人教版七年级上册第一章 有理数综合与测试巩固练习

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有理数
1.有理数：
(1)凡能写成形式的数，都是有理数.
有理数的分类: ① ②
注意：0即不是正数，也不是负数；
-a不一定是负数，+a也不一定是正数；
不是有理数；
2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
3．相反数：
(1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a和- a互为相反数；
0的相反数还是0；
(2) a+b=0  a、b互为相反数.
4.绝对值：
(1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
(2) 或 或；
正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；
绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组；
5.有理数比大小：
两个负数比大小，绝对值大的反而小；
数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.
6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；
注意：0没有倒数；
若 a≠0，那么的倒数是；
若ab=1 a、b互为倒数；
若ab=-1 a、b互为负倒数.
【例1】.（1）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣6D．3
【分析】根据负数都小于0，负数都小于正数，得出﹣2和﹣6小，根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，即可得出答案．
【解答】解：∵﹣6＜﹣2＜0＜3，
∴最小的数是﹣6，
故选：C．
（2）下列说法不正确的是（ ）
A．﹣3.14既是负数、分数，也是有理数
B．0既不是正数，也不是负数，但是整数
C．﹣2019是负整数，但不是有理数
D．0是正数和负数的分界
【分析】依据有理数分类、正负数分类逐项判断即可．
【解答】解：A、﹣3.14属于负数，分数，有理数，故A不符合题意；
B、0不属于正数，也不属于负数，属于整数，故B不符合题意；
C、﹣2019属于有理数，故C符合题意；
D、0为正数和负数的分界，故D符合题意．
故选：C．
（3）在数轴上从左到右有A，B，C三点，其中AB＝1，BC＝2，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是x，则下列说法错误的是（ ）
A．若以点A为原点，则x的值是4
B．若以点B为原点，则x的值是1
C．若以点C为原点，则x的值是﹣4
D．若以BC的中点为原点，则x的值是﹣2
【分析】利用数轴的意义对各选项进行分析判断即可．
【解答】解：A、若以点A为原点，则B、C对应的数为1，3，则x＝0+1+3＝4，故本选项说法正确，不符合题意；
B、若以点B为原点，则A、C对应的数为﹣1，2，则x＝0﹣1+2＝1，故本选项说法正确，不符合题意；
C、若以点C为原点，则B、A对应的数为﹣2，﹣3，则x＝0﹣2﹣3＝﹣5≠﹣4，故本选项说法错误，符合题意；
D、若以BC的中点为原点，则B、C对应的数为﹣1，1，A对应的数为﹣2，则x＝﹣2﹣1+1＝﹣2，故本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
（4）﹣1的倒数是 ﹣ ，相反数是 1 绝对值是 1 ．
【分析】利用绝对值、倒数、相反数的定义进而求出即可．
【解答】解：﹣1的倒数是：﹣，相反数是：1；
绝对值是：1；
故答案为：﹣；1；1．
【变式训练1】.（1）下列各数中最大的是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．0D．1
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的其值反而小，依此比较大小即可求解．
【解答】解：因为﹣3＜﹣2＜0＜1，
所以其中最大的数为1．
故选：D．
（2）下列说法中正确的个数有（ ）
①﹣4.2是负分数；②3.7不是整数；③非负有理数不包括零；④正有理数、负有理数统称为有理数；⑤0是最小的有理数
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】结合有理数的分类分析即可．
【解答】解：①﹣4.2是负分数是正确的；
②3.7不是整数是正确的；
③非负有理数包括零，原来的说法错误；
④正有理数、0、负有理数统称为有理数，原来的说法错误；
⑤没有最小的有理数，原来的说法错误．
故说法中正确的个数有2个．
故选：B．
（3）如图所示，有理数a、b在数轴上的位置如图，则下列说法错误的是（ ）
A．b﹣a＞0B．a+b＜0C．ab＜0D．b＜a
【分析】根据数轴上点的位置关系，可得a、b的大小，判定D，根据有理数的加法，可判断B；根据有理数的乘法，可判断C；根据有理数的减法，可判断A．
【解答】解：由数轴上点的位置关系，得a＞0＞b，|a|＜|b|，
A．b﹣a＜0，故此选项错误；
B．a+b＜0，故此选项正确；
C．ab＜0，故此选项正确；
D．b＜a，故此选项正确．
故选：A．
（4）﹣1.2的倒数是 ﹣ ，相反数是 1.2 ，绝对值是 1.2 ．
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数，再根据负数的绝对值等于他的相反数，可得一个数的绝对值．
【解答】解：﹣1.2的倒数是﹣，相反数是1.2，绝对值是1.2，
故答案为：﹣，1.2，1.2．
有理数的四则运算
1. 有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）一个数与0相加，仍得这个数.
