人教A版高中数学必修第一册章末质量检测(四)指数函数与对数函数含答案

  章末质量检测(四)　指数函数与对数函数

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.等于(　　)

A．lg 9－1　 B．1－lg 9

C．8        D．2

解析：因为lg 9＜lg 10＝1，所以＝1－lg 9.

答案：B

2．函数y＝的定义域是(　　)

A．(－∞，2)        B．(2，＋∞)

C．(2,3)∪(3，＋∞)  D．(2,4)∪(4，＋∞)

解析：由得x＞2且x≠3，故选C.

答案：C

3．函数f(x)＝的值域是(　　)

A．(－∞，1)  B．(0,1)

C．(1，＋∞)  D．(－∞，1)∪(1，＋∞)

解析：∵3x＋1＞1，∴0＜＜1，∴函数值域为(0,1)．

答案：B

4．函数f(x)＝xln x的零点为(　　)

A．0或1  B．1

C．(1,0)   D．(0,0)或(1,0)

解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

由f(x)＝0得x＝0或ln x＝0，

即x＝0或x＝1.

又因为x∈(0，＋∞)，所以x＝1.故选B.

答案：B

5．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是(　　)

A．0个  B．1个

C．2个  D．3个

解析：设f(x)＝0.9x－x，则f(x)为减函数，值域为R，故f(x)有1个零点，∴方程0.9x－x＝0有一个实数解．

答案：B

6．已知log32＝a,3b＝5，则log3用a，b表示为(　　)

A.(a＋b＋1)  B.(a＋b)＋1

C.(a＋b＋1)  D.a＋b＋1

解析：因为3b＝5，所以b＝log35，log3＝log330＝(log33＋log32＋log35)

＝(1＋a＋b)．

答案：A

7．已知a＝5，b＝5，c＝()，则(　　)

A．a＞b＞c  B．b＞a＞c

C．a＞c＞b  D．c＞a＞b

解析：c＝5log3只需比较log23.4，log43.6，log3的大小，又0＜log43.6＜1，log23.4＞log33.4＞log3＞1，所以a＞c＞b.

答案：C

8．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)

解析：方法一　当a＞1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0＜a＜1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，排除A.由于y＝xa递增较慢，所以选D.

方法二　幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知0＜a＜1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D对；C项中由对数函数f(x)＝logax的图象知a＞1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．

答案：D

9．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)

A．y＝a(1＋5%x)   B．y＝a＋5%

C．y＝a(1＋5%)x－1  D．y＝a(1＋5%)x

解析：经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.

答案：D

10．设函数f(x)＝x与g(x)＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间为(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

解析：令h(x)＝x－(3－x)，则f(0)＝－2，f(1)＝－，f(2)＝－，f(3)＝.故h(x)的零点在(2,3)内，因此两函数图象交点在(2,3)内．选C.

答案：C

11．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：

则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)

A．y1，y2，y3  B．y2，y1，y3

C．y3，y2，y1  D．y3，y1，y2

解析：三种常见增长型函数中，指数型函数呈爆炸式增长，而对数型函数增长越来越慢，幂函数型函数介于两者之间，结合题表，只有C符合上述规律，故选C.

答案：C

12．已知函数f(x)＝|x|＋1，g(x)＝k(x＋2)．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)

A.  B.

C．(1,2)  D．(2，＋∞)

解析：作出f(x)，g(x)图象，如图．

因为A(0,1)，B(－2,0)，kAB＝＝，

要使方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，由图可知，＜k＜1.

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．设f(x)＝则f(f(2))＝________.

解析：因为f(2)＝log3(22－1)＝1，

所以f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.

答案：2

14．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．

解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.

答案：－

15．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．

解析：由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝e，

∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.

当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.

即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.

答案：2ln 2　1 024

16．已知0<a<1，k≠0，函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．

解析：函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点，分k>0和k<0作出函数f(x)的图象．

当0<k<1时，函数y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点；

当k＝1时，有一个交点；

当k>1或k<0时，没有交点，故当0<k<1时满足题意．

答案：(0,1)

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)计算：(1) －(－0.96)0－＋1.5－2＋[(－)－4]；

(2)÷100＋7.

解析：(1)原式＝－1－＋－2＋[()－4] ＝－1－－2＋－2＋()3＝＋2＝.

(2)原式＝－(lg 4＋lg 25)÷100＋14＝－2÷10－1＋14＝－20＋14＝－6.

18．(12分)设函数f(x)＝求函数g(x)＝f(x)－的零点．

解析：求函数g(x)＝f(x)－的零点，

即求方程f(x)－＝0的根．

当x≥1时，由2x－2－＝0得x＝；

当x<1时，由x2－2x－＝0得x＝(舍去)或x＝.

所以函数g(x)＝f(x)－的零点是或.

19．(12分)已知f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)．

(1)求函数f(x)的定义域．

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以说明．

(3)求f的值．

解析：(1)由得

即－1<x<1.

所以函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}．

(2)函数f(x)为偶函数．证明如下：

因为函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，

又因为f(－x)＝log2[1＋(－x)]＋log2[1－(－x)]＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝f(x)，

所以函数f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)为偶函数．

(3)f＝log2＋log2

＝log2

＝log2＝log2＝－1.

20．(12分)已知函数f(x)＝a3－ax(a>0且a≠1)．

(1)当a＝2时，f(x)<4，求x的取值范围．

(2)若f(x)在[0,1]上的最小值大于1，求a的取值范围．

解析：(1)当a＝2时，f(x)＝23－2x<4＝22,3－2x<2，得x>.

(2)y＝3－ax在定义域内单调递减，

当a>1时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，f(x)min＝f(1)＝a3－a>1＝a0，得1<a<3.

当0<a<1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)min＝f(0)＝a3>1，不成立．

综上：1<a<3.

21．(12分)若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．

解析：(1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，函数必有一个零点－1.

(2)若a≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax2－x－1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.

综上，当a＝0或－时，函数只有一个零点．

22．(12分)某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四月的污染度如下表：

污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：

f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．

(1)选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；

(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60?

解析：(1)用h(x)模拟比较合理，理由如下：

因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，

h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5，

由此可得h(x)更接近实际值，

所以用h(x)模拟比较合理．

(2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，

又因为h(16)＝60，故整治后有16个月的污染度不超过60.