初中数学人教版七年级上册4.3.1 角复习练习题

这是一份初中数学人教版七年级上册4.3.1 角复习练习题，文件包含43角解析版docx、43角原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
4.3 角
一、知识点归纳
1、角的定义：
定义①：角是由两条公共端点的射线组成的图形.
定义②：角又可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做终边.
2、角的表示：角的表示可以有以下的几种方法.

3、当终边旋转到与始边成一直线时所成的角叫做平角;当终边旋转到与始边重合时所成的叫做周角.

4、1周角=，1平角=，，
5、方向角
α
α
东
西
南
北
东北方向
北偏东45°
西北方向
北偏西45°

西南方向
南偏西45°

东南方向
南偏东45°

北偏东α度
北偏西α度
南偏西α度
北偏东α度
45°
45°
（
（
45°
45°
α
α









6、角的大小比较有两种方法.
第一种方法：使用量角器.
第二种方法：叠合法.

7、从角的顶点引出的一条射线，把使这个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线.
用符号语言表示角的平分线.
∠AOC=∠COB=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠COB
8、两个角的和等于90度，就说这两个角互为余角，简称互余。数量关系，如果∠1+∠2=，那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角。
9、两角的和等于，就说这两个角互为补角，简称互补。如图。

10、互余的两个角在一起就成一直角，互补的两个角拼在一起就成一平角。
11、等角的余角相等，等角的补角相等。
二、典型例题分析
例．如图（a）所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．

（1）若，则________；若，则_________．
（2）如图（b）所示，若两个同样的三角板，将锐角的顶点A叠放在一起，则与有何数量关系，请说明理由．
（3）如图（c）所示，已知，（，都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，则与有何数量关系，直接写出结论．
【答案】（1）155，50；（2）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）根据题意得∠ACD=∠BCE=90°，则∠ACE=∠ACD-∠DCE=65°，∠ACB=∠BCE+∠ACE=155°；若∠ACB=130°，则∠ACE+∠BCE=130°，从而得到∠ACE=40°，则∠ECD=∠ACD-∠ACE=50°，
（2）由∠CAD=∠BAE=60°，得到∠DAE=∠CAD-∠CAE=60°-∠CAE，再由∠DAB=∠DAE+∠BAE=120°-∠CAE，即可得到∠DAB+∠CAE=120°；
（3）由，，得到，则，即可得到．
【详解】
解：（1）由题意得：∠ACD=∠BCE=90°，
∵若∠DCE=25°，
∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=65°，
∴∠ACB=∠BCE+∠ACE=155°；
∵若∠ACB=130°，
∴∠ACE+∠BCE=130°，
∴∠ACE=40°，
∴∠ECD=∠ACD-∠ACE=50°，
故答案为：155，50；
（2）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：
∵∠CAD=∠BAE=60°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=60°-∠CAE，
∴∠DAB=∠DAE+∠BAE=120°-∠CAE，
∴∠DAB+∠CAE=120°；
（3），理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了几何中角度的计算，解题的关键在于能够根据题意找到角与角之间的关系．
三、针对训练
1．下面四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用角的定义及表示方法，进行判断即可得出结果．
【详解】
解：A、图中角只能表示为：∠1，∠AOB，故错误；
B、图中角可表示为：∠1，∠AOB，∠O，故正确；
C、图中角可表示为：∠1，∠COB，故错误；
D、题干角的表示不能表示同一个角，故错误．
故答案为：B．
【点睛】
本题主要考察的是角的表示方法，确定顶点即角的两边是解题的关键．
2．若射线在的内部，则下列式子中：能判定射线是的平分线的有（ ）
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据角平分线的定义，对选项逐个判断即可，从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线．
【详解】
解：①可以判定射线是的平分线，
②根据可得，所以射线是的平分线，
③，则，可以判定射线是的平分线，
④得不到，不能判定射线是的平分线，
能判定射线是的平分线的有①②③，3个，
故选：C
【点睛】
此题考查了角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．
3．钟面上12：30时，时针与分针的夹角是（ ）
A．150° B．165° C．180° D．175°
【答案】B
【分析】
根据钟面平均分成12份，可得每份是30°，根据时针与分针相距5.5份，乘以每份的度数，可得答案．
【详解】
解：钟面上12点30分，时针指向12和1的中间，分钟指向6，时针与分针相距的份数是5.5份，
30°×5.5=165°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了钟面角，时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题关键．
4．如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，则∠COB+∠AOD=（ ）