2．有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；
（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.
4. 有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定，负因数为奇数个时乘积为负，负因数为偶数个时乘积为正.
5. 有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；
（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .
6．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；
注意：零不能做除数，.
【例2】.（1）计算：11.125﹣1+4﹣4.75．
【分析】根据有理数的加减运算法则及加法交换律和结合律进行计算．
【解答】解：原式＝11﹣1+4﹣4
＝（11+4）﹣（1+4）
＝16﹣6
＝10
（2）计算：（﹣）÷（﹣2）×．
【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝××
＝．
【变式训练2】.（1）计算：．
【分析】先将减法转化为加法，再依据法则计算可得．
【解答】解：原式＝0.4+3.6﹣8﹣12
＝4﹣20
＝﹣16．
（2）计算：1×1.4．
【分析】将带分数化为假分数，小数化为分数，除法变为乘法，再约分计算即可求解．
【解答】解：1×1.4
＝××
＝．
有理数的乘方与有理数的混合运算
1．乘方的定义：
（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
2．有理数乘方的法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；
注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .
3.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.，有括号的先算括号.
【例3】.（1）下列算式中结果为负数的是（ ）
A．﹣（﹣3）B．|﹣2|C．（﹣2）3D．（﹣2）2
【分析】根据相反数、绝对值、和理数的乘方逐一判断即可．
【解答】解：A．﹣（﹣3）＝3，不合题意；
B．|﹣2|＝2，不合题意；
C．（﹣2）3＝﹣8，符合题意；
D．（﹣2）2＝4，不合题意．
故选：C．
（2）计算：[2+（﹣5）2]÷3×﹣|﹣4|+23．
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减．同级运算，从左往右计算．
【解答】解：原式＝[2+25]÷3×﹣4+8
＝27÷3×﹣4+8
＝9×﹣4+8
＝3﹣4+8
＝7．
【变式训练3】.（1）已知下列各数：﹣（﹣2），﹣34，5.2，﹣|﹣|，（﹣1）2009，0中，其中是非负数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】从6个数中找到非负数即可．
【解答】解：﹣（﹣2），﹣34，5.2，﹣|﹣|，（﹣1）2009，0中，其中是非负数有：其中是非负数的有：﹣（﹣2），5.2，0共3个，
故选：C．
（2）计算：24÷（﹣2）3+[（﹣3）2+5]×|﹣|．
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【解答】原式＝24÷（﹣8）+[9+5]×
＝﹣3+14×
＝﹣3+7
＝4．
科学记数法与近似数
1．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，（其中1a10）这种记数法叫科学记数法.
2.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
3.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.
