江苏省常州市北郊高级中学、华罗庚中学2022届高三下学期5月三模数学试题-

这是一份江苏省常州市北郊高级中学、华罗庚中学2022届高三下学期5月三模数学试题-，共28页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，双曲线，已知，则a，b，c的大小关系是等内容，欢迎下载使用。

绝密★启用前
江苏省常州市北郊高级中学、华罗庚中学2022届高三下学期5月三模数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
五
总分
得分






注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分



一、单选题
1．设集合，，R为实数集，则（       ）
A．或 B．或
C． D．
2．设，，是非零向量，则“”是“”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．双曲线：的顶点到其渐近线的距离等于（       ）.
A． B． C． D．
4．已知，则a，b，c的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
5．光明学校为了解男生身体发育情况，从2000名男生中抽查了100名男生的体重情况，根据数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示，下列说法中错误的是（       ）

A．样本的众数约为 B．样本的中位数约为
C．样本的平均值约为66 D．体重超过75kg的学生频数约为200人
6．八一起义纪念碑(如图甲所示)是江西省南昌市的标志性建筑，它坐落于南昌市中心的八一广场.纪念碑的碑身为长方体，正北面是叶剑英元帅题写的“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字.建军节那天，李华同学去八一广场瞻仰纪念碑，把地面抽象为平面､碑身抽象为线段，李华同学抽象为点，则李华同学站在广场上瞻仰纪念碑的情景可简化为如图乙所示的数学模型，设A､B两点的坐标分别为，，要使看上去最长(可见角最大)，李华同学(点)的坐标为(       )


甲
乙

A． B． C． D．
7．若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
8．已知时，有，根据以上信息，若对任意都有，则(       )
A．245 B．246 C．247 D．248
评卷人
得分



二、多选题
9．关于函数，有如下命题，其中正确的有（       ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递增
10．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（       ）
A．，，是两两互斥的事件 B．事件与事件B相互独立
C． D．
11．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是（       ）

A．的最小值为
B．三棱锥的体积的最大值为
C．不存在点P，使得与平面所成的角为
D．三棱锥的外接球的表面积为
12．是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则（       ）
A．当时， B．当时，
C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分



三、填空题
13．已知复数，则＝________．
14．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后经过抛物线的焦点F射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出．若抛物线的方程为，则在每次反射过程中，与x轴平行的两条光线间的最小距离为__________．

15．如图，在平行六面体中，AB＝AD＝2，，，点E是AB中点，则异面直线与DE所成角余弦值是______．

评卷人
得分



四、双空题
16．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则的最大值为_________；设D是上一点，且，则的最大值为_________．
评卷人
得分



五、解答题
17．致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀．
成绩







人数
5
10
15
25
20
20
5

(1)根据以上数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；

优秀
非优秀
合计
男
10


女

35

合计




(2)某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望．
参考公式：，．
附表：

0.150
0.100
0.050
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
6.635
7.879

18．在 中，已知.
(1)求的值；
(2)若是的角平分线，求的长．
19．如图，ABCD是边长为6的正方形，已知，且并与对角线DB交于G,H，现以ME,NF为折痕将正方形折起，且BC,AD重合，记D,C重合后为P，记A,B重合后为Q．

(1)求证：平面平面HGQ；
(2)求平面GPN与平面GQH所成二面角的正弦值．
20．设数列为等比数列，且，数列满足且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若是的前n项和，求.
21．已知函数 ，（为自然对数的底数，）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，，当时，，求的最小值．
22．已知M，N分别是x轴，y轴上的动点，且，动点P满足，设点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)直线：与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），倾斜角为的直线经过点G，与曲线C交于E，F两点．若的值与点G的位置无关，求的值．

参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
先求出集合A，B，再求两集合的并集，然后再求其补集
【详解】
由，得，解得，
所以，
因为当时，，所以，
所以，
所以，
所以，
故选：C
2．B
【解析】
【分析】
分别判断充分性和必要性成立情况得出结论.
【详解】
若，则，；
若，则，即.
“”是“”的必要而不充分条件；
故选：B.
3．C
【解析】
【分析】
由双曲线方程求出，，即可得顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
由双曲线：可知：，，
所以顶点坐标为，渐近线方程为，即，
所以顶点到其渐近线的距离等于，
故选：C.
4．C
【解析】
【分析】
利用三角函数、对数、指数函数的单调性判断可得答案.
【详解】
，
，
，
所以．
故选：C．
5．C
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合众数，中位数，平均值公式，分别求得众数，中位数，平均值，可判断A,B,C;根据频率与频数的关系，求得体重超过75kg的学生频数，判断D,即得答案．
【详解】
对于，样本的众数为，故正确，
对于，设样本的中位数为，则，
解得，故正确，
对于，由直方图估计样本平均值可得：
，故错误，
对于，2000名男生中体重超过的人数大约为，故正确．
故选：．
6．A
【解析】
【分析】
根据几何关系表示出，利用基本不等式求其最大值即可判断C的坐标．
【详解】
设，则C(c，0)，

