人教版12.2 三角形全等的判定课后复习题

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12.2三角形全等的判定 培优


一、单选题
1．如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB＝AC，AD＝AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF ②△AED为等腰三角形
③BE＋DC＞DE④BE2＋DC2=DE2，其中正确的有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
试题分析：：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，AD=AF，∠DAE=∠FAE=45°，AE=AE，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°．∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，∴AD与AE不一定相等，②错误；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，AC=AB，∠CAD=∠BAF，AD=AF，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．在Rt△BEF中，由勾股定理，得，∵BF=DC，EF=DE，∴，④正确．所以正确的结论有①③④．故选C．
考点：1．等腰直角直角三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理．
2．如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，则∠BFD的度数是（　　　）

A．60° B．90° C．45° D．120°
【答案】B
【分析】
先证△BAE≌△CAD，得出∠B=∠C，再证∠CFB=∠BAC=90°即可．
【详解】
解：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
,
∴△BAE≌△CAD，
∴∠B=∠C，
∵∠BGA=∠CGF，
∴∠CFB=∠BAC=90°,
∴∠BFD=90°,
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是确定全等三角形并通过8字型导角求出度数．
3．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
可延长DE至F，使EF=BC，利用SAS可证明△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，再利用SSS证明△ACD≌△AFD，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求解即可．
【详解】
延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，

在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC=AF，
∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，
∴CD=EF+DE=DF，
在△ACD与△AFD中，
，
∴△ACD≌△AFD（SSS），
∴五边形ABCDE的面积是：S=2S△ADF=2וDF•AE=2××2×2=4．
故选C.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积是解决问题的关键．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于点F交BC于点E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，下列结论错误的是（　　）

A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF
【答案】A
【分析】
通过证明△ADF≌△BDC，可得AF＝BC＝2CE，由等腰直角三角形的性质可得AG＝BG，DG⊥AB，由余角的性质可得∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，可得DH＝DF，由线段垂直平分线的性质可得AH＝BH，可求∠EHB＝∠EBH＝45°，可得HE＝BE，即可求解．
【详解】
解：∵∠BAC＝45°，BD⊥AC，
∴∠CAB＝∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴CE＝BE＝BC，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，AE⊥BC，
∴∠C+∠CAE＝90°，且∠C+∠DBC＝90°，
∴∠CAE＝∠DBC，且AD＝BD，∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴△ADF≌△BDC（AAS）
∴AF＝BC＝2CE，故选项C不符合题意，
∵点G为AB的中点，AD＝BD，∠ADB＝90°，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，
∴AG＝BG，DG⊥AB，∠AFD＝67.5°
∴∠AHG＝67.5°，
∴∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，
∴DH＝DF，故选项D不符合题意，
连接BH，

∵AG＝BG，DG⊥AB，
∴AH＝BH，
∴∠HAB＝∠HBA＝22.5°，
∴∠EHB＝45°，且AE⊥BC，
∴∠EHB＝∠EBH＝45°，
∴HE＝BE，
故选项B不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形全等的性质与判定,等腰直角三角形的性质,关键在于熟练掌握基本知识点,灵活运用知识点.
5．如图所示，在中，为斜边的中点，，且，则( )

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据线段的垂直平分线，可知∠B=∠BAD，然后根据直角三角形的两锐角互余，可得∠BAC+∠B=90°，设∠CAD=x，则∠BAD=7x，则x+7x+7x=90°，解得x=6°，因此可知∠BAC=∠CDA+∠BAD=6°+42°=48°.
故选：D.
点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质求角的关系，根据比例关系设出未知数，然后根据角的关系列方程求解是解题关键.
6．如图，A在O正北方向，B在O正东方向，且A、B到点O的距离相等，甲从A出发，以每小时60千米的速度朝正东方向行驶，乙从B出发，以每小时40千米的速度朝正北方向行驶，1小时后，位于点O处的观察员发现甲乙两人之间的夹角为45°，此时甲乙两人相距（ ）千米。

A．80 B．50 C．100 D．100
【答案】D
【解析】
由题意可知，∠AOB=90°，OA=OB，AC=60km，BD=40km，把△OBD逆时针旋转90°到△OAB’的位置，根据旋转的性质可得BD=AB’，OD=OB’，∠B’OD=∠AOB=90°，因∠COD=45°，即可得∠COB’=45°，根据SAS即可判定△DOC≅△B’OC，由全等三角形的性质可得CD=B’C=AC+AB’=AC+BD=60+40=100km，故选D.