【例3】.（1）2021年5月21日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查情况，全国人口总数约为14.12亿人．用科学记数法表示14.12亿人，可以表示为 1.412×109 人．
【分析】把一个大于10的数写成科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，n的值比这个数的整数位数少1．
【解答】解：14.12亿＝1412000000＝1.412×109，
故答案为：1.412×109．
（2）用四舍五入法把数6.5378精确到0.01，得近似数为 6.54 ．
【分析】对千分位数字四舍五入即可．
【解答】解：用四舍五入法把数6.5378精确到0.01，得近似数为6.54，
故答案为：6.54．
（3）近似数0.0320有 3 个有效数字．
【分析】根据有效数字的定义和题目中的数据，可以写出有效数字的个数，从而可以解答本题．
【解答】解：近似数0.0320有3个有效数字，
故答案为：3．
【变式训练3】.（1）人民网哈尔滨1月10日电，1月10日在黑龙江省政府新闻办举办的“重振雄风再出发﹣﹣龙江这一年”系列主题新闻发布会上表示，全省实现旅游收入2683.8亿元，将2683.8亿用科学记数法表示为 2.683×1011 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【解答】解：2683.8亿＝268380000000＝2.683×1011，
故答案为：2.683×1011．
（2）用四舍五入法将3.1415精确到百分位约等于 3.14 ．
【分析】把千分位上的数字1进行四舍五入即可．
【解答】解：3.1415（精确到百分位）是3.14．
故答案为：3.14．
（3）近似数1.024有 4 个有效数字．
【分析】根据有效数字的定义和题目中的数据，可以写出相应的有效数字．
【解答】解：似数1.024有四个有效数字，
故答案为：4．
课堂训练
1．在四个数﹣5、﹣1、0、3中最小的数是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．0D．3
【分析】正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：∵﹣5＜﹣1＜0＜3，
∴最小的数为﹣5，
故选：A．
2．下列数轴表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】注意数轴的三要素以及在数轴上，右边的数总比左边的数大即可做出判断．
【解答】解：A选项，应该正数在右边，负数在左边，故该选项错误；
B选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误；
C选项，没有原点，故该选项错误；
D选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确；
故选：D．
3．﹣（﹣6）的相反数是（ ）
A．B．C．﹣6D．6
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣（﹣6）＝6，
故﹣（﹣6）的相反数是﹣6．
故选：C．
4．如图是小竹观察到温度计的示数，该示数的绝对值是（ ）
A．﹣9B．9C．﹣11D．11
【分析】观察温度计的示数，这个示数在0℃以下，这个示数为﹣9，所以绝对值为9．
【解答】解：观察温度计，这个示数为﹣9，
所以该示数的绝对值为9，
故选：B．
5．经过4.6亿公里的飞行，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日在火星表面成功着陆，火星上首次留下了中国的印迹．将4.6亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.6×109B．0.46×109C．46×108D．4.6×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：4.6亿＝460000000＝4.6×108．
故选：D．
6．用四舍五入法将0.0375精确到0.01是 0.04 ．
【分析】把千分位上的数字7进行四舍五入即可．
【解答】解：将0.0375精确到0.01是0.04．
故答案为0.04．
7．比较大小： ＞ ．
【分析】先比较与的大小，再根据比较两个负数大小的方法确定最后答案．
【解答】解：∵|﹣|＝，|﹣2|＝，＜，
∴﹣＞﹣2，
故答案为：＞．
8．已知A，B是数轴上的两点，且AB＝4.5，点B表示的数为1，则点A表示的数为 ﹣3.5或5.5 ．
【分析】根据AB＝4.5，点B表示的数为1，进行分类讨论A可以在B的左边或右边，求得点A表示的数．
【解答】解：∵AB＝4.5，B表示1，
∴A表示为1﹣4.5＝﹣3.5或1+4.5＝5.5．
故答案是：﹣3.5或5.5．
9．计算：．
【分析】利用有理数混合运算的法则运算：先做乘方，再做乘除，最后做加减，有括号的先做括号里面的．
【解答】解：原式＝﹣9÷（4﹣1）+（﹣）×24
＝﹣9÷3+（×24﹣×24）
＝﹣3+（16﹣6）
＝﹣3+10
＝7．
10．一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：+6，﹣2，+10，﹣8，﹣7，+11，﹣10．
（1）守门员是否回到了原来的位置？
（2）守门员离开球门的位置最远是多少？
（3）守门员一共走了多少路程？
【分析】（1）只需将所有数加起来，看其和是否为0即可；
