2021-2022学年广东省广州市天河区八年级（下）期末数学试卷（含解析)

这是一份2021-2022学年广东省广州市天河区八年级（下）期末数学试卷（含解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（本大题共10小题，共30分）
二次根式3+x在实数范围内有意义，x的取值范围是( )
A. x≠−3B. x≥3C. x≤−3D. x≥−3
下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是( )
A. 2，3，5B. 3，4，5C. 9，12，15D. 7，24，25
如图，在▱ABCD中，∠A=70°，则∠C=( )
A. 130°B. 110°C. 80°D. 70°
在直线y=3x上的点的坐标是( )
A. (0,3)B. (−2,1)C. (−2,−6)D. (2,−6)
下列计算正确的是( )
A. 3+23=3B. 42−32=2
C. 52×22=102D. 414=212
如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使▱ABCD成为菱形的条件是( )
A. AB=ADB. ∠ABC=90°C. AC=BDD. AB⊥BC
两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距( )
A. 100cmB. 50cmC. 140cmD. 80cm
对于一次函数y=kx+k−1(k≠0)，下列叙述正确的是( )
A. 当0B. 图象一定经过点(−1,−2)
C. 当k>0时，y随x的增大而减小
D. 当k<1时，图象一定交于y轴的负半轴
如图，四边形ABCD为菱形，AB=6，∠A=60°，连接四边中点得到四边形EFGH，则四边形EFGH的面积为( )
A. 96
B. 66
C. 183
D. 93
某组数据方差计算公式为：s2=2(2−x−)2+3(3−x−)2+2(4−x−)2n，由公式提供的信息，下列说法错误的是( )
A. 样本的容量是3B. 样本的中位数是3
C. 样本的众数是3D. 样本的平均数是3
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
化简：27=______．
写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题：______．
在一次体育模拟考试中，某班7个同学的跳绳成绩如下：178，168，171，170，165，160，167(单位：次/分)，则这组数据的中位数是______．
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=50°，则∠OBC的度数是______度．
某人沿直路行走，设此人离出发地的距离S(千米)与行走时间t(分钟)的函数关系如图，则此人在这段时间内最快的行走速度是______ 千米/小时．
已知，在▱ABCD中，AD=2AB，点F为AD的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，以下结论中，正确的是______．
①CF是∠BCD的角平分线；
②连接BF，则∠BFC=120°；
③若∠D=60°，则S▱ABCD=3DC2；
④连接EF，则EF=FC．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
计算：(20−18)÷2．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，AC=CD=1，求BC的长．
2022年2月4日，冬奥会开幕式在北京鸟巢拉开序幕，它让世界看到了一个自信开放的中国．某中学以此为契机，组织了“我的冬奥梦”系列活动．如表是小华和小敏各项目的成绩(单位：分)；如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明小华和小敏谁将获胜．
如图，已知：▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，且AE=CF，求证：四边形BEDF是平行四边形．
已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3,5)与(−4,−9)，与x轴、y轴分别交于点A、点B．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若坐标原点为O，求△ABO的面积．
已知a，b都是实数，现定义新运算：a∗b=3a−b2，例：2∗1=3×2−12=5．
(1)求2∗(−2)的值；
(2)若m=(5−3)(5+3)，n=3−5，求m∗n的值．
随着5G网络的覆盖，某通信公司推出了两种全国流量套餐业务．
套餐一：使用者每月需缴50元月租费，流量按1元/GB收费．
套餐二：当流量不超过50GB时，收取90元套餐费；当流量超过50GB时，超过的部分按0.5元/GB收取．
设某人一个月内使用5G流量xGB.按照套餐一的费用为y1，按照套餐二所需的费用为y2．
(1)分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)若每月使用70GB的流量，应选择哪种套餐更合适？
已知直线y=12x，记为l1．
(1)填空：直线y=12x+1可以看作是由直线l1向______平移______个单位得到；
(2)将直线l1沿x轴向右平移4个单位得到直线l2，解答下列问题：
