八年级上册13.1.1 轴对称课后练习题

这是一份八年级上册13.1.1 轴对称课后练习题，文件包含131轴对称培优解析版docx、131轴对称培优原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。

13.1轴对称 培优


一、单选题
1．如图，直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若AB=6，AC=4，BC=7．则△APC周长的最小值是

A．10 B．11 C．11.5 D．13
【答案】A
【分析】
根据垂直平分线的性质BP=PC，所以△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP≥AC+AB=10.
【详解】
如图，连接BP

∵直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线,
∴BP=PC,
∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP,
∵两点之间线段最短
∴AP+BP≥AB，
∴△APC周长最小为AC+AB=10.
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短.做本题的关键是能得出AP+BP≥AB，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得出结论，再根据结论进行推论.
2．下例各时刻是轴对称图形的为（　　）
A．13:08 B．12:21 C．12:50 D．10:50
【答案】B
【分析】
把时刻的表示法当成一个图形，再根据轴对称图形的特征容易判断正确选项．
【详解】
分别把A、B、C、D四个时刻的表示法看成一个图形，根据轴对称图形的特征不难得到正确选项是B．
故选B．
【点睛】
本题考查轴对称图形的判断，在理解题意的基础上利用轴对称图形的定义和特征进行判断是解题关键．
3．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=1. M、N分别是AB、AC上的任意一点，求MN+NB的最小值为（ ）

A．1.5 B．2 C．+ D．
【答案】A
【解析】
如图，作点B关于直线AC的对称点B’，过B’作B’M⊥AB于点M，交AC于点N，此时MN+NB的值最小，为线段B’M的值；由BC∥B’M，BD=B’D，易证△BDC≅△B’DN，所以BC=B’N=1，由线段垂直平分线的性质可得BN=B’N=1，根据辅助线的作法和已知条件易得∠MBN=30°，根据30°角直角三角形的性质可得MN=BN=0.5，所以MN+NB=B’M=B’N+NM=1+0.5=1.5，故选A.

4．如图所示，，点为内一点，点关于对称的对称点分别为点，连接，分别与交于点，连接，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由，根据三角形的内角和定理可得到的值，再根据对顶角相等可以求出的值，然后由点P与点、对称的特点，求出，进而可以求出的值，最后利用三角形的内角和定理即可求出．
【详解】
∵
∴
∵，
∴
又∵点关于对称的对称点分别为点
∴，
∴
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查的知识点有三角形的内角和、轴对称的性质，运用这些性质找到相等的角进行角的和差的转化是解题的关键.
5．如图，将沿翻折，使其顶点均落在点处，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，利用三角形外角定理得出，建立方程，即可求的度数．
【详解】
解：延长交于点，
∵将沿，翻折，顶点，均落在点处，
∴，，
∴，
∵，
∴ ，
由三角形外角定理可知：，，
∴
即：，
∴ ，
∴，
故选：．

【点睛】
本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，外角定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．
6．已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，则∠AEB等于( )
A．95° B．15° C．95°或15° D．170°或30°
【答案】C
【详解】
因为A和B两点在线段EF的中垂线上，所以AE=AF，BE=BF，
所以∠AEF=∠AFE，∠BEF=∠BFE.
因为∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，
所以∠AEF=(180°-70°)÷2=55°，∠BEF=(180°-100°)÷2=40°.
①当点A，B在EF的同侧时，∠AEB=∠AEF-∠BEF=55°-40°=15°；
②当点A，B在EF的异侧时，∠AEB=∠AEF+∠BEF=55°+40°=95°.
故选C.
7．观察下面图形，按规律在两个箭头所指的“田”字格内分别画上适当图形，正确的是（   ）．


A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【解析】
由图形可知经过白色三角形的上顶点且垂直于底边的直线是对称轴，所以第二个箭头所指“田”字格的中心线是对称轴，且为白色的三角形，黑点在在第一个箭头所指向的上排右列方框中.
故选B.
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E是CD的中点，将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图②，折痕为MN，连接ME，NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图③，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则下列结论：①ME∥HG；②△MEH是等边三角形；③∠EHG＝∠AMN；④tan∠EHG＝.其中正确的个数是(　 　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
解：如图③，由折叠可得，∠MEN=∠A=90°，HG⊥NE，即ME⊥EN，HG⊥EN，∴EM∥GH，故①正确；
∵EM∥GH，∴∠NME=∠NHG，由折叠可得，∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，∴∠AMN=∠EHG，故③正确；
如图2，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x．∵点E是CD的中点，AB=CD=，∴DE=CD=．在Rt△DEM中，∵DM2+DE2=EM2，∴（）2+x2=（10﹣x）2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4．∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，∴∠DEM=∠ENF．∵∠D=∠EFN=90°，∴△DME∽△FEN，∴，即，∴EN=，∴AN=，∴tan∠AMN==，∴tan∠EHG=，故④正确；
又∵tan60°=＞，∴∠AMN≠60°，即∠EMH≠60°，∴△MEH不是等边三角形，故②错误，∴正确的结论有3个．故选C．