点睛：本题考查了旋转的旋转、全等三角形的判定及性质等知识点，正确作出辅助线，判定△DOC≅△B’OC是解决本题的关键.
7．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜1，n＞0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜2 B．2＜m＜3 C．m＜3 D．m＞3
【答案】B
【分析】
过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，

∵点A（0，2），
∴AO＝2，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，
∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC，
∴∠ABO+∠CBD＝90°
∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，
∴0＜a＜1，
∵OD＝OB+BD＝2+a＝m，
∴2＜m＜3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、不等式和坐标等知识，解题关键是树立数形结合思想，把坐标与线段长联系起来，确定取值范围．
8．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AFB=60°；③BF=AH；④△ECF≌△DCG；⑤连CG，则∠BGC=∠DGC．其中正确的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
运用等边三角形的性质和角的和差可得出条件，①△ACD≌△BCE；由∠ACB=60°，可得∠AFB=∠ACB+∠FBC＞60°，可知②错误；由△ACD≌△BCE可得出∠CBF=∠CAH，以及由题意得BC=AC,但找不到其他条件是，不能证明△BCF≌△ACH；在△BCF和△DCG中
∠CEG=∠CDG，缺少其他条件,说明④错误；作CJ⊥BE,CK⊥AD，由△BCE≌△ACD，可得∠BGC=∠DGC.
【详解】
解：∵ △ABC与△CDE都是等边三角形
∴∠BCA=∠DCE=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中
BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD
∴△ACD≌△BCE（SAS），①正确；
∵∠ACB=60°，
∴∠AFB=∠ACB+∠FBC＞60°，可知②错误；
∵△ACD≌△BCE
∴∠CBF=∠CAH；
在△BCF和△ACH中
∠CBF=∠CAH，BC=AC，缺少其他条件
故③错误；
∵△ACD≌△BCE
∴∠CEG=∠CDG；
在△BCF和△DCG中
∴∠CEG=∠CDG，缺少其他条件,故④错误；
作CJ⊥BE,CK⊥AD，
∵△BCE≌△ACD，
∴CJ=CK，
∴GC平分∠BGD，
∴∠BGC=∠DGC，故⑤正确；
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质、等边三角形的性质以及四点共圆的相关知识，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键.


二、填空题
9．如图，ABBD于B，EDBD于D，AB=CD,AC=CE，则∠ACE=__________°.

【答案】90
【解析】
先根据条件由HL判定△ABC≌△CDE，就可以得出∠A=∠DCE，再由平角的定义及可以求出∠ACE=90°．
故答案为：90．
点睛：本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明△ABC≌△CDE是关键．
10．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB．若AB=9，AC=5，则AM的长为______．

【答案】7
【解析】
【分析】
过点E作EN⊥AC的延长线于点N，连接BE、EC，利用角平分线的性质、垂直平分线的性质得到EM=EN，EB=EC，证明Rt△BME≌Rt△CNE（HL），得到BM=CN，证明Rt△AME≌Rt△ANE（HL），得到AM=AN，由AM=AB-BM=AB-CN=AB-（AN-AC）=AB-AN+AC=AB-AM+AC，即AM=9-AM+5，即可解答．
【详解】
解：如图，过点E作EN⊥AC的延长线于点N，连接BE、EC，

∵BD=DC，DE⊥BC
∵BE=EC．
∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，
∴EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．
在Rt△BME和Rt△CNE中，
，
∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）
∴BM=CN，
在RtAME和Rt△ANE中，
，
∴Rt△AME≌Rt△ANE（HL）
∴AM=AN，
∴AM=AB-BM=AB-CN=AB-（AN-AC）=AB-AN+AC=AB-AM+AC，
即AM=9-AM+5
2AM=9+5
2AM=14
AM=7．
故答案为：7．
【点睛】
考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明Rt△BME≌Rt△CNE（HL），得到BM=CN，证明Rt△AME≌Rt△ANE（HL），得到AM=AN．
11．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C(1，2)、A(－2，0)，则点B的坐标是__________.

