人教版七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程一课一练

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第12讲 实际问题与一元一次方程（1）一、知识梳理行程问题：距离=速度·时间       ；顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度.【例1】“十一”国庆节，王老师驾轿车从A地到B地去游玩，用了4.5小时到达B地；返回时平均速度提高了10千米/时，比去时少用了0.5小时回到A地．求：A地到B地的路程．【分析】设A地到B地的路程为x千米，根据速度＝路程÷时间分别表示出从A地到B地以及返回时的平均速度，根据返回时的平均速度﹣去时的平均速度＝10列出方程，求解即可．【解答】解：设A地到B地的路程为x千米，根据题意得，﹣＝10，解得x＝360．答：A地到B地的路程为360千米．【变式训练1】.某人计划以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事晚出发了20分钟，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A，B两地间的距离？【分析】设A、B两地间的距离为x千米，本题的等量关系是时间＝路程÷速度，本题的关键语是“比规定时间早4分钟到达B地”，由此可得出，原计划用的时间＝实际用的时间+20分钟+4分钟．【解答】解：设A、B两地间的距离为x千米，由题意得：＝++，解得x＝24．答：A、B两地间的距离为24千米．【例2】.“长珲高铁”被誉为“东北最美高铁”，它给居民出行带来了很大的便利，高铁平均速度比汽车平均速度快80km/小时．从延吉到长春坐汽车需要5小时，坐高铁只需要2.5小时，求汽车的平均速度和高铁的平均速度．【分析】设汽车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度为（x+80）km/h，根据速度×时间＝路程，列出方程即可．【解答】解：设汽车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度为（x+80）km/h，由题意得5x＝2.5（x+80），解得x＝80，∴x+80＝160（km/h），答：汽车的平均速度为80km/h，高铁的平均速度为160km/h．【变式训练2】.已知环形跑道一圈长为400米，小丽与小杰的速度之比为3：4，如果小丽和小杰在跑道上相距8米处同时反向出发，经过28秒后两人首次相遇，求两人的速度各是多少？【分析】设小丽的速度为3x米/秒，则小杰的速度为4x米/秒，利用路程＝速度×时间，结合经过28秒后两人首次相遇，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入3x和4x中即可求出结论．【解答】解：设小丽的速度为3x米/秒，则小杰的速度为4x米/秒，依题意得：（3x+4x）×28+8＝400，解得：x＝2，∴3x＝6（米/秒），4x＝8（米/秒）．答：小丽的速度为6米/秒，小杰的速度为8米/秒．【例3】.甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为a千米/时（0＜a＜100），同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米/时，两车相遇时客车行驶的路程比出租车少100千米．（1）求a的值．（2）求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间．【分析】（1）设经过t小时相遇，由两车相遇时，路程之和＝800千米，列出方程可求解；（2）设客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间为y小时，分相遇前和相遇后两种情况讨论，列出方程可求解．【解答】解：（1）设经过t小时相遇，由题意可得：90t+90t﹣100＝800，∴t＝5，∴a＝＝70，答：a的值为70；（2）设客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间为y小时，由题意可得：（70+90）y＝800﹣100或（70+90）y＝800+100，∴y＝或，答：客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间为或小时．【变式训练3】.A、B两地相距480千米，一列慢车从A地出发，每小时走60千米，一列快车从B地出发，每小时走65千米．（1）两车同时出发相向而行，几小时后相遇？（2）慢车出发1小时后快车从B地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？【分析】（1）设两车同时出发相向而行，x小时后相遇，根据两点间的距离＝两车的速度之和×时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设快车出发y小时后追上慢车，则此时慢车出发（y+1）小时，根据快车追上慢车时快车比慢车多行驶480千米，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设两车同时出发相向而行，x小时后相遇，依题意得：（60+65）x＝480，解得：x＝．