人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）课时练习

一、选择题

1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是(　　)

A．y＝＋2　B．y＝3x－2

C．y＝x2     D．y＝1－x

解析：B，C在[1,4]上均为增函数，A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.

答案：A

2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)

A．10,6   B．10,8

C．8,6    D．以上都不对

解析：当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，

当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.

∴f(x)min＝f(－1)＝6，

f(x)max＝f(2)＝10.故选A.

答案：A

3．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是(　　)

A．－1,3  B．0,2

C．－1,2  D．3,2

解析：当x∈[－2,2]时，由题图可知，x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C.

答案：C

4．已知函数f(x)＝，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)有最大值，无最小值

B．f(x)有最大值，最小值

C．f(x)有最大值，无最小值

D．f(x)有最大值2，最小值

解析：f(x)＝＝2＋，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f(－8)＝，无最小值．故选A.

答案：A

二、填空题

5．函数f(x)＝的最大值为________．

解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.

答案：2

6．函数y＝x＋的最小值为________．

解析：令＝t，t≥0，则x＝t2＋1，

所以y＝t2＋t＋1＝2＋，

当t≥0时，由二次函数的性质可知，当t＝0时，ymin＝1.

答案：1

7．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.

解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.

答案：4

三、解答题

8．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．

(1)写出函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在区间上的最大值．

解析：f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．

(1)f(x)在和[0，＋∞) 上是增函数，

在上是减函数，

因此f(x)的单调递增区间为，[0，＋∞)；

单调递减区间为 .

(2)因为f＝，f()＝，

所以f(x)在区间上的最大值为.

9．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．

(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；

(2)求该函数的最大值和最小值．

解析：(1)函数f(x)在[3,5]上是单调递增的，

证明：设任意x1，x2，满足3≤x1<x2≤5.

因为f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝，

因为3≤x1<x2≤5，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0.

所以f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)．

所以f(x)＝在[3,5]上是单调递增的．

(2)f(x)min＝f(3)＝＝，

f(x)max＝f(5)＝＝.

[尖子生题库]

10．已知f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．求f(x)的最小值．

解析：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，对称轴为x＝a，且函数图象开口向上，如下图所示：

当a>1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，

故f(x)min＝f(1)＝3－2a；

当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，

故f(x)min＝f(a)＝2－a2；

当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，

故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.

综上可知，f(x)的最小值为

f(x)min＝