【答案】(3，－1)
【解析】
分析：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
详解：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，

∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB=90°；∠CAD=∠BCE，AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴DC=BE，AD=CE，
∵点C的坐标为(1,2),点A的坐标为(−2,0)，
∴AD=CE=3，OD=1，BE=CD=2，
∴则B点的坐标是(3,−1).
故答案为(3,−1).
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键在于结合坐标、图形性质和已经条件.
12．如图，已知△ABC，BC=10，分别以AB，AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE，CD交于点P，则S△CBP的最大值是_______．

【答案】25
【解析】
解：∵∠BAD=交CAE=90°，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，∵AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE，∴△DAC≌△BAE，∴∠ADC=∠ABE，∴∠PDB+∠PBD=90°，∴∠DPB=90°，∴=100，∵ ，∴，∴BP•PC≤50，∴=BP•PC≤×50=25．故答案为：25．
点睛：本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理．由 ，得到是解答本题的关键．
13．如图，中，，，D为延长线上一点，，且，与的延长线交于点P，若，则__________．

【答案】
【分析】
作于，根据全等三角形性质得出CP=PM，DC=AM，设PC=PM=x，AC=BC=3x，AM=DC=5x，求出BD=2x，即可求出答案．
【详解】
解：作于，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中

，
，，
，，
设，，，
，
，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
14．如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是__________．（填序号）．

【答案】①③④
【分析】
只需要证明△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF即可解决所有问题.
【详解】
解：∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴△ABD≌△ACF
∴①正确
∴，，
∵，
∴，即
∴②错误
∵，，
∴△AED≌△AEF
∴，
∴
若，，则
∵
∴
∴③正确
∵，
∴
∴④正确
故答案为：①③④.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键在于找到三角形全等的条件.
15．如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：

①AE=CF；②EF=AP；③2S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）有BE+CF=EF；上述结论中始终正确的序号有__________．
【答案】①③
【分析】
根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到①③都是正确．
【详解】
∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴∠EAP=∠BAC=45°，AP=BC=CP．
①在△AEP与△CFP中，
∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，
∴△AEP≌△CFP，
∴AE=CF．正确；
②只有当F在AC中点时EF=AP，故不能得出EF=AP，错误；
③∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．
∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC，即2S四边形AEPF=S△ABC；正确；
④根据等腰直角三角形的性质，EF=PE，
所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误；
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，证得△AEP和△CFP全等是解题的关键，也是本题的突破点．
16．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点．∠MDN＝90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：
①△DEF是等腰直角三角形；
②AE＝CF；
③△BDE≌△ADF；
④BE+CF＝EF；
⑤S四边形AEDF＝AD2，
其中正确结论是_____（填序号）

【答案】①②③
【解析】
【分析】
先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE＝CF，DE＝FD；再由全等三角形的性质得到BE+CF＝AB，由勾股定理求得EF与AB的值，通过比较它们的大小来判定④的正误；先得出S四边形AEDF＝S△ADC＝AD2，从而判定⑤的正误．
【详解】
解：∵Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，
∴∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，
∵∠MDN＝90°，
∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF．
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE＝CF，ED＝FD．故①②正确；
又∵△ABD≌△ACD，
∴△BDE≌△ADF．故③正确；
∵△AED≌△CFD，
∴AE＝CF，ED＝FD，
∴BE+CF＝BE+AE＝AB＝BD，
∵EF＝ED，BD＞ED，
∴BE+CF＞EF．故④错误；
∵△AED≌△CFD，△BDE≌△ADF，
∴S四边形AEDF＝S△ADC＝AD2．故⑤错误．
综上所述，正确结论是①②③．
故答案是：①②③．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．

三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，a），点B（b，0），且实数a，b满足+（b﹣8）2＝0．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）点P从点B出发，沿x轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为t，△APO的面积为S，求用含t的式子表示S，并直接写出的t取值范围；
（3）在（2）的条件下，点Q在AO上，射线BQ与AP交于点M，过点A作AN⊥BQ交直线BQ于点N，交x轴于点R，当△ANM的面积等于△ONM的面积时，求点R的坐标．