A．135° B．150° C．180° D．360°
【答案】C
【分析】
利用角的和差定义解决问题即可．
【详解】
解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠COB+∠AOD=∠COB+∠AOC+∠COD=∠AOB+∠COD =180°，
故选：C．
【点睛】
本题考查角的和差定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5．如图，下列说法中正确的是（ ）

A．OA的方向是北偏东30° B．OB的方向是北偏西60°
C．OC的方向是南偏西15° D．OC的方向是南偏西75°
【答案】D
【分析】
根据方向角的定义，即可解答．
【详解】
解：A. OA的方向是北偏东60°，故A错误； 
B.OB的方向是北偏西30°，故B错误；
C. OC的方向是南偏西75°，故C错误；
D. OC的方向是南偏西75°，故D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是熟记方向角的定义．
6．若的补角是150°，则的余角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】
根据补角、余角的定义即可求解．
【详解】
∵的补角是150°
∴=180°-150°=30°
∴的余角是90°-30°=60°
故选B．
【点睛】
此题主要考查余角、补角的求解，解题的关键是熟知如果两个角的和为90度，这两个角就互为余角；补角是指如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。
7．下列语句中叙述正确的有（ ）
①画直线cm；
②连接点A与点B的线段，叫做A、B两点之间的距离；
③等角的余角相等；
④射线AB与射线BA是同一条射线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】
根据直线的性质判断①，根据两点间距离的定义判断②，根据余角的性质判断③，根据射线的表示方法判断④．
【详解】
解：因为直线是向两端无限延伸的，所以①不正确；
因为连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离，所以②不正确；
③正确；
因为射线AB和射线BA的端点不同，延伸方向也不同，所以④不正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查直线的性质，两点间的距离的定义（连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离），余角的性质，射线的表示方法，熟练掌握这些知识点是解题关键．
8．计算：72°22′＋50°40′30″的结果是（ ）
A．122°62′30″ B．123°2′30″ C．122°2′30″ D．123°12′30″
【答案】B
【分析】
把原式化为，再满进1，即可得到答案.
【详解】
解：72°22′＋50°40′30″

故选B
【点睛】
本题考查的是角度的四则运算，注意角度的单位与进位，掌握“满60进1”是解题的关键.
9．下列有关“线段与角”的知识中，不正确的是（ ）
A．两点之间线段最短 B．一个锐角的余角比这个角的补角小
C．互余的两个角都是锐角 D．若线段，则是线段的中点
【答案】D
【分析】
根据线段的性质及余角补角的定义解答．
【详解】
解：两点之间线段最短，故A选项不符合题意；
一个锐角的余角比这个角的补角小，故B选项不符合题意；
互余的两个角都是锐角，故C选项不符合题意；
若线段，则不一定是线段的中点，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查线段的性质，余角与补角的定义，熟记定义及线段的性质是解题的关键．
10．如图，已知和都是直角，图中互补的角有（ ）对．

A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【分析】
如图，延长BO至点E，根据平角的定义，由∠BOD＝90°，得∠DOE＝180°−∠DOB＝90°，那么∠DOE＝∠DOB＝∠AOC＝90°，故∠AOC＋∠BOD＝180°．由∠DOE＝∠DOB＝∠AOC＝90°，得∠AOE＋∠AOD＝∠AOD＋∠COD＝∠DOC＋∠BOC，那么∠AOE＝∠COD，∠AOD＝∠BOC．由∠AOE＋∠AOB＝180°，得∠COD＋∠AOB＝180°．
【详解】
解：如图，延长BO至点E．

