2021-2022学年广东省深圳市华中师大龙岗附中（集团）八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省深圳市华中师大龙岗附中（集团）八年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列因式分解最后结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若，则以、为边长的等腰三角形的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

4. 如图，在中，，，，平分交于点，在上截取，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列命题是真命题的是(    )

A. 两边分别相等的两个直角三角形全等
B. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C. 顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
D. 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等

6. 已知不等式的解是，下列有可能是函数的图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 若把分式中的和都缩小到原来的，那么分式的值(    )

A. 扩大到原来的倍 B. 缩小到原来的
C. 缩小到原来的 D. 不变

8. “六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销，已知某款音响的进价为元，标价为元，要保持获利不低于，则该电商平台至多可以打销售．(    )

A. 九五折 B. 八折 C. 七五折 D. 七折

9. 如图，中，，，点是边上一点，且：：，将绕点顺时针旋转至，连接，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在平行四边形中，点是上一点，，，点是的中点，平分，，则的面积是(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 的外角和等于______．
12. 如图，边长为、的长方形周长为，面积为，则的值为______．

13. 关于的分式方程无解，则的值为______ ．
14. 如图，垂直平分，交于，，，垂足为，，，则的长为______．

15. 如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为______ ．

三．解答题（本题共7小题，共55分）

16. 解方程：；
    解不等式组：．
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
    将向右平移个单位，试作出平移后的，并写出点的坐标______；
    在图中作出关于轴对称的，观察可知与关于直线对称，请写出直线与轴的交点的坐标______；
    在轴上找一点，使最短，则点坐标为______．

19. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，于，于，，．
    求证：四边形为平行四边形；
    若，，，求四边形的面积．

20. 某商店进货、两种冬奥会纪念品进行销售．已知每件种纪念品比每件种纪念品的进价高元，用元购进种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同．
    求，两种纪念品每件的进价；
    若每件种纪念品在进价的基础上提高元销售，每件种纪念品在进价的基础上提高元销售，用万元进货，且种纪念品不少于件，则这批货销售完，最高利润是多少？
21. 请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
    按照下列步骤，画出函数的图象；
    列表；

描点；
连线．
友情提醒：画图结果确定后请用黑色签字笔加黑
观察图象，填空；
当______时，随的增大而减小；______时，随的增大而增大；
此函数有最______值填“大”或“小”，其值是______；
根据图象，不等式的解集为______．

22. 如图，为等边三角形，直线经过点，在上位于点右侧的点满足．
    如图，在上位于点左侧取一点，使，求证：≌；
    如图，点、在直线上，连，在上方作，且，，求证：；
    在的条件下，当、位于直线两侧，其余条件不变时如图，线段、、的数量关系为______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故选项A分解不正确；
，故选项B分解正确；
由于仍能因式分解，故选项C分解不正确；
，故选项D分解不正确．
故选：．
根据因式分解的定义及分解方法，逐个判断得结论．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法和十字相乘法是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，，
解得，，
是腰长时，三角形的三边分别为、、，
、、能组成三角形，
三角形的周长为，
是腰长时，三角形的三边分别为、、，
不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长为．
故选：．
根据非负数的性质列式求出、的值，再分是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，解题的关键是熟练利用三角形的三边关系进行判断．
 

4.【答案】 

【解析】解：是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
的周长．
故选：．
利用已知条件证明≌，得到，从而，即可求得的周长．
本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明≌．
 

5.【答案】 

【解析】解：、两直角边分别相等或一条直角边和斜边分别对应相等的直角三角形全等，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
D、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三边的距离相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：．
利用全等三角形的判定方法、平行四边形的判定定理及三角形的内心的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定方法、平行四边形的判定定理及三角形的内心的性质，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：不等式的解是，
直线与轴交点为且随增大而减小，
故选：．
由不等式的解是可得直线与轴交点为且随增大而减小，进而求解．
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．解题关键是将不等式问题转化为图象求解．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
若把分式中的和都缩小到原来的，那么分式的值扩大到原来的倍，
故选：．
根据分式的基本性质进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设该电商平台可以打折销售，
由题意可得：，
解得：，
该电商平台至多可以打七折，
故选：．
设该电商平台可以打折销售，由获利不低于，列出不等式可求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，找出正确的不等关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，，
：：，
，，
由旋转的性质可知：≌，
，，，
，
，
故选：．
由旋转的性质可知：≌，得，从而，利用勾股定理可求出的长．
本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，延长和交于点，

