广东省广州市天河区2022届高三综合测试（三）数学试题

这是一份广东省广州市天河区2022届高三综合测试（三）数学试题，共21页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知命题，命题，则是的，已知，若，则的值为，设为函数的导函数，已知，则等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前广东省广州市天河区2022届高三综合测试（三）数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分     注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分  一、单选题1．已知集合，则的子集个数为（       ）A．3 B． C．7 D．82．若的展开式中各项系数和为64，则展开式中的常数项为（       ）A．15 B．30 C．135 D．2703．已知命题，命题，则是的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，分别为的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（       ）A．直线与直线异面B．直线与直线异面C．直线平面D．直线平面5．已知，若，则的值为（       ）A． B． C． D．6．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是A．174斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤7．已知双曲线，点是双曲线的右焦点，是双曲线的右顶点，过点作轴的垂线，交双曲线于两点，若，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C．2 D．38．设为函数的导函数，已知，则（       ）A．在单调递增B．在单调递减C．在上有极大值D．在上有极小值评卷人得分  二、多选题9．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力.年年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如图所示.根据下面图表，下列说法正确的是（       ） A．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，城镇比农村的大B．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大C．年该市农村居民年人均可支配收入比年有所下降D．年该市农村居民年人均可支配收入比年有所上升10．若，其中为虚数单位，则下列关于复数的说法正确的是（       ）A． B．的虚部为C． D．在复平面内对应的点位于第四象限11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（       ）A．该圆台的高为B．该圆台轴截面面积为C．该圆台的体积为D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为12．已知函数，则（       ）A．当时，函数在上单调递增B．函数的图象关于直线对称C．函数的最小正周期为D．若函数在上存在零点，则的取值范围是第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  三、填空题13．已知为单位向量，若，则__________.14．写出一个在区间上单调递减的幂函数__________.15．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是___________.16．已知且，函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是__________.评卷人得分  四、解答题17．已知数列满足，，设.（Ⅰ）判断数列是否为等比数列，并说明理由； （Ⅱ）求数列的前项和.18．为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图 (1)根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中指标值的中位数（结果保留两位小数）；(2)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布（i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液指标的值不超过的家禽数量（结果保留整数）；（ii）在统计学中，把发生概率小于的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.参考数据：①；②若，则19．如图，在三棱锥中，平面平面平面. (1)求证：平面；(2)若，求二面角的大小.20．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知中，分别为角所对的边，__________.(1)求角的大小；(2)已知，若边上的两条中线相交于点，求的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，线段上一点满足.记动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)设为原点，曲线与轴正半轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，若，求证：直线经过定点.22．已知函数的一个极值点为.(1)求函数的极小值；(2)若函数，当时，，求实数的取值范围.
参考答案：1．B【解析】【分析】先求出，再按照子集个数公式求解即可.【详解】由题意得：，则的子集个数为个.故选：B.2．C【解析】【分析】先令由系数和求得，再由通项求得常数项即可.【详解】令可得，解得，则，由展开式通项，令，则，则，即常数项为135.故选：C.3．A【解析】【分析】先由和解出的范围，再由充分必要的定义判断即可.【详解】由解得，由解得或，显然，故是的充分不必要条件.故选：A.4．B【解析】【分析】由可得共面即可判断B选项；又面，面，即可判断A选项；由线面平行的判定即可判断C、D选项.【详解】由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接，易得，则，故共面，则共面，故B错误；又面，面，不在直线上，则直线与直线异面，A正确；由，平面，平面，则直线平面，C正确；平面，平面，则直线平面，D正确.故选：B.5．D【解析】【分析】将两边平方得：2sinxcosx=-<0,结合>0,求出x的范围，再利用       求解即可.【详解】解：将两边平方得：2sinxcosx=-<0,所以 ， 又因为>０，所以，2x, 又因为sin2x=-,所以cos2x=-=-.  故选：D.6．B【解析】【详解】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴，解得．∴．选B．7．C【解析】【分析】利用双曲线的简单性质，转化求解推出、、的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】解：当时，，解得，由双曲线的对称性可知，点为的中点，故，，则，解得，即，可得，，，解得．故选：C.8．