【答案】（1）B（8，0），A（0，8）；（2）S＝；（3）R（﹣4，0）
【分析】
（1）利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论．
（2）分两种情形：①当点P在BO上时，如图1，②当点P在BO延长线上时，如图2，分别求解即可．
（3）利用面积法证明AN＝OK，再证明△ANQ≌△OKQ，△BOQ≌△AOR，可得结论．
【详解】
解（1）∵+（b﹣8）2＝0，
又∵≥0，（b﹣8）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣8＝0，
∴a＝b＝8，
∴B（8，0），A（0，8）．
（2）①当点P在BO上时，如图1，

S＝•OA•OP＝•（8﹣2t）•8＝32﹣8t（0≤t＜4）．
②当点P在BO延长线上时，如图2，

S＝•OA•OP＝•（2t﹣8）•8＝8t﹣32（t＞4）．
综上所述，S＝．
（3）①当点P在BO上时，如图3，
过点O作OK⊥BN于点K，

∵S△ANM＝MN•AN，
S△OMN＝MN•OK，
∵S△ANM＝S△OMN，
∴MN•AN＝MN•OK，
∴AN＝OK，
在△ANQ和△OKQ中，
，
∴△ANQ≌△OKQ（AAS），
∴AQ＝OQ，
∵OA＝8，
∴OQ＝4，
∵∠OBQ+∠BRN＝90°，
∠OAR+∠ARO＝90°，
∴∠OBQ＝∠OAR，
在△BOQ和△AOR中，
，
∴△BOQ≌△AOR（AAS），
∴OR＝OQ＝4，
∴R（﹣4，0）．
②当点P在BO延长线上时，如图4，

同理可证△ANQ≌△OKQ，△BOQ≌△AOR，
∴OR＝OQ＝4，
∴R（﹣4，0），
综上：R（﹣4，0）．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，求出OQ是解本题的关键．
18．（1）如图1，在△ABC中,∠ACB是直角,∠ABC=60°，AD、CE、BF分别是∠BAC、∠BCA、∠ABC的平分线，AD、CE、BF相交于点F.
①请求出∠AFC的度数并说明理由；
②请你判断FE与FD之间的数量关系并说明理由．
（2）如图2,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请判断线段AE、CD、AC之间的数量关系并说明理由．

【答案】（1）①120；②EF=DF；理由见解析（2）AE+CD=AC，理由见解析
【分析】
（1）①根据三角形内角和及外角的性质求出∠FAC，∠ACF即可解决问题；
②根据图（1）的作法，在AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD（SAS），得出DF=GF；再根据ASA证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（2）根据图（1）的作法，在AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF（SAS），得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题.
【详解】
（1）①∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°-60°=30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC=15°，∠FCA=45°，
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠ACF）=120°
故答案为120°；
②FE与FD之间的数量关系为：DF=EF．
理由：如图2，在AC上截取CG=CD，

∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF=∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF=GF．
∵∠ABC=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，且∠EAF=∠GAF，
∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=120°，
∴∠CFD=60°=∠CFG，
∴∠AFG=60°，
又∵∠AFE=∠CFD=60°，
∴∠AFE=∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF=GF，
∴DF=EF；
（2）结论：AC=AE+CD．
理由：如图3，在AC上截取AG=AE，

同（1）可得，△EAF≌△GAF（SAS），
∴∠EFA=∠GFA．
又由题可知，∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°，
∴∠EFA=∠GFA=180°-120°=60°=∠DFC，
∴∠CFG=∠CFD=60°，
同（1）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD=CG，
∴AC=AG+CG=AE+CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．
19．已知：如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)、B(0，b)，且|a＋2|＋(b＋2a)2＝0，点P为x轴上一动点，连接BP，在第一象限内作BC⊥AB且BC＝AB
(1) 求点A、B的坐标
(2) 如图1，连接CP．当CP⊥BC时，作CD⊥BP于点D，求线段CD的长度
(3) 如图2，在第一象限内作BQ⊥BP且BQ＝BP，连接PQ．设P(p，0)，直接写出S△PCQ＝_____