①求直线l2的函数解析式；
②若x取任意实数时，函数y=|x−m|的值恒大于直线l2的函数值，结合图象求出m的取值范围．
如图1，在矩形ABCD中，∠BAC=45°．
(1)求证：矩形ABCD为正方形；
(2)如图2，若点P在矩形的对角线AC上，点E在边BC上，且PE=PD，求证：∠EPD=90°；
(3)在(2)的条件下，若点F为PE中点，求证：在线段PC或线段BE上必存在一点G(不与端点重合)，使得BC2+EC2=8FG2.(选择一种情况说明理由即可)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：二次根式3+x在实数范围内有意义，
则3+x≥0，
解得：x≥−3，
故选：D．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件分析是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、∵22+(3)2=7，(5)2=5，
∴22+(3)2≠(5)2，
∴2，3，5不能作为直角三角形三边长，
故A符合题意；
B、∵32+42=25，52=25，
∴32+42=52，
∴3，4，5能作为直角三角形三边长，
故B不符合题意；
C、∵92+122=225，152=225，
∴92+122=152，
∴9，12，15能作为直角三角形三边长，
故C不符合题意；
D、∵72+242=625，252=625，
∴72+242=252，
∴7，24，25能作为直角三角形三边长，
故D不符合题意；
故选：A．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：在▱ABCD中，∠C=∠A=70°，
故选：D．
根据平行四边形的对角相等即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的对角相等．
4.【答案】C
【解析】解：A选项；当x=0时，y=0，所以A选项错误．
B选项；当x=−2时，y=−6，所以B选项错误．
C选项；当x=−2时，y=−6，所以C选项正确．
D选项；当x=2时，y=6，所以D选项错误．
故选：C．
每个坐标分别代入函数解析式直接验证即可．
本题主要考查一次函数图象上点坐标的特征，熟练掌握一次函数性质是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、3+23=33，故A不符合题意；
B、42−32=2，故B符合题意；
C、52×22=20，故C不符合题意；
D、414=172，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加法、减法、乘法、除法法则是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A.∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，
∵正北方向和正东方向构成直角，
∴由勾股定理得602+802=100，
∴其距离为100cm．
故选A．
由已知两只鼹鼠打洞的方向的夹角为直角，其10分钟内走路程分别等于两直角边的长，利用勾股定理可求斜边即其距离．
此题主要考查学生对勾股定理的理解及运用．解题的关键是弄清正北方向和正东方向构成直角．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【解答】
解：∵一次函数y=kx+k−1(k≠0)，
∴当00，k−1<0，该函数经过第一、三、四象限，故选项A错误；
y=k(x+1)−1，则该函数一定经过点(−1,−1)，故选项B错误；
当k>0时，y随x的增大而增大，故选项C错误，
当k<1时，k−1<0，则图象一定交于y轴的负半轴，故选项D正确，
故选：D．
9.【答案】C
【解析】解：连接AC、BD交于点O，

∵E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD的中点，
∴EF=12BD，GH=12BD，EF//BD//HG，EH=12AC，FG=12AC，EH//AC//FG，
∴EF=GH，EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=60°，
∴AC⊥BD，∠BAC=30°，AC=2AO，BD=2BO，
∴EF⊥EH，即∠FEH=90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∴S四边形EFGH=EH⋅EF=12BD⋅AC，
∵AC⊥BD，∠BAC=30°，AB=6，
∴BO=12AB=3，AO=33，
∴BD=6，AC=63，
∴S四边形EFGH=12×6×63=183．
故选：C．
连接AC、BD交于点O，由三角形的中位线结合菱形的性质可证明中点四边形EFGH为矩形，即可得S四边形EFGH=EH⋅EF=12BD⋅AC，再利用含30度角的直角三角形的性质及菱形的性质可求解AC，BD的长，进而可求解．
本题主要考查中点四边形，菱形的性质，矩形的性质与判定，等知识点的理解和掌握，证明四边形EFGH为矩形是解此题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由题意知这组数据为2、2、3、3、3、4、4，
所以样本容量为7，中位数为3，众数为3，平均数为2×2+3×3+2×47=3，
故选：A．
根据已知的方差计算公式得出这组数据为2、2、3、3、3、4、4，再根据样本容量、中位数、众数及平均数的概念求解即可．
