2021-2022学年江苏省苏州市吴江区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省苏州市吴江区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在数轴上，点、分别表示数、，且若，则点表示的数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 仔细观察下列图形，其中与是内错角的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在中，如果，那么是(    )

A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 斜三角形

5. 如图，在中，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6. 若的结果中不含项，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知方程组，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 从前，古希腊一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加米，宽减少米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会(    )

A. 变小了 B. 变大了 C. 没有变化 D. 无法确定

10. 如图，在中，是边上的点，是边上的点，且，，若的面积为，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共21分）

11. 计算______．
12. 已知：，，则______．
13. 若，则______．
14. 北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠的定位、导航、授时服务，其授时精度为纳秒，纳秒为秒的十亿分之一，用科学记数法表示其授时精度为______秒．
15. 如果一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形是______．
16. 如图，在中，平分，，若，，那么______．

17. 如图，若，则，，三者之间的数量关系是______．

三、解答题（本大题共11小题，共79分）

18. 如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行．

19. 计算：．
20. 因式分解：．
21. 解方程组：；
    解不等式组：．
22. 如图，已知，，、、三点共线，连接交于点．
    求证：；
    若，，求的度数．

23. 在图中，利用网格点和三角板画图或计算：
    在给定方格纸中画出平移后的；
    图中与的关系怎样？
    记网格的边长为，则的面积为多少？

24. 小星同学到文具店买文具．请你根据对话信息小星：阿姨您好，我要买支中性笔和本笔记本，是不是一共元？店员：不对呀，一共是元．小星：啊哦，我明白了，您是对的我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了．求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？

25. 如图，现有以下三个条件：，，请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
    你构造的是哪几个命题？
    你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例证明其中的一个命题即可．

26. 在的方格中，每行、每列及对角线上的个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”，如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的个代数式的和都等于．
    在图的“等和格”方格图中，可得______用含的代数式表示：
    在图的“等和格”方格图中，可得______，______；
    在图的“等和格”方格图中，可得______．

27. 如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．
    观察猜想，与的数量关系是______；与的数量关系是______；
    类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当等于多少度时，画出图形并简要说明理由；
    拓展应用，若，求的度数；并直接写出此时与的位置关系．

28. 已知关于，的方程组
    请直接写出方程的所有正整数解；
    若方程组的解满足，求的值；
    无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？
    若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
直接根据同底数幂的乘法运算法则计算判断即可．
此题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
 

2.【答案】 

【解析】解：在数轴上，点、分别表示数、，且，
，，，
，
，，
点表示的数为，
故选：．
根据相反数的性质，由，即可推出点表示的数．
题主要考查数轴上点表示的数，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不是内错角，故此选项不合题意；
B、与是同位角，故此选项不合题意；
C、与是内错角，故此选项符合题意；
D、与是同旁内角角，此选项不合题意；
故选：．
根据内错角定义进行解答即可．
此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成““形．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，
肯定大于，那么是钝角三角形．
故选：．
因为，即，那么一定大于，即为钝角三角形．
此题较简单，关键是明白三角形的内角和是．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
故选：．
根据直角三角形两锐角互余可计算求解．
本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：

，
结果中不含项，
，
解得：，
故选：．
利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再由条件得到相应的项的系数为，从而可求解．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是明确不含项则其系数为．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
得：．
故选：．
方程组两方程左右两边相加即可求出所求．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，，并且是直尺，
两直线平行，同位角相等，
，
．
故选：．
根据两直线平行，同位角相等求出的同位角，再根据三角形的外角性质求解即可．
本题主要考查了两直线平行，同位角相等的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可知：原面积为平方米，
第二年按照庄园主的想法则面积变为平方米，
，
，
面积变小了，
故选：．
原面积可列式为，第二年按照庄园主的想法则面积变为，又，通过计算可知租地面积变小了．
本题考查了多项式乘多项式，关键在于学生认真读题结合所学知识完成计算．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，