【答案】（1）A（-2,0），B（0，4）；（2）CD=2；（3）
【分析】
（1）由非负数的性质，可求出a、b的值，得到A、B的坐标；
（2）过C作CE⊥OB于E，与PB交于F，易证△AOB≌△BEC，可得OA=BE=2，即E为OB中点，所以EF为△BOP的中位线，F为Rt△BCP斜边BP上的中点，所以，所以∠BCF=∠CBD=∠ABO，再证△AOB≌△CDB即可得CD=OA.
（3）过B作BG⊥CQ于点G，延长QC与x轴交于H，通过证△ABP≌△CBQ，△BOP≌△BGQ可推出OBGH为矩形，以CQ为底，PH为高求面积.
【详解】
解：（1）∵|a＋2|＋(b＋2a)2＝0
∴a+2=0，b+2a=0，解得a=-2，b=4，
∴A（-2,0），B（0，4）
（2）如图所示，过C作CE⊥OB于E，与PB交于F，

∵BC⊥AB，∴∠ABO+∠EBC=90°，
在Rt△BCE中，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ABO=∠BCE
在△AOB和△BEC中，

∴△AOB≌△BEC（AAS）
∴BE=AO=2，又∵OB=4，∴E为OB的中点，
∵EC∥OP，∴EF为△BOP的中位线，则F为BP的中点，
在Rt△BCP中，CF为斜边上的中线，
∴
∴∠BCE=∠CBD=∠ABO
在△AOB和△CDB中

∴△AOB≌△CDB（AAS）
∴CD=AO=2
（3）如下图所示，过B作BG⊥CQ于点G，延长QC与x轴交于H，

∵∠ABP+∠PBC=90°，∠PBC+CBQ=90°，
∴∠ABP=∠CBQ
在△ABP与△CBQ中，

∴△ABP≌△CBQ（SAS）
∴∠BPO=∠BQG，CQ=AP=2+p，
在△BOP和△BGQ中，

∴△BOP≌△BGQ（AAS）
∴∠OBP=∠GBQ，BG=BO=4
又∵∠GBQ+∠PBG=90°
∴∠OBP+∠PBG=90°，即∠OBG=90°，
在四边形OBGH中，∠OBG=∠BOG=∠BGH=90°，
∴∠OHG=90°，∴PH是△PCQ中CQ边上的高，
PH=OH-OP=4-p
∴
【点睛】
本题考查全等三角形的综合运用，难度较大，作出正确辅助线构造全等三角形是解题的关键.
20．综合实践
如图①，，垂足分别为点，．

（1）求的长；
（2）将所在直线旋转到的外部，如图②，猜想之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；
（3）如图③，将图①中的条件改为：在中，三点在同一直线上，并且，其中为任意钝角．猜想之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)0.8cm;
(2)DE=AD+BE;
(3)DE=AD+BE，证明见解析．
【分析】
(1)本小题只要先证明，得到，，再根据，，易求出BE的值；
(2)先证明，得到，，由图②ED=EC+CD，等量代换易得到之间的关系；
（３）本题先证明，然后运用“AAS”定理判定，从而得到，再结合图③中线段ED的特点易找到之间的数量关系．
【详解】
解：(1)∵
∴
∴
∵
∴
∴
在与中，
∴
∴
又∵，
∴
(2)∵
∴
∴
∴
∴
∴
在与中，

∴
∴
又∵
∴
(3)∵
∴

∴
在与中，
∴
∴
又∵
∴
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定，确定一种判定定理，根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键．
21．已知点 C为线段 AB上一点，分别以 AC、BC为边在线段 AB同侧作△ACD和△BCE，且 CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线 AE与 BD交于点 F