本题主要考查方差、样本容量、中位数、众数及平均数的定义，解题的关键是掌握方差的计算公式．
11.【答案】33
【解析】
【分析】
本题考查的是二次根式的性质和化简，属于简单题．
根据二次根式的性质可以把式子化简．
【解答】
解：27=3×32=3×32=33．
故答案是：33．
12.【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等
∴其逆命题为：内错角相等地，两直线平行．
将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
考查学生对逆命题的定义的理解及运用．
13.【答案】168
【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：160、165、167、168、170、171、178，
则中位数为：168．
故答案为：168．
根据中位数的概念求解．
本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14.【答案】25
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2OA，BD=2BO，AC=BD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠AOB=∠OBC+∠OCB=50°，
∴∠OBC=12∠AOB=12×50°=25°，
故答案为：25．
根据矩形的性质得出AC=2OA，BD=2BO，AC=BD，求出OB=OC，推出∠OBC=∠OCB，根据三角形外角的性质即可求出∠OBC的度数．
本题考查了矩形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质的应用，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：此人在这段时间内最快的行走速度是4120−9060=8千米/小时，
故答案为：8．
求速度用距离与时间的比即可，注意把分钟化为小时．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
16.【答案】①③④
【解析】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD//BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
即CF是∠BCD的角平分线，
故①正确，符合题意；
②连接BF，延长BF交CD的延长线于点G，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠A=∠FDG，
又∵AF=DF，∠AFB=∠DFG，
∴△ABF≌△DGF(ASA)，
∴BF=FG，AB=DG，
∵AB=CD，
∴CD=DG，
∴CG=2CD，
∵BC=AD=2CD，
∴BC=CG，
∴CF⊥BG，
∴∠BFC=90°，故②不符合题意；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D=60°，
∵CE⊥AB，
∴BE=CD=AB，
∴CE=AB2−BE2=3CD，
∴S▱ABCD=AB⋅CE=CD⋅3CD=3CD2，
故③正确，符合题意；
④如图2，延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF(ASA)，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=12EM=FE，故④正确．符合题意．
故答案为：①③④．
①由平行四边形的性质证出∠DFC=∠FCB，则可得判断①正确；
②连接BF，延长BF交CD的延长线于点G，证明△ABF≌△DGF(ASA)，由全等三角形的性质得出BF=FG，AB=DG，证出BC=CG，由等腰三角形的性质得出∠BFC=90°，则可判断②错误；
③由直角三角形的性质及平行四边形的面积可得出③正确；
④分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF(ASA)，得出对应线段之间关系进而得出④正确．
此题主要考查了平行四边形的性质，等要三角形的性质，直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：(20−18)÷2
=20÷2−18÷2
=10−9
=10−3．
【解析】根据二次根式的除法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
则AB=2CD，
∵AC=1，
∴AB=2，
由勾股定理得：BC=AB2−AC2=22−12=3．
【解析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，熟记直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
19.【答案】解：小敏的最后成绩是85×5+91×3+88×25+3+2=87.4(分)，
小华的最后成绩是90×5+84×3+87×25+3+2=87.6(分)，
∵87.6>87.4，
∴小敏将获胜．
【解析】按比例求出两人的最后成绩，再进行比较，即可得出结果．
本题考查了加权平均数的计算．解题的关键是熟记加权平均数的计算方法．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO，