∵∠BOD＝90°，
∴∠DOE＝180°−∠DOB＝90°．
∴∠DOE＝∠DOB＝∠AOC＝90°．
∴∠AOC＋∠BOD＝180°，∠AOE＋∠AOD＝∠AOD＋∠COD＝∠DOC＋∠BOC．
∴∠AOE＝∠COD，∠AOD＝∠BOC．
∵∠AOE＋∠AOB＝180°，
∴∠COD＋∠AOB＝180°．
综上：∠AOC与∠BOD互补，∠AOB与∠COD互补，共2对．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查补角，熟练掌握补角的定义是解决本题的关键．
11．已知一个角等于70°38′，则这个角的余角等于______．
【答案】19°22′
【分析】
根据余角的定义解决此题．
【详解】
解：∵90°-70°38'=19°22′．
∴根据余角的定义，这个角的余角等于19°22′．
故答案为：19°22′．
【点睛】
本题主要考查了余角的定义，熟练掌握余角的定义是解决本题的关键．
12．若，，，将这三个角按角度的大小排列，顺序为________．
【答案】##
【分析】
先把化为 再由从而可得答案.
【详解】
解：
而

故答案为：
【点睛】
本题考查的是角的大小比较，掌握“角度的换算”是解题的关键.
13．如图，已知∠AOC = 160°，OD平分∠AOC ，∠AOB是直角，则∠BOD的大小是__________．

【答案】10°
【分析】
根据角平分线的性质求出∠AOD，再用∠AOB-∠AOD即可求出∠BOD．
【详解】
解：∵OD平分∠AOC
∴∠AOD=∠DOC=160°÷2=80°
又∠AOB=90°
∴∠DOB=∠AOB-∠AOD=90°-80°=10°
故答案为10°
【点睛】
本题考查角平分线的性质，掌握这一点是解题关键．
14．钟表上10点整时，时针与分针所夹角的大小为__________．
【答案】60°
【分析】
根据钟面上一个大格为求解即可．
【详解】
解：∵周角为，钟表共12个大格，
∴1个大格为．
∵10点整时，时针与分针的夹角为2个大格，
∴10点整时，时针与分针的夹角为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查钟面角，熟练掌握该知识点是解题关键
15．已知，则的补角 ______ ．
【答案】
【分析】
根据补角的定义，求解即可，和为的两个角互为补角．
【详解】
解：，所以的补角
故答案为．
【点睛】
此题考查了补角的定义，解题的关键是掌握补角的定义．
16．如图所示，，点B，O，D在同一直线上，若，则的度数为______．

【答案】116°
【分析】
由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠2与∠COB互补，即可求出∠2的度数．
【详解】
解：∵，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝64°，
∵∠2＋∠BOC＝180°，
∴∠2＝116°．
故答案为：116°．
【点睛】
此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
17．如图，点在直线上，于，平分，平分，则的度数为__________．

【答案】
【分析】
设∠AOC=x，∠BOD=y，可得∠AOD=90°+x，∠BOC=90°+y，由=180°-∠AOE-∠BOF，即可求解．
【详解】
解：设∠AOC=x，∠BOD=y，
∵，
∴∠COD=90°，x+y=90°，
∴∠AOD=90°+x，∠BOC=90°+y，
∵平分，平分，
∴∠AOE=∠AOD=45°+ x，∠BOF=∠BOC=45°+ y，
∴=180°-∠AOE-∠BOF=180°-（45°+ x）-（45°+ y）=45°．
故答案是45°．
【点睛】
本题主要考查角的和差倍分运算以及角平分线的定义，用未知数表示角的数量关系，是解题的关键．
18．如图，已知∠BAE＝∠CAF＝110°，∠CAE＝60°，AD是∠BAF的平分线，则∠BAD的度数为______°．