连接，令、，、、的面积分别为、、、，
，，
，，，，
，，又的面积为，
，，
解得，，，，
，
故选：．
根据三角形的面积公式，当三角形的高相等时，它们的面积之比等于其底边之比，从而由，得到，，，，解得，，，，结合图形根据进行求解即可．
本题考查三角形的面积，解题的关键是根据，得到，，，，应充分运用数形结合的思想方法，从图形中寻找各三角形面积之间的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
本题考查负整数指数幂，解题的关键是正确理解负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
逆向应用同底数幂的乘法法则计算即可．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算性质是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
解得．
故答案为：．
因为，所以，解方程即可求出的值．
本题考查了零指数幂的运用，解题的关键是熟知：任何不等于零的数的零次幂都等于．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为纳秒秒，
所以纳秒秒秒．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

15.【答案】正八边形 

【解析】解：正多边形的一个内角是，
它的每一个外角为．
又因为多边形的外角和恒为，

即该正多边形为正边形．
故答案为：正八边形．
先求出正多边形的一个外角，利用外角和求出该正多边形的边数．
本题考查了内角、外角的关系及外角和与正多边形外角的关系．掌握正多边形外角与边数间关系是解决本题的关键．正多边形的一个外角度数边数．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
平分，
，
，
．
故答案为．
由三角形的内角和定理可求解的度数，结合角平分线的定义可得的度数，利用平行线的性质可求解．
本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，求解的度数．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
．
故答案为：．
依据可得出，，进而得到，，据此可得．
本题主要考查了平行线的性质，两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
 

18.【答案】秒或秒 

【解析】解：存在．分三种情况：
如图，与在的两侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得；
此时，
；
旋转到与都在的右侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
；
旋转到与都在的左侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
，
此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行．
故答案为：秒或秒．
分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
 

19.【答案】解：

． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】解：

． 

【解析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

21.【答案】解：，
，得：，
解得，
将代入，得：，
方程组的解为；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】利用加减消元法求解即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质得到，由等量关系得到，根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质即可求解；
根据三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质可求，进一步根据平行线的性质求得．
此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，关键是熟练掌握平行线的判定与性质的知识点．
 

23.【答案】解：如图所示：

，；
的面积． 

【解析】连接，过、分别做的平行线，并且在平行线上截取，顺次连接平移后各点，得到的三角形即为平移后的三角形；
根据平移的性质解答即可．
根据三角形面积公式即可求出的面积．
本题主要考查了根据平移变换作图，以及三角形的中线，高的一些基本画图方法．平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
 

24.【答案】解：设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元，
依题意得：，
解得：．
答：中性笔的单价是元，笔记本的单价是元． 

【解析】设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
 

25.【答案】解：可以构造个命题，
命题，如果，，那么；
命题，如果，，那么；
命题，如果，，那么；
构造的个命题都是真命题，
证明命题，
，
，
，
，
，
．
证明命题，
，
，
，
又，
，
．
证明命题，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据命题的概念分别写出个命题；
根据平行线的判定定理和性质定理证明结论．
本题考查的是命题的概念、命题的真假的判断、平行线的性质和判定，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

26.【答案】       

【解析】解：依题意得：，
．
故答案为：．
依题意得：，
解得：．
故答案为：；．
依题意得：，
由可得：，
由可得：，
将代入中得：．
故答案为：．
根据“等和格”的定义，即可得出，变形后即可用含的代数式表示出；
根据“等和格”的定义，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可求出，的值；
根据“等和格”的定义，即可得出关于，的二元二次方程组，方程变形后可得出方程，方程变形后可得出方程，再将代入中即可求出的值．
本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，找出关于，的方程或方程组是解题的关键．
 

27.【答案】   

【解析】解：，，
；
，
，
．
故答案为：；；

分两种情况：
如图所示，当时，，
．
如图所示，当时，，
．
综上所述，当等于或时，；

设，则．
由可知，，
，
，即，
此时，或．
依据，，可得；依据，即可得到；
分两种情况讨论，画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，；
根据，，即可求出的度数；根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
 

28.【答案】解：方程，，
解得：，
当时，；当时，，
方程的所有正整数解为：，；
由题意得：，解得，
把代入，解得；
，
，
当时，，
即固定的解为：，
，
得：，
，
，
恰为整数，也为整数，
是的约数，
或，
或． 

【解析】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．
将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解；
将与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得、的值，再代入第二个方程中可得的值；
当含项为零时，取，代入可得固定的解；
表示出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，确定的值．