D【解析】【分析】令，由即可得到函数单调性，判断A、B选项；由单调性结合求得，即可判断C、D选项.【详解】由题意知：，，令，则，显然当时，，单减，当时，，单增，故A，B错误；在上有极小值，令，则，又，则，故在上有极小值，C错误；D正确.故选：D.9．BD【解析】【分析】根据折线图可判断AB选项的正误；根据年该市农村居民年人均可支配收入比上年增长率为正数可判断CD选项的正误.【详解】对于A选项，因为该市每年城镇居民年人均可支配收入比上年增长率都比该市农村居民年人均可支配收入比上年增长率小，所以，对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，城镇比农村的小，A错；对于B选项，由图可知该市农村居民年人均可支配收入比上年增长率的极差小于，该市城镇居民年人均可支配收入比上年增长率的极差大于，所以，对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大，B对；对于CD选项，因为年该市农村居民年人均可支配收入比上年增长率为正数，所以，年该市农村居民年人均可支配收入比年有所上升，C错D对.故选：BD.10．AD【解析】【分析】先设出复数，由求出，进而根据复数的模长、虚部、共轭复数、所在象限依次判断即可.【详解】设，则，，则，即得，即，，A正确；的虚部为，B错误；，C错误；在复平面内对应的点为，位于第四象限，D正确.故选：AD.11．BCD【解析】【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由圆台体积公式即可判断C选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项.【详解】如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；圆台的轴截面面积为，B正确；圆台的体积为，C正确；将圆台一半侧面展开，如下图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，由可得，则，，又，则，即点到的中点所经过的最短路程为，D正确.故选：BCD.12．ABD【解析】【分析】设，由复合函数的单调性即可判断A选项；直接由即可判断B选项；由时，即可判断C选项；设，换元后参变分离得，转化为值域问题即可判断D选项.【详解】对于A，当时，，设，当时，单调递减且，又函数在上单调递减，由复合函数的单调性知，函数在上单调递增，A正确；对于B，，所以函数的图象关于直线对称，B正确；对于C，，所以时，，C错误；对于D，设，当时，，函数在上存在零点，等价于方程在上有解，得在上有解，已知在上单调递减，所以，D正确.故选：ABD.13．【解析】【分析】先由求得，再求得即可求解.【详解】由可得，则，又，则.故答案为：.14．（答案不唯一）【解析】【分析】直接由幂函数和单调性求解即可.【详解】由题意知：为幂函数，且在区间上单调递减.故答案为：（答案不唯一）.15．4【解析】【分析】根据抛物线方程求得焦点F坐标和准线方程，由圆的方程求得圆心坐标，半径，然后根据抛物线的定义，将问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点F距离之和的最小值，从而即可求解．【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，圆的圆心为，半径为1， 根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离， 从而可得：当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到直线距离之和的最小为 ，故答案：4.16．且【解析】【分析】函数在上有且仅有两个零点，等价于有两个交点，即有两个交点，令则有两个交点，利用导数得出答案．【详解】解：因为函数在上有且仅有两个零点，所以有两个交点，即有两个交点，令，则有两个交点，，所以在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减且，，有两个交点，，所以且．故答案为：且．17．（1）见解析（2）【解析】【详解】分析：（Ⅰ）利用定义证明数列为等比数列.( Ⅱ)先求出，再利用错位相减求出数列的前项和.详解：（Ⅰ）由条件可得，，所以，即bn+1=2bn，又b1=1，所以是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以． ①②③ 整理得：     （）点睛：（1）本题主要考查数列性质的证明和错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.18．(1)7.03(2)（i）841；（ii）不正常，理由见解析.【解析】【分析】（1）先判断中位数所在区间，再设出中位数，利用中位数左侧频率和为0.5求解即可；（2）（i）由正态分布的对称性及特殊区间的概率求得，再计算家禽数量即可；（ii）先求出，再由独立重复实验的概率公式求出恰有3只血液中指标的值大于的概率，和比较作出判断即可.(1)由可得中位数在区间内，设中位数为，则，解得；(2)（i）由可得，则，只；（ii），，随机抽检20只相当于进行20次独立重复实验，设恰有3只血液中指标的值大于为事件，则，所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常.19．(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）作于，先证平面，得，又，即可证得平面；（2）作于，作于，连接，即为二面角的平面角，求出，即可求得，即可求出二面角的大小.(1) 作于，因为平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，则，又因为平面，平面，则，又平面，，则平面；(2) 作于，作于，连接，由（1）知平面，平面，则，又面，，则面，又面，则，则即为二面角的平面角.又平面，则，不妨设，则，，又由（1）知平面，平面，则，则，平面，平面，则，则，，则，则，即二面角为.20．(1)；(2)【解析】【分析】（1）若选①，由诱导公式及正弦定理得，结合倍角公式即可求得，即可求解；若选②，由正弦定理得，结合辅助角公式得，即可求解；（2）建立平面直角坐标系，求出，由结合向量夹角公式即可求解.(1)若选①，，由正弦定理得，又，则，又，即，又，则；若选②，由正弦定理得，又，则，即，则，又，则；(2)以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，易得，由可得，则，则，则.21．(1)；(2)见解析【解析】【分析】（1）设，由求得，结合圆的方程即可求解；（2）设，由得，设出直线，联立曲线，结合韦达定理表示出，解得，即可得到过定点.(1)由题意，设，又，则，又因为点在圆上，所以，故曲线的方程为；(2)由题意，，设，则，易得斜率必然存在，所以，设，由图象易知，直线斜率不存在时不符合题意，设直线的方程为，联立曲线的方程，得，得，所以，由题意知，直线均不过原点，所以，从而，所以，解得，满足，所以直线的方程为，恒过定点.22．(1)(2)【解析】【分析】（1）直接求导，由解得，再确定单调性，求出极小值即可；（2）将题设转化为在上恒成立，整理后对的范围分类讨论，参变分离后转化为最值问题即可.(1)，，解得，则，，当或时，单增，当时，单减，故在处取得极小值，极小值为；(2)当时，等价于在上恒成立，整理得，当时，显然成立；当时，，令，，当时，单增，则，故，即；当时，，由上知，当时，单增，当时，单减，则，故，即；综上可得.