【答案】80
【分析】
由∠BAE=110°，∠CAE=60°，可得∠BAC=110°﹣60°=50°，结合∠CAF=110°，可得∠BAF=110°+50°=160°，再由AD平分∠BAF即可得∠BAD=80°．
【详解】
∵∠BAE=110°，∠CAE=60°，
∴∠BAC=110°﹣60°=50°，
又∵∠CAF=110°，
∴∠BAF=110°+50°=160°，
又∵AD是∠BAF的角平分线，
∴∠BAD=∠BAF=×160°=80°．
故答案为：80．

【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义和几何中角度的计算，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义．
19．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）如果∠AOC＝70°，∠COE＝50°，那么∠BOD是多少度？
（2）如果∠BOD＝50°，那么∠AOE是多少度？

【答案】（1）60°；（2）100°
【分析】
（1）先证明∠COD=∠COE，∠BOC=∠AOC，再求解∠BOC=35°，∠COD=25°，再利用角的和差关系可得答案；
（2）先证明∠AOC=2∠BOC，∠COE=2∠COD，再利用角的和差关系可得答案.
【详解】
解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴∠COD=∠COE，∠BOC=∠AOC，
又∵∠AOC=70°，∠COE=50°，
∴∠BOC=35°，∠COD=25°，
∴∠BOD=∠COD+∠BOC=25°+35°=60°；
（2）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴∠AOC=2∠BOC，∠COE=2∠COD，
∵∠BOC+∠COD=∠BOD=50°，
∵∠AOE=∠AOC+∠COE，
∴∠AOE=2（∠BOC+∠COD）=2∠BOD=100°．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角平分线的定义求解角的大小是解本题的关键.
20．如图，AO⊥BO，ON平分∠AOB，OA平分∠MON．
求：（1）∠MON的度数；
（2）∠MOB的度数．

【答案】（1）90°；（2）135°
【分析】
（1）根据垂直定义和角平分线的定义，即可得结论；
（2）根据角平分线的定义以及角度的运算即可．
【详解】
（1）∵AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∵ON平分∠AOB
∴∠BON＝∠AON＝45°，
∵OA平分∠MON．
∴∠AOM＝∠AON＝45°；
∴∠MON=∠AOM+∠AON＝90°
（2）∠MOB＝∠MON+∠BON＝90°+45°＝135°．
【点睛】
本题考查了垂直定义、角平分线的定义以及角度运算，掌握角平分线的定义是解决本题的关键．
21．如图所示，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．

求：（1）∠COD的度数；
（2）求∠MON的度数
【答案】(1)90°;(2)135°.
【分析】
(1)根据∠COD=∠AOB−∠AOC−∠BOD，代入即可求解；
(2)先根据角平分线的意义求出∠COM和∠DON，再根据∠MON=∠COM+∠DON+∠COD，即可求解．
【详解】
解：（1）∵∠AOC=30°，∠BOD=60°，∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，
∴∠COD=180°−∠AOC−∠BOD=180°-30°-60°=90°；
（2）∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴∠MOC=∠AOC=15°, ∠DON=∠BOD=30°
∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=135°
【点睛】
本题考查角度计算，解题的关键是熟练利用角平分线的性质，本题属于基础题型．
22．如图（甲），∠AOC和∠BOD都是直角．
（1）如果∠DOC＝29°，那么∠AOB的度数为 　 　度．
（2）找出图（甲）中相等的角．如果∠DOC≠29°，他们还会相等吗？
（3）若∠DOC越来越小，则∠AOB如何变化？
（4）在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与∠FOE相等的角．