(1)如图 1，若∠ACD＝60°，则∠AFD＝
(2)如图 2，若∠ACD＝α，则∠AFB＝ （用含α的式子表示），并说明理由。
(3) 将图 1 中的△ACD绕点 C顺时针旋转如图 3，连接 AE、AB、BD，∠ABD＝80°，求∠EAB的度数.
【答案】（1）60°；（2）180°-α，理由见解析；（3）140°
【分析】
（1）求出∠ACE=∠DCB，证出△ACE≌△DCB，根据全等性质得出∠EAC=∠BDC,再根据三角形内角和定理求出即可；（2）证出△ACE≌△DCB，根据全等性质得出∠EAC=∠BDC,再根据三角形内角和定理求出∠AFD =α，再由补角性质求出∠AFB的度数；（3）由四边形内角和定理得出∠CAB+∠CDB=220°，再证出△ACE≌△DCB,根据全等三角形的性质得出∠CAE=∠CDB,再由周角性质求解.
【详解】
解：（1）∠AFD =60°，理由如下：
如图1，设CD与AE交于点O,
∵CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACE=∠DCB,
∴△ACE≌△DCB,
∴∠EAC=∠BDC,
∵∠DOF=∠AOC, ∠DOF+∠BDC+∠AFD=∠AOC+∠EAC+∠ACD,
∴∠AFD=∠ACD=60°,
即∠AFD =60°；

（2）∠AFB=180°-α，理由如下：
如图2，设CD与AE交于点O,
∵CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE=α，
∴∠ACE=∠DCB,
∴△ACE≌△DCB,
∴∠EAC=∠BDC,
∵∠DOF=∠AOC, ∠DOF+∠BDC+∠AFD=∠AOC+∠EAC+∠ACD,
∴∠AFD=∠ACD=α,
即∠AFD =α；
∴∠AFB=180°-α


（3）∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°,
∵∠ABD=80°,
∴∠CAB+∠CDB=360°-60°-80°=220°,
∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACE=∠BCD,
∵CE=BC,AC=CD,
∴△ACE≌△DCB,
∴∠CAE=∠CDB,
∴∠CAB+∠CAE=220°,
∴∠EAB=140°.
【点睛】
本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合应用，掌握全等的模型图是解答此题的关键.
22．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.

（一）猜测探究
在中，，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．
（1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是　 　，与的数量关系是　 　；
（2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（二）拓展应用
如图3，在中，，，，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段长度的最小值．
【答案】（一）（1）结论：，．理由见解析；（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由见解析；（二）的最小值为．
【分析】
（一）①结论：，．根据证明≌即可．
②①中结论仍然成立．证明方法类似．
（二）如图3中，在上截取，连接，作于，作于．理由全等三角形的性质证明，推出当的值最小时，的值最小，求出的值即可解决问题．
【详解】
（一）（1）结论：，．
理由：如图1中，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴≌（），
∴．
故答案为，．
（2）如图2中，①中结论仍然成立．

理由：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴≌（），
∴．
（二）如图3中，在上截取，连接，作于，作于．

∵，
∴，
∵，，
∴≌（），
∴，
∴当的值最小时，的值最小，
在中，∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在，∵，
∴，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，
∴的最小值为．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
23．如图，已知A(0,a),B(b,0),C(c,0)是平面直角坐标系中三点，且a,b满足.c<3

(1)求A,B两点的坐标；
(2)若△ABC的面积为6.
①在图中画出△ABC;
②若△ABP与△ABC全等，直接写出所有符合条件的P点的坐标；
(3)已知∠MAB = ∠ABC,BM = AC,若满足条件的M点有且只有两个,直接写出此时c的取
值范围.
【答案】（1）A(0,3),B(3,0)（2）①图见解析②（3,4）或（4,3）或（0，-1）（3）3-＜c＜0
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值与平方的非负性即可求出a,b的值，故可求解；
（2）①根据c<3与三角形的面积公式即可得到BC的长，故可求出C点坐标，②根据直角坐标系的特点及全等三角形的性质即可找到P点；
（3）由∠MAB = ∠ABC,BM = AC,结合图形与M点有且只有两个即可得到c的取值.
【详解】
（1）∵
∴
故a=b=3.
故A(0,3),B(3,0)
（2）①∵C(c,0)
∴C点在x轴上，∵△ABC的面积为6
∴=6
即
解得BC=4，
∵c<3
∴C（-1,0）
②∵△ABP与△ABC全等，如图P点的坐标为（3,4）或（4,3）或（0，-1）

（3）∵∠MAB =∠ABC
所以M在直线y=3上，且在点A的右侧，
∵BM = AC，满足条件的M点有且只有两个，则BM1＜BC＜AB，
AB==
故3＜3-c＜
解得3-＜c＜0
故满足条件的M点有且只有两个时，c的取值为3-＜c＜0.
【点睛】
此题主要考查直角坐标系的应用，解题的关键是熟知全等三角形的性质及直角坐标系的特点.
24．如图①，在中，，，是过点的一条直线，且、在的异侧，于，于.