答：两车同时出发相向而行，小时后相遇．（2）设快车出发y小时后追上慢车，则此时慢车出发（y+1）小时，依题意得：65y﹣60（y+1）＝480，解得：y＝108．答：快车出发108小时后追上慢车．【例4】.一艘船从甲码头到乙码头顺流而下，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．若水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度．【分析】等量关系为：顺水速度×顺水时间＝逆水速度×逆水时间．即2×（静水速度+水流速度）＝2.5×（静水速度﹣水流速度）；【解答】解：设船在静水中的平均速度为x千米/时，由题意可得：2（x+3）＝2.5（x﹣3），解得：x＝27，答：船在静水中的平均速度为27千米/时．【变式训练4】.某人乘船从A地顺流去B地，用时3小时；从B地返回A地用时5小时．已知船在静水中速度为40km/h，求水的速度与AB间距离．【分析】设水速为xkm/h，由乘船从A地顺流去B地，用时3小时；从B地返回A地用时5小时，列出方程，可求解．【解答】解：设水速为xkm/h，则3（40+x）＝5（40﹣x），∴x＝10，∴AB间距离＝3×（40+10）＝150（km），答：水的速度为10km/h，AB间距离为150km．【例5】.某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回到达A地，一共用了8小时．已知此船在静水中的速度为8千米/小时，水流的速度为2千米/小时．求A、B两地之间的路程．【分析】设A、B两地之间的路程为x千米，根据时间＝路程÷速度结合该船往返共用了8小时，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设A、B两地之间的路程为x千米，依题意，得：+＝8，解得：x＝30．答：A、B两地之间的路程为30千米．【变式训练5】.某船从甲码头顺流而下到达乙码头，然后再从乙码头逆流而上返回甲码头共用10小时，此船在静水中速度为25千米/时，水流速度为5千米/时．（1）此船顺流而行的速度为　30　千米/时，逆流而行的速度为　20　千米/时；（2）求甲乙两码头间的航程．【分析】（1）根据船速与水流速即可求出答案．（2）设甲乙两码头间的航程为x千米，根据题意列出方程即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：顺流速度为：25+5＝30千米/时，逆流速度为：25﹣5＝20千米/时，故答案为：30，20；（2）设甲乙两码头间的航程为x千米，∴+＝10，∴解得：x＝120，答：甲乙两码头之间的航程为120千米 二、课堂训练1．小明、小刚两人从同一地点出发，如果小明先出发1小时后，小刚从后面追赶，那么当小刚追上小明时，下面说法正确的是（　　）A．小刚比小明多走了1小时 B．小刚、小明所走的路程相等 C．小刚、小明所用的时间相等 D．小刚走的路程比小明多【分析】小明、小刚两人从同一地点出发，小刚追上小明，那么小刚走的路程＝小明走的路程．【解答】解：∵小明、小刚两人从同一地点出发，如果小明先出发1小时后，小刚从后面追赶，小刚追上小明，∴小刚、小明所走的路程相等．故选：B．2．方方早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是（　　）A．250（15﹣x）＝2900﹣80x B．80（15﹣x）+250x＝2900 C．250（15﹣x）＝2900+80x D．80x+250（15+x）＝2900【分析】设他推车步行的时间为x分钟，则骑自行车的时间为（15﹣x）分钟，利用路程＝速度×时间，结合他家离学校的路程是2900米，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设他推车步行的时间为x分钟，则骑自行车的时间为（15﹣x）分钟，依题意得：80x+250（15﹣x）＝2900，即250（15﹣x）＝2900﹣80x．故选：A．3．货轮从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少2.5小时，已知货轮在静水中速度为每小时24千米，水流速度为每小时3千米，求甲乙两地距离．设两地距离为x千米，则可列方程（　　）A． B． C． D．【分析】设两地距离为x千米，根据“货轮从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少2.5小时”列出方程即可．【解答】解：设两地距离为x千米，根据题意，得﹣＝2.5．故选：A．4．数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是﹣3，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，要使OB＝2OA，要经过 　或5　秒．【分析】根据题意可知，分两种情况：点B在原点左侧或右侧，然后即可列出相应的方程，从而可以求得经过几秒，OB＝2OA．