又∵AE=CF，
∴AE−AO=CF−CO，
即OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质可求得BO=DO，AO=CO，再结合条件可求得OE=OF，然后由对角线互相平分的四边形为平行四边形可证得结论．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，利用平行四边形的性质求得OE=OF是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设一次函数的解析式是y=kx+b，
则3k+b=5−4k+b=−9，
解得k=2b=−1，
∴一次函数的解析式为y=2x−1；
(2)当x=0时，y=−1，
当y=0时，2x−1=0，解得x=12，
∴点A、B的坐标是A(12,0)，B(0,−1)，
∴OA=12，OB=1，
S△OAB=12OA⋅OB=12×12×1=14．
【解析】(1)设出一次函数的解析式是y=kx+b，然后把经过的点的坐标代入，求解得到k、b的值即可得解；
(2)根据一次函数的解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可求解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．
22.【答案】解：(1)2∗(−2)=3×2−(−2)2
=6−2
=4；
(2)m∗n=3m−n2
=3(5−3)(5+3)−(3−5)2
=3×(5−3)−(14−65)
=6−14+65
=−8+65．
【解析】(1)根据定义新运算：a∗b=3a−b2，进行计算即可解答；
(2)根据定义新运算：a∗b=3a−b2，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，理解定义新运算a∗b=3a−b2是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意得：y1=50+x，
当0当x>50时，y2=90+(x−50)×0.5=0.5x+65．
(2)当x=70时，y1=50+70=120(元)，
y2=0.5×70+65=100(元)．
∴y1>y2，
∴选择套餐二更合适．
【解析】(1)根据题中等量关系建立函数关系式．
(2)通过计算比较得出结论．
本题考查一次函数的应用，理解题意，建立函数关系式是求解本题的关键．
24.【答案】上 1
【解析】解：(1)如下图所示，y=12x+1是由y=12x向上平移1个单位得到的；

故答案为：上，1；
(2)①∵当y=12x沿x轴向右平移4个单位后经过点(4,0)，
∴平移得到的直线l2的函数解析式为y=12(x−4)=12x−2；
②如下图所示，画出y=|x|的图象，
y=|x−m|的函数图象可以看作是y=|x|沿x轴水平移动m个单位，
当m>0时，y=|x|向右平移m个单位，
当m<0时，y=|x|向左平移m个单位，
要是函数y=|x−m|的值恒大于直线l2的函数值，则函数y=|x−m|的图象位于直线l2的上方，

由函数图像可知当m<4时函数y=|x−m|的图象位于直线l2的上方，
∴m的取值范围为m<4．
(1)根据解析式的图象得出结论即可；
(2)①根据直线l1沿x轴向右平移4个单位得到直线l2，得出直线l2过点(4,0)，进而得出解析式即可；
②根据题意画出函数的图象，结合图象得出结论即可．
本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，图形的平移等知识是解题的关键．
25.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∴矩形ABCD是正方形；
(2)如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥CD于N，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
又∵PM⊥BC，PN⊥CD，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
在Rt△PME和Rt△PND中，
PM=PNPE=PD，
∴Rt△PME≌Rt△PND(HL)，
∴∠DPN=∠MPE，
∴∠EPD=∠MPN=90°；
(3)如图，连接BP，DE，取BE的中点G，连接FG，

∵点G是BE的中点，点F是PE的中点，
∴BP=2FG，
∵BC=CD，∠PCB=∠PCD=45°，PC=PC，
∴△PCB≌△PCD(SAS)，
∴BP=PD，
∵PD2+PE2=DE2，DE2=CD2+CE2，
∴2PD2=BC2+CE2，
∴BC2+CE2=8FG2，
∴以F为圆心，FG为半径作圆必与PC有交点，
∴在线段PC或线段BE上必存在一点G(不与端点重合)，使得BC2+EC2=8FG2．
【解析】(1)由题意可证AB=BC，可得结论；
(2)由“HL”可证Rt△PME≌Rt△PND，可得∠DPN=∠MPE，即可求解；
(3)由三角形中位线定理可得PB=2FG，由“SAS”可证△PCD≌△PCB，可得PB=PD=2FG，由勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
题号
一
二
三
总分
得分
选手
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
小华
85
91
88
小敏
90
84
87