（1）求证：.
（2）若将直线绕点旋转到图②的位置时（），其余条件不变，问与、的关系如何？请予以证明.
【答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE，理由见解析.
【分析】
（1）根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CE；
（2）根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AD+AE=BD+CE，所以BD=DE-CE．
【详解】
解：（1）∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
（2）与、的数量关系是BD=DE-CE，理由如下：
∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴AD+AE=BD+CE，
∵DE=BD+CE，
∴BD=DE-CE．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS，HL等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．
25．在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，满足，为轴上一点（与、两点不重合），，点关于轴的对称点为，过作的垂线交直线于点，交直线于点．

（1）如图，点在线段上
①已知，直接用含的式子表示出________；
②过点作交于点，求证．
（2）若点在射线上，请你画图探究点的位置并直接写出相对应的点的坐标（用含、的式子表示）．
【答案】（1）①；②详见解析；（2）详见解析
【分析】
（1）①由余角的性质，可知：=，进而可得+∠B=；②过点做轴于点，连接，由，得，进而得，由余角得性质得，进而得，进而即可得到结论；
（2）根据题意画出图形，由，得∴OA=CQ=m，CM=OP=n，进而即可得到M的坐标．
【详解】
（1）①∵AP⊥QM，
∴，，
∴=，
∵，
∴∠B=45°，
∴+∠B=．
故答案是：；
②过点做轴于点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵点、关于轴对称，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴∠DPO=∠ABO=45°，
∴和为等腰直角三角形，
∴≅，
∴；
（2）如图1，2所示：
由（1）②得：，
∴OA=CQ=m，CM=OP=n，
∵OP=OQ=n，
∴CO=m-n，
∴M(m-n，n)；
如图3，4所示：，
则CO=m+n，CM=n，
∴M(m+n，-n)；


图1 图2 图3 图4
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的综合，掌握图形的性质与点的坐标的定义，是解题的关键．
26．“我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程本身，他们是获得发现的伟大源泉”——乔治·波利亚．
（1）观察猜想
如图1，在△ABC中，CA=CB，．点D在AC上，点E在BC上，且CD=CE．则BE与AD的数量关系是______，直线BE与直线AD的位置关系是______；

（2）拓展探究
如图2，在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，．则BE与AD的数量关系怎样？直线BE与直线AD的位置关系怎样？请说明理由；
（3）解决问题
如图3，在△ABC中，CA=CB，，BD是△ABC的角平分线，点M是AB的中点．点P在射线BD上，连接PM，以点M为中心，将PM逆时针旋转90°，得到线段MN，请直接写出点A，P，N在同一条直线上时的值．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】
（1）利用等量线段相减的关系得到BE=AD；由直线BE与直线AD的夹角得BE⊥AD；
（2）先利用SAS证明，由此得到，再根据三角形的内角和及对顶角相等的性质得到，由此证得；
（3）分两种情况，连接CP，证明△AMN≌△CMP，即可求出∠CPM=∠ANM，得到答案.
【详解】
（1）
∵CA=CB,CD=CE,
∴CA-CD=CB-CE,
∴BE=AD；
∵直线BE与直线AD的夹角，
∴BE⊥AD；
故答案为：BE=AD，；
（2）BE=AD，；
设直线交于点.
∵，
，
.
.
.
,
.
即；


（3）如图①，连接CM，
∵CA=CB，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵M是AB的中点，
∴CM=AM=BM,∠AMC=90，
由旋转得：MN=MP,∠PMN=90，
∴∠AMN=∠CMP,∠MNP=∠MPN=45，
∴△AMN≌△CMP，
∴∠CPM=∠ANM=180-45=135；

如图②连接CM，
∵CM=AM，∠AMN=∠CMP， MN=MP，
∴△AMN≌△CMP，
∴∠CPM=∠ANM=45.

【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，等腰直角三角性的判定，是三角形知识部分一道综合题.