点睛：本题属于四边形综合题，主要考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形对应边成比例，求得EN的长度．解决折叠问题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．


二、填空题
9．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E，F分别在边AB，AC上，将△AEF沿直线EF翻折，点A落在点P处，且点P在直线BC上．则线段CP长的取值范围是____.

【答案】
【解析】
【分析】
根据点E、F在边AB、AC上，可知当点E与点B重合时，CP有最小值，当点F与点C重合时CP有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.
【详解】
如图，当点E与点B重合时，CP的值最小，

此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，
如图，当点F与点C重合时，CP的值最大，

此时CP=AC，
Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP的最大值为5，
所以线段CP长的取值范围是1≤CP≤5，
故答案为1≤CP≤5.
【点睛】
本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.
10．如图，△ABC中（AB＞BC），G在CB的延长线上，边AC的垂直平分线DE与∠ABG的角平分线交于点M，与AB交于点D，与AC相交于E，MN⊥AB于N．已知AB=13，BC=9，MN=3，则△BMN的面积是____．

【答案】3
【分析】
连接AM，CM，做MK⊥CG，垂足为K．先证明△MBK≌△MBN，Rt△AMN≌Rt△CMK，得到，BK=BN，AN=CK，通过线段的代换求出BN，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】
解：如图，连接AM，CM，做MK⊥CG，垂足为K，
∵ME为AC的垂直平分线，
∴AM=MC，
∵BM平分∠ABG，MN⊥AB，MK⊥CG，
∴∠MBK=∠MBN，∠MKB=∠MNB=90°，
又∵MB=MB，
∴△MBK≌△MBN，
∴MN=MK，BK=BN，
∴Rt△AMN≌Rt△CMK，
∴AN=CK，
∴AN=CK=BC+BK=BC+BN，
∴BN=AN-BC=AB-BN-BC，
∴2BN=AB-BC=13-9=4，
∴BN=2，
∴△BMN的面积为．
故答案为：．
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线性质、角平分线等知识，根据题意添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
11．如图，在正方形方格中，阴影部分是张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片，使得到的新图案成为一个轴对称图形的移法有__________种．

【答案】8
【解析】
分析：根据轴对称图形的定义，在平面内，如果把一个图形延某条直线对折对折，直线两旁部分能够完全重合，由此移动其中一个变形即可.
详解：如图，共有8种.
.
故答案为：8.
点睛：本题考查了轴对称图形的概念：确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形分成的两部分完全重合.
12．如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使点落在点处，连接、，当是等腰直角三角形时，的长为________．

【答案】
【分析】
由，，,可得∠BAC=30°,又由是的中点,可得DA=BD=AB=2,再根据将沿翻折，使点落在点处，可得D=2,则∠BAC=90°, AD=D=2；又是等腰直角三角形，则∠AC=45°，即可求得∠AB=∠DA=15°,再由三角形外角的定义可得∠DB=30°，作BF⊥A’D，得到BF=BD=1，DF= ，在Rt△A’BF中，求出A’B．
【详解】
解：∵，，
∴sin∠BAC=
∴∠BAC=30°,
∵是的中点
∴DA=BD=AB=2
∵将沿翻折，使点落在点处，
∴D=2
∴DA=BD=D=2
∴∠BAC=90°, ∠AB=∠DA
又∵是等腰直角三角形
∴∠AC=45°
∴∠AB=∠DA=∠AC -∠BAC =15°,
∴∠DB=∠AB+∠DA=30°
作BF⊥A’D
∴BF=BD=1，DF=
∴AF’=2-
在Rt△A’BF中
A’B=
故答案为．

【点睛】
本题考查了图形的旋转和直角三角形的性质，掌握旋转的性质和理解直角三角形中30°所对的边为斜边的一半是解答本题的关键．
13．如图，钝角三角形ABC的面积为30，最长边AB=20，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是_____________．

