，则这个正多边形是(    )

A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形

6. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，某海域中有，，三个小岛，其中在的南偏西方向，在的南偏东方向，且，到的距离相等，则小岛相对于小岛的方向是(    )

A. 北偏东 B. 北偏东 C. 南偏西 D. 南偏西

8. 如图，正方形边长为，以为边作第个正方形，再以为边作第个正方形，，按照这样的规律作下去，第个正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为下列结论：；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离米与时间秒的关系图象如图所示．若不计转向时间，按照这一速度练习分钟，迎面相遇的次数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 把因式分解为______．
12. 观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用表示，“炮”所在的位置用表示，那么“帅”所在的位置可表示为______．

13. 如图，是一个“数值转换机”的示意图．若，，则输出结果为______．

14. 小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌去掉“大王”“小王”中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算每张牌上的数字只能用一次，使得运算结果等于小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于的算式______．

15. 如图，，是双曲线上的两点，连接，过点作轴于点，交于点若为的中点，的面积为，点的坐标为，则的值为______．

16. 如图，中，，是边上的一个动点不与点，重合，，交于点，，交于点设的长为，四边形的面积为，与的函数图象是如图所示的一段抛物线，其顶点的坐标为，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
18. 如图，在▱中，平分，交于点，，交的延长线于点若，求的度数．

19. 年月，教育部办公厅在关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知中明确要求保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间．某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机对本校名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分，，，四组整理如下：

根据以上信息解答下列问题：
制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比；
小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图．请计算小明本周内平均每天的校外体育活动时间；
若该校共有名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于小时的学生人数．
 

20. 如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高，斜坡的坡比为：，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？结果精确到
    
    参考数据表

21. 扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了，两种型号扫地机器人．已知型每个进价比型的倍少元．采购相同数量的，两种型号扫地机器人，分别用了元和元．请问，两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？

22. 如图，是的外接圆，．
    请用尺规作出的切线保留作图痕迹，不写作法；
    在的条件下，若与切线所夹的锐角为，的半径为，求的长．

23. 【问题呈现】
    如图，和都是等边三角形，连接，求证：．
    【类比探究】
    如图，和都是等腰直角三角形，连接，请直接写出的值．
    【拓展提升】
    如图，和都是直角三角形，，且连接，．
    求的值；
    延长交于点，交于点求的值．
     

24. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
    求抛物线的表达式；
    是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
    若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是负数，的相反数是
的绝对值是．
故选B．
正数的绝对值是它本身，的绝对值是，负数的绝对值是它的相反数．
本题考查绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从左边看，可得如下图形：

故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为：，
设这个外角是，则内角是，
根据题意得：，
解得：，
边，
故选：．
设这个外角是，则内角是，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是即可求解．
本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：把、、分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有种，即、、、，
同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图：

由题意得：
，，，
，
，
，
，
，
小岛相对于小岛的方向是北偏东，
故选：．
根据题意可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，从而求出的度数，然后利用平行线的性质可得，从而求出的度数，即可解答．
本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题知，第个正方形的边长，
根据勾股定理得，第个正方形的边长，
根据勾股定理得，第个正方形的边长，
根据勾股定理得，第个正方形的边长，
根据勾股定理得，第个正方形的边长，
根据勾股定理得，第个正方形的边长．
故选C．
根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的第个正方形的边长为，其对角线长为；第个正方形的边长为，其对角线长为；第个正方形的边长为，其对角线长为；；第个正方形的边长为所以，第个正方形的边长．
本题利用勾股定理找到正方形边长之间的倍关系，由此依次推出第个、第个、、第个正方形的边长．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图可知：，，，
，
，故不符合题意．
由题意可知：，
，故符合题意．
将代入，
，
，
，故符合题意．
由图象可知：二次函数的最小值小于，
令代入，
有两个不相同的解，故不符合题意．
故选：．
根据对称轴、开口方向、与轴的交点位置即可判断、、与的大小关系，然后将由对称可知，从而可判断答案．
本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出、、的数量关系，本题属于基础题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知，父子速度分别为：米秒和米秒，
分钟父子所走路程和为米，
父子二人第一次迎面相遇时，两人所跑路程之和为米，
父子二人第二次迎面相遇时，两人所跑路程之和为米，
父子二人第三次迎面相遇时，两人所跑路程之和为米，
父子二人第四次迎面相遇时，两人所跑路程之和为米，

父子二人第次迎面相遇时，两人所跑路程之和为米，
令，
解得，
父子二人迎面相遇的次数为，
故选：．
先求出二人速度，即可得分钟二人所跑路程之和，再总结出第次迎面相遇时，两人所跑路程之和米，列方程求出的值，即可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第次迎面相遇时，两人所跑路程之和米．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
利用平方差公式，进行分解即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示：

“帅”所在的位置：，
故答案为：．
直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：当，时，




，
故答案为：．
根据题意可得，把，代入进行计算即可解答．
本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

14.【答案】答案不唯一． 

【解析】解：由题意得：
，
故答案为：答案不唯一．
根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答．
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为为的中点，的面积为，
所以的面积为，
所以．
解得：．
故答案为：．
应用的几何意义及中线的性质求解．
本题考查了反比例函数中的几何意义，关键是利用的面积转化为三角形的面积．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点为，过点，
时，，
，
作于，当时，▱的面积为，

，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据抛物线的对称性知，，作于，当时，▱的面积为，则此时，，即可解决问题．
本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
 

18.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：由于各组人数占所调查人数的百分比，因此可以采用扇形统计图；

分，
答：小明本周内平均每天的校外体育活动时间为分钟；
名，
答：该校名学生中，每天校外体育活动时间不少于小时的大约有名． 

【解析】用扇形统计图表示各组人数占所调查人数的百分比；
根据平均数的计算方法进行计算即可；
样本估计总体，求出样本中每天校外体育活动时间不少于小时的学生所占的百分比即可．
本题考查统计图的选择，频数分布表以及平均数，掌握各种统计图的特点以及加权平均数的计算方法是正确解答的前提．
 

20.【答案】解：如图：

由题意得：
米，
斜坡的坡比为：，
，，
米，米，
米，
米，
在中，，
查表可得，，
为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于度． 

【解析】根据题意可得米，然后根据斜坡的坡比为：，可求出，的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键．
 

21.【答案】解：设每个型扫地机器人的进价为元，则每个型扫地机器人的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每个型扫地机器人的进价为元，每个型扫地机器人的进价为元． 

【解析】设每个型扫地机器人的进价为元，则每个型扫地机器人的进价为元，利用数量总价单价，结合用元购进型扫地机器人的数量等于用元购进型扫地机器人的数量，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出每个型扫地机器人的进价，再将其代入中即可求出每个型扫地机器人的进价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，切线即为所求；


连接，．
是切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】过点作即可；
连接，证明，利用三角形内角和定理求出，推出，求出可得结论．
本题考查作图复杂作图，三角形的外接圆，切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】【问题呈现】证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
；
【类比探究】解：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
∽，
；
【拓展提升】解：，，
∽，
，，
，
∽，
；
由得：∽，
，
，
，
． 

【解析】【问题呈现】证明≌，从而得出结论；
【类比探究】证明∽，进而得出结果；
【拓展提升】先证明∽，再证得∽，进而得出结果；
在的基础上得出，进而，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
 

24.【答案】解：当时，，
，
当时，，
，
，
对称轴为直线，
，
设抛物线的表达式：，
，
，
抛物线的表达式为：；
如图，

作于，交于，
，，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
；
设，
以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，
即：，
，
，
，
，
，，
 

【解析】先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果；
根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标．
本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质．