（2）计算每一次跑后的数据，绝对值最大的即为所求；
（3）将所有绝对值相加即可．
【解答】解：（1）根据题意得：6﹣2+10﹣8﹣7+11﹣10＝0．
答：回到了原来的位置．
（2）第一次离开6米，第二次离开4米，第三次离开14米，第四次离开6米，第五次离开1米，第六次离开10米，第七次离开0米，
则守门员离开守门的位置最远是14米；
（3）总路程＝|+6|+|﹣2|+|+10|+|﹣8|+|﹣7|+|+11|+|﹣10|＝54米．
课后巩固
1．下表是几种液体在标准大气压下的沸点：
则沸点最高的液体是（ ）
A．液态氧B．液态氢C．液态氮D．液态氦
【分析】根据有理数大小的比较方法解答即可．
【解答】解：因为﹣268.9＜﹣253＜﹣196＜﹣183，
所以沸点最高的液体是液态氧．
故选：A．
15．下列各数中，既是分数又是负数的是（ ）
A．﹣3.1B．﹣4C．0D．2.8
【分析】根据小于零的分数是负分数，可得答案．
【解答】解：A、﹣3.1既是分数又是负数，故本选项符合题意；
B、﹣4是负整数，故本选项不合题意；
C、0不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
D、2.8是正分数，故本选项不合题意；
故选：A．
3．下列几种说法正确的是（ ）
A．0是最小的数
B．最大的负有理数是﹣1
C．1是绝对值最小的正数
D．平方等于本身的数只有0和1
【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，平方的意义，可得答案．
【解答】解：A、没有最小的数，故A错误；
B、没有最大的负有理数，故B错误；
C、没有绝对值最小的正数，故C错误；
D、平方等于它本身的数只有0和1，故D正确；
故选：D．
4．已知a，b，c三个数在数轴上，对应点的位置如图所示，下列各式错误的是（ ）
A．b＜a＜cB．﹣a＜bC．a+b＜0D．c﹣a＞0
【分析】先根据在数轴上，右边的数总比左边的数大，得出b＜a＜c，再由相反数的定义、绝对值的性质以及有理数的加减法法则得出结果．
【解答】解：根据数轴可得：b＜a＜0＜c，
∴a+b＜0、c﹣a＞0．
∴A、C、D选择正确．
∵a＜0．
∴﹣a＞0．
∴﹣a＞b．
∴B选项错误．
故选：B．
5．﹣|﹣2021|的相反数为（ ）
A．﹣2021B．2021C．﹣D．
【分析】根据绝对值的定义、相反数的定义解题即可．
【解答】解：∵﹣|﹣2021|＝﹣2021，
∴﹣2021的相反数为2021．
故选：B．
6．计算：﹣（﹣1）4＝ ﹣1 ．
【分析】根据乘方的意义直接得出．
【解答】解：﹣（﹣1）4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
7．“⊗”定义新运算：对于任意的有理数a和b，都有a⊗b＝b2+1．例如：9⊗5＝52+1＝26．当m为有理数时，则m⊗（m⊗3）等于 101 ．
【分析】根据题目中的新定义a⊗b＝b2+1．可以计算出所求式子的值．
【解答】解：∵a⊗b＝b2+1．
∴m⊗（m⊗3）
＝m⊗（32+1）
＝m⊗（9+1）
＝m⊗10
＝102+1
＝100+1
＝101，
故答案为：101．
8．上海市于2011年6月8日宣布撤销黄浦区、卢湾区建制，设立新的黄浦区，新黄浦区全区户籍人口约有906300人，把这个人口数用科学记数法来表示为 9.063×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：906300＝9.063×105．
故答案为：9.063×105．
9．计算：﹣22+3×（﹣1）2021﹣（﹣12）×（）．
【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题．
【解答】解：﹣22+3×（﹣1）2021﹣（﹣12）×（）
＝﹣4+3×（﹣1）+12×﹣12×
＝﹣4+（﹣3）+4﹣9
＝﹣12．
10．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
+14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5．
（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；
（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；
（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量．
【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20，
∴B地在A地的东边20千米；
（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；14﹣9＝5千米；
14﹣9+8＝13千米；
14﹣9+8﹣7＝6千米；
14﹣9+8﹣7+13＝19千米；
14﹣9+8﹣7+13﹣6＝13千米；
14﹣9+8﹣7+13﹣6+12＝25千米；
14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20千米．
∴最远处离出发点25千米；
（3）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12+|﹣5|＝74千米，
应耗油74×0.5＝37（升），
故还需补充的油量为：37﹣28＝9（升）
液体名称
液态氧
液态氢
液态氮
液态氦
沸点/℃
﹣183
﹣253
﹣196
﹣268.9