，当且仅当，即时取等号，
∵为锐角，故当tan最大时，最大．
故选：A．
7．B
【解析】
【分析】
首先得到函数的定义域，再分析当时的取值，即可得到，再对时分和两种情况讨论，求出此时的取值，即可得到的值域，从而得到不等式，解得即可；
【详解】
解：因为，所以的定义域为，，
当时，则在上单调递增，所以；
要使定义域和值域的交集为空集，显然，
当时，
若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若时在上单调递减，此时，
则，
所以，解得，即
故选：B
8．D
【解析】
【分析】
根据题意将展开为，再根据多项式乘法求的展开式的项系数即可．
【详解】
时，有，
∴时，有，
则
则为展开式项的系数，
根据多项式乘法原理可知，展开式中项为：
，
故=248．
故选：D．
9．ACD
【解析】
【分析】
根据三角函数的最小正周期的公式，以及三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由函数，可得函数的最小正周期为，所以A正确；
令，解得，所以的对称中心为，所以B错误；
令，解得，
所以的对称轴的方程为，当时，所以C正确；
令，解得，
所以函数的单调递增区间为，
当时，单调递增区间为，所以D正确.
故选：ACD
10．AC
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解.
【详解】
由题意得可知，，是两两互斥的事件，故A正确；
，，
，故C正确；
由


事件与事件B不独立，故B、D错误；
故选：AC
11．ABD
【解析】
【分析】
对A，分析可得在和中，均为在点时，分别取得最小值，再计算即可
对B，通过计算三棱锥的体积来进行判断.
对C，通过线面角的知识进行判断.
对D，先求的外接圆直径，再根据外接球与直三棱锥的关系求解即可
【详解】
对A，在中，，故，所以，故当且仅当在时取等号.
连接，则，，由余弦定理，，故为钝角，故，当且仅当在时取等号，故当且仅当在时取最小值为
，故A正确；

对B，，点B到平面的距离为，
由，得，得，
又，则，故B正确；
对C，与平面所成的角即为与平面所成的角，设为，
易知当点P与M重合时，最小，
此时，当点Р与重合时，最大，
此时，此时，
故存在点P，使得与平面所成的角为，故C错误；
对D，因为平面，故三棱锥的外接球直径与的外接圆直径、高构成直角三角形.由正弦定理，的外接圆直径，设三棱锥的外接球半径为，直径为，则其表面积，故D正确
故选：ABD
12．AD
【解析】
【分析】
先求出，对四个选项一一一验证：
对于A、B：利用代入法求解析式,即可判断；对于C:分别求出和，求出.即可判断;对于D：由，利用等比数列的求和公式即可求得.
【详解】
因为是奇函数,是偶函数,则有，解得.
对于A：任取，则，所以.故A正确；
对于B：任取，则，所以.故B错误；
对于C:当x∈(2,3)时,有x-1∈(1,2),x-2∈(0,1).所以，则有，，故.故C错误;
对于D：由C的结论, ，则.故D正确.
故选：AD
13．##
【解析】
【分析】
根据复数的乘除法与共轭复数的概念求解即可
【详解】
，故
故答案为：
14．4
【解析】
【分析】
设，，两条平行光线的距离为，则，联立直线的方程与抛物线的方程，可得，的值，进而代入中求解.
【详解】
设，，设两条平行光线的距离为，
由题意可知，
因为，直线过点，所以可设直线的方程为，，
由，消去得，
则，，
则，当时取得等号
所以两条平行关系的最小距离为4，
故答案为：4
15．##
【解析】
【分析】
以为空间向量的一组基底，用基底表示向量，根据向量间的夹角公式计算即可求解.
【详解】
由题意，AB＝AD＝2，，
且,,



，
又,

,
,
设异面直线与DE所成角为，则.
故答案为：
16．         
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理、余弦定理化简后求角B的值，再将化简为三角函数求最大值即可；
（2）由余弦定理化简后结合辅助角公式求最值即可
【详解】
（1）由余弦定理知：
又由正弦定理化简得：，即，即，又，
化简得，则