【答案】3．
【解析】
由在AB上可以找到一点E，使ME=MN，则CM+MN=CM+ME，对于CM+ME，当C、M、E共线，且CE⊥AB时CM+ME最小，
则过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN=ME，
∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为15，AB=10，
∴×10×CE=15，
∴CE=3．
即CM+MN的最小值为3．
故答案为3．

点睛：本题考查轴对称-最短路线问题，关键是画出符合条件的图形．
14．如图， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为_________

【答案】
【分析】
首先根据折叠可得CD=AC=6，B′C=BC=8，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE，得出BF的长，即 B′F的长．
【详解】
解：根据折叠的性质可知：DE=AE，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，B′F=BF，

∴B′D=8-6=2，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FE=90°，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根据勾股定理得：
∴
∴EF=4.8，
∴B′F=BF=AB-AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=，
故答案是：.
【点睛】
此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE、AE是解决问题的关键．
15．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．

【答案】
【分析】
根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到，进而得出和的数量关系．
【详解】
解：平分，平分，
，，




，
即；
如图，连接．
点是这个三角形三边垂直平分线的交点，
，
，，，
，，

，



，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．
16．图1是一张足够长的纸条，其中，点、分别在，上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕；如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕：将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕；．．．依此类推，第次折叠后， _______（用含和的代数式表示）．

【答案】180°-．
【分析】
设纸条QM所在直线为QC ，第一次将纸条折叠，使与重合，得折痕，由PR1∥QB，可得∠MAR1=∠ABM=.∠AR1B=∠R1BC=，由AM∥R1N，∠MAR1+∠AR1N=180°，可求∠AR1N=180°-；第二次将纸条折叠，使与重合，得折痕；求出∠MR1R2=∠R1BC=.∠R1R2B=∠R2BC=，可得∠AR2N=180°-∠MR1R2 =180°-；第三次将纸条折叠，使与重合，得折痕；可求∠MR2R3=∠R2BC=.∠R2R3B=∠R3BC=，可得∠AR3N=180°-∠MR2R3 =180°-；……第n次将纸条折叠，使与重合，得折痕；∠MRn-1Rn=∠Rn-1BC=.∠Rn-1RnB=∠RnBC=，∠ARnN=180°-∠MRn-1Rn =180°-即可．
【详解】
解：设纸条QM所在直线为QC ，
第一次将纸条折叠，使与重合，得折痕；
∵PR1∥QB，
∴∠MAR1=∠ABM=.∠AR1B=∠R1BC=，
∵AM∥R1N，
∴∠MAR1+∠AR1N=180°，
∴∠AR1N=180°-∠MAR1=180°-；
第二次将纸条折叠，使与重合，得折痕；
∵PR2∥QB，
∴∠MR1R2=∠R1BC=.∠R1R2B=∠R2BC=，
∵R1M∥R2N，
∴∠MR1R2+∠AR2N=180°，
∴∠AR2N=180°-∠MR1R2 =180°-；
第三次将纸条折叠，使与重合，得折痕；
∵PR3∥QB，
∴∠MR2R3=∠R2BC=.∠R2R3B=∠R3BC=，
∵R2M∥R3N，
∴∠MR2R3+∠AR3N=180°，
∴∠AR3N=180°-∠MR2R3 =180°-；
……
第n次将纸条折叠，使与重合，得折痕；
∵PRn∥QB，
∴∠MRn-1Rn=∠Rn-1BC=.∠Rn-1RnB=∠RnBC=，
∵Rn-1M∥RnN，
∴∠MRn-1Rn+∠ARnN=180°，
∴∠ARnN=180°-∠MRn-1Rn =180°-．
故答案为：180°-．

【点睛】
本题考查轴对称性质，与角平分线有关计算，平行线性质，掌握轴对称性质，与角平分线有关计算，平行线性质，仔细观察图形，找出∠MRn-1Rn=是解题关键．

三、解答题
17．如图，已知，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：

（1）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合，请在图①中作出点；
（2）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点.
【答案】（1）见详解；（2）见详解．
【分析】
（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即可；
（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即可．
【详解】
（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即为所求．点M如图①所示：
（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即为所求．点N如图②所示：


【点睛】
本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的中垂线和角平分线，是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，AB＝5，AC＝3．求CG．

【答案】1