在平行四边形中，
，，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的面积．
故选：．
延长和交于点，证明≌，可得，然后根据等腰三角形的性质证明，再根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：的外角和等于，
故答案为：．
根据三角形的外角和等于解答即可．
本题考查的是三角形的外角，掌握三角形的外角和等于是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：边长为、的长方形的周长为，面积为，
，，
，
故答案为：．
根据“边长为、的长方形的周长为，面积为”可得，，再将原式因式分解为，代入计算即可．
本题考查提公因式法分解因式，将化成是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：去分母得，
解得，
原方程无解，
，即，解得，
即当时，关于的分式方程无解．
故答案为．
先去分母得到整式方程，解整式方程得，利用分式方程无解得到，所以，然后解关于的方程即可．
本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于的值，不是原分式方程的解．
 

14.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，，
，，
，即，
，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
，即，
解得：，
，
，
故AC的长为，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，证明，进而得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
．
等边，
，．
．
．
过点作于点，                                                                         
．
，
．
在和中，

≌．
．
，
．
在中，，
．
故答案为．
根据，等边，可得，可以导出，进而构造全等三角形，将线段一分为二，分别求出两段的长度，进而求出的长度
本题考查的是等边三角形的综合应用，利用已知构造全等，灵活运用勾股定理以及含有特殊角度的直角三角形的性质求解，是本题的核心．
 

16.【答案】解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为：． 

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】括号内先通分计算，再将除法转化为乘法计算，最后代入的值即可．
本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并准确化简分式．
 

18.【答案】解：；
；
． 

【解析】解：如图，，即为所求作，点的坐标．
故答案为：．


如图，即为所求作，直线与轴的交点的坐标，
故答案为：．

作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，点即为所求作．
，，
直线的解析式为，
，
故答案为：．
分别作出，，的对应点，，即可．
分别作出，，的对应点，，即可．
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，点即为所求作．再求出直线的解析式，可得点的坐标．
本题考查作图轴对称变换，一次函数的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】证明：，
，
，
于，于，
，
在与中，

≌，
，
四边形为平行四边形；
解：在中，
，，
，
在中，
，，
，
，
四边形的面积． 

【解析】根据平行线的判定定理得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据勾股定理得到，，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积的计算，勾股定理，证得≌是解题的关键．
 

20.【答案】解：设购进种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：种纪念品每件的进价为元，种纪念品每件的进价为元．
设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，
设利润为元，
则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，的最大值，
答：最高利润是元． 

【解析】设购进种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元，由题意：用元购进种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，设利润为元，求出关于的一次函数，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】    小    或 

【解析】解：
按照画图步骤，如图所示即为函数的图象；
当时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；
此函数有最小值填“大”或“小”，其值是；
故答案为：，，小，；
根据图象，不等式的解集为：或．
故答案为：或．
按照画图步骤，即可画出函数的图象；
观察图象即可得当时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；
此函数有最小值填“大”或“小”，其值是；
根据图象，即可求出不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题．
 

22.【答案】 

【解析】证明：如图，是等边三角形，

，，
，
，
，
，
，
≌；
证明：如图，在上位于点左侧取一点，使，连接，
由知：≌，

，
，
，
，
，，
≌，
，
；
解：，理由是：
如图，在上位于点右侧取一点，使，连接，在上取一点，使，

，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，，
≌，
，

．
故答案为：．
根据一线三等角可得，再由证明≌即可；
如图，在上位于点左侧取一点，使，连接，根据一线三等角得：，证明≌，可得结论；
如图，作辅助线构建全等三角形，证明是等边三角形，得，再证明≌和≌，可得结论．
本题是三角形的综合题，考查了一线三等角模型的基本型--型全等和变式模型的应用，主要是通过角与角之间的关系，外角关系以及内角和关系来推导等角关系，是对几何证明基本功的很好检验，是一道很好的综合问题．