【答案】（1）；（2）相等，理由见解析；（3）∠AOB越来越大（4）见解析
【分析】
（1）根据∠AOC＝90°，∠DOC＝29°，求出∠AOD的度数，然后即可求出∠AOB的度数；
（2）根据直角和等式的性质可得，∠AOD＝∠BOC；
（3）根据∠AOD+∠DOC+∠DOC+∠BOC＝180°，可得∠AOB+∠DOC＝180°，进而得到∠DOC变小∠AOB变大，若∠DOC越来越大，则∠AOB越来越小．
（4）首先以OE为边，在∠EOF外画∠GOE＝90°，再以OF为边在∠EOF外画∠HOF＝90°，即可得到∠HOG＝∠EOF．
【详解】
解：（1）因为，∠AOC＝∠DOB＝90°，∠DOC＝29°
所以，∠COB＝90°﹣29°＝61°，
所以，∠AOB＝90°+61°＝151°，
（2）相等的角有：∠AOC＝∠DOB＝90°，∠AOD＝∠BOC；
因为∠AOD＝∠AOC-∠DOC＝∠DOB-∠DOC=∠COB
所以∠AOD＝∠BOC；
如果∠DOC≠29°，他们还会相等；
（3）因为∠AOB＝∠AOC+∠DOB-∠DOC＝180°-∠DOC
所以当∠DOC越来越小，则∠AOB越来越大；
（4）如图，

画∠HOF＝∠GOE＝90°，则∠HOG＝∠EOF
即，∠HOG为所画的角．
【点睛】
本题考查了余角和补角，以及角的计算，是基础题，准确识图是解题的关键．
23．已知，

（1）如图1，、分别平分和，若，则是______；
（2）如图2，、分别平分和，若，求的度数（写推理过程）．
（3）若、分别平分和，，则的度数是________（在稿纸上画图分析，直接填空）．
【答案】（1）38；（2）；（3）45°或135°
【分析】
（1）根据，OE平分，，从而可得，再由OD平分，则；
（2）由OD平分，，，则，，再由OE平分，则，可以得到；
（3）分OD和OE都在∠AOB的外部，以及OD或OE至少有一个在∠AOB的内部进行讨论求解即可．
【详解】
解：（1）∵，OE平分，
∴，
∵，
∴，
∵OD平分，
∴，
故答案为：38；

（2）∵OD平分，，，
∴，，
∵OE平分，
∴，
∴；

（3）如图3所示，当OE，OD都在∠AOB外部时，
∵OE，OD分别平分∠AOC，∠BOC，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；

当如图1所示，DE在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，
由（2）可知此时

如图所示，当OD在∠AOB内部，OE在∠AOB外部时，
∵OE，OD分别平分∠AOC，∠BOC，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；

如图5所示，当OD，OE都在∠AOB内部时，

同理可得，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∴综上所述，或，
故答案为：45°或135°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，几何中角度的计算，解题的关键在于能够熟知角平分线的定义．
24．已知：是内的射线．

（1）如图1，若平分平分．当射线绕点O在内旋转时，_______度．
（2）也是内的射线，如图2，若平分平分，当绕点O在内旋转时，求的大小．
（3）在（2）的条件下，若，当在内绕O点以每秒的速度逆时针旋转t秒，如图3，且，求t的值．
【答案】（1）79；（2）70.5°；（3）47秒
【分析】
（1）依据OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，即可得到∠MON=∠BOM+∠BON=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD；
（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC进行计算即可；
（3）依据∠AOM=（11°+t+17°），∠DON=（158°-11°-t），∠AOM：∠DON=3：4，即可得到方程，进而得出t的值．
【详解】
解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠BOM+∠BON
=（∠AOB+∠BOD）
=∠AOD
=79°，
故答案为：79；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，
即∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
=（∠AOC+∠BOD）-∠BOC
=（∠AOB+∠BOC+∠BOD）-∠BOC
=（∠AOD+∠BOC）-∠BOC
=×(159°-17°)
=70.5°；
（3）∵∠AOM=（11°+t+17°），∠DON=（158°-11°-t），
又∵∠AOM：∠DON=3：4，
∴4（11°+t+17°）=3（158°-11°-t），
得t=47．
答：t为47秒．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，有一定难度．