【解答】解：设经过t秒OB＝2OA，当点B在原点左侧时，3﹣5t＝2（1+2t），解得t＝，当点B在原点右侧时，5t﹣3＝2（1+2t），解得t＝5，由上可得，当经过或5秒时，OB＝2OA，故答案为：或5．5．甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，甲比乙早出发15分钟，甲的速度是每小时6公里，乙速度是甲速度的，乙出发1小时后两人相距11公里，A、B两地的距离为　23　公里．【分析】设A、B两地的距离为x公里，根据乙出发1小时后两人相距11公里，即可得出关于x的一元一次方程（两种情况），解之即可得出结论．【解答】解：∵甲的速度是每小时6公里，乙速度是甲速度的，∴乙速度是6×＝4.5公里/小时，设A、B两地的距离为x公里，依题意，得：x﹣（1+）×6﹣4.5×1＝11或（1+）×6+4.5×1﹣x＝11，解得：x＝23或x＝1（不合题意），故答案为：236．小丽从家到学校有公路和小路两种路径，已知公路比小路远320米．早上小丽以61米/分钟的速度从公路去上学，10分钟后，爸爸发现她的作业忘带了，就以90米/分钟的速度沿小路去追赶，结果恰好在学校门口追上小丽．问小丽从家到学校的公路有多少米？【分析】设小丽从家到学校的时间为x分钟，根据小丽所走路程比爸爸所走路程多320米列方程即可．【解答】解：设小丽从家到学校的时间为x分钟，根据题意，得：61x﹣（x﹣10）×90＝320，解这个方程得：x＝20，20×61＝1220（米）．答：小丽从家到学校的公路有1220米． 三、课后巩固1．甲、乙两人从同一地点出发，如果甲先出发3小时后，乙从后面追赶，那么当乙追上甲时，下面说法正确的是（　　）A．甲和乙所用的时间相等 B．乙比甲多走3小时 C．甲和乙所走的路程相等 D．乙走的路程比甲多【分析】两人从同一地点出发，乙追上甲，那么甲走的路程＝乙走的路程．【解答】解：∵甲、乙两人从同一地点出发，甲先出发3小时，乙追上甲，∴甲和乙所走的路程相等．故选：C．2．一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地．设A、B两地间的路程是xkm，由题意可得方程（　　）A．70x﹣60x＝1 B．60x﹣70x＝1 C．﹣＝1 D．﹣＝1【分析】设A、B两地间的路程为xkm，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为1小时即可列出方程，求出x的值．【解答】解：设A、B两地间的路程为xkm，根据题意得，故选：C．3．小明和小刚从相距25.2千米的两地同时相向而行，小明每小时走4千米，3小时后两人相遇，设小刚的速度为x千米/时，列方程得（　　）A．4+3x＝25.2 B．3×4+x＝25.2 C．3（4+x）＝25.2 D．3（x﹣4）＝25.2【分析】要列方程，首先找出题中存在的等量关系：三小时内两人走的路程之和＝两地的距离25.2千米，再根据此等量关系列方程就不难了．【解答】解：设小刚的速度为x千米/时，则3小时两人走的路程为3（4+x），根据三小时内两人走的路程之和＝两地的距离25.2千米的等量关系可得到方程：3（4+x）＝25.2．故选：C．4．数轴上A，B两点分别为﹣10和90，两只蚂蚁分别从A，B两点出发，分别以每秒钟3个单位长和每秒钟2个单位长的速度匀速相向而行，经过　16或24　秒，两只蚂蚁相距20个单位长．【分析】由点A，B表示的数可求出线段AB的长，设经过x秒，两只蚂蚁相距20个单位长，利用两只蚂蚁的路程之和＝两只蚂蚁的速度之和×运动时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵数轴上A，B两点分别为﹣10和90，∴线段AB的长度为90﹣（﹣10）＝100个单位长．设经过x秒，两只蚂蚁相距20个单位长，依题意得：（3+2）x＝100﹣20或（3+2）x＝100+20，解得：x＝16或x＝24．故答案为：16或24．5．某日小王驾驶一辆小型车到某地办事，上午9：00达，在路边的电子收费停车区域内停车．收费标准如图．（1）如果他9：50离开，那么应缴费 　4.5　元；（2）如果他离开时缴费15元，那么停车的时长可能是 　120　分钟．（写出一个即可）【分析】（1）根据小型车首小时内收费标准进行即可求解；（2）设停车收取费用的时长为15分钟的n倍，根据小型车白天的收费标准列方程解答即可．【解答】解：（1）50÷15＝3，∴如果他9：50离开，那么应缴费1.5×3＝4.5（元），故答案为：4.5；（2）设停车收取费用的时长为15分钟的n倍，由题意得：×1.5+（n﹣）×2.25＝15，解得：n＝8，∴停车的时长可能是15×8＝120（分钟），故答案为：120（答案不唯一）．6．某人乘船由A地顺流而下到达B地，然后又逆流而上到C地，共用了3小时．已知船在静水中速度为每小时8千米，水流速度是每小时2千米．已知A、B、C三地在一条直线上，若AC两地距离是2千米，则AB两地距离多少千米？（C在A、B之间）【分析】根据路程、速度、时间之间的关系列出方程即可解答．【解答】解：设AB两地距离为x千米，则CB两地距离为（x﹣2）千米．根据题意，得+＝3解得  x＝．答：AB两地距离为千米．