又，，故当时，取最大值为.
（2）由题意得，
在与中，分别有，
又，化简得
整理得：
令，结合辅助角公式有，所以的最大值为
故答案为：；
17．(1)列联表见解析，没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关
(2)分布列见解析，期望值为2.5分
【解析】
【分析】
（1）根据成绩分段表得到优秀人数，结合列联表中的男生优秀人数求得女生优秀人数，然后可以完成列联表；根据列联表数据，利用公式计算K2的观测值k0，与相应临界值比较即可得到结论；
（2）先根据成绩分段表求得p的值，然后利用二项分布列计算X的各个取值的概率，列出分布列，根据分布列计算期望即可.
(1)

优秀
非优秀
合计
男
10
40
50
女
15
35
50
合计
25
75
100

假设: 此次竞赛成绩与性别无关.
,
所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
(2)
p,
P(X=0)=
P(X=5)=,
P(X=10)=,
X的分布列为：
X
0
5
10
P




期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先利用余弦定理求出边的长，再利用正弦定理求出 （2）利用三角形的面积公式及面积关系，建立关于边的关系式求解即可得到答案
(1)
在中，由余弦定理
整理得
解得或
由于，所以
因为，所以，所以
由正弦定理得：，故
(2)
设，
由及三角形的面积公式可得：

整理得
在中，由余弦定理
由得
则
19．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线，证明，，得到线面垂直，进而证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.
(1)
取中点，连接，
则，．
再取中点，连接，，易得，，
于是，四边形为平行四边形，得，
从而，，
那么平面，
又平面，
故平面平面．


(2)
以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，则，
，，，，，
设平面的法向量
，，，
由，得：
，取，得，
所以平面的法向量．
同理可得：平面的法向量，
则，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．

20．(1)，（也可以表示成）
(2)（也可表示为）
【解析】
【分析】
（1）直接由已知条件可求出公比，从而可求出，由可得：，两式相减可得数列的奇数项以为首项公差为2的等差数列，从而可求出，或由可得，得数列是为首项.为公比的等比数列，从而可求出，
（2）由（1）可得然后分n是奇数和n是偶数，利用错位相减法可求得，或由（1）可得，然后利用分组求和法，错位相减法可求得结果
(1)
设公比为q，则，所以
所以
方法一：由可得：
两式相减得：
所以数列的奇数项以为首项公差为2的等差数列，
即n是奇数时，
那么n是偶数时，
即（也可以表示成）
方法二：由可得
则有，
所以数列是为首项.为公比的等比数列，则
即
(2)
方法一：
则
当n是奇数时，设，则



记，
那么
则

当n是偶数时，即
方法二：由
令数列的前n项和为，则


所以
所以，那么
.
（也可表示为）
21．(1)分类讨论，答案见解析.
(2)1
【解析】
【分析】
(1)求导，根据a的符号分类讨论导函数的符号即可；
(2)这个问题是求函数 在 区间的值域，并且由于n，m是整数，
的值域是（m，n）的子集，求n的最小值和m的最大值.
(1)
函数 的定义域为 ， ，
①当时，对任意的 ， ，
此时函数的减区间为，无增区间；
②当时，由 可得，由 可得，
此时函数的单调递增区间为，递减区间为；
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；
(2)
证明：当时，，
则 ，
令，其中，则 ，
所以函数在上单调递增，
因为，，所以存在唯一，
使得，即，可得，
当时， ，此时函数单调递增，
当时， ，此时函数单调递减，
所以，当时，
，
即，因为，，
综上所述，若，当时，，
即 ，所以的最小值为1；
综上，的最小值为1.
22．(1)
(2)1
【解析】
【分析】
（1）设，，，依题意可得，再根据，即可得到方程组，消去、，即可得到动点的轨迹方程；
（2）首先求出、的坐标，设，其中，即可表示出、，可判断直线的斜率存在，设为、、，联立直线与曲线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，即可得到，由式子与无关，即可求出，从而得解；
(1)
解：设，，则．
设，则，．
由题意得，解得，
所以，化简得，
即曲线C的方程为．
(2)
证明：由，解得或，（不妨设点A在第一象限），所以，．
设点，其中，则，，所以．
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
此时，，故不为定值．
若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为．
将直线的方程代入曲线C的方程化简、整理，得．
设，，则，，
所以
，
故．
因为的值与m的值无关，所以，解得，
所以，所以G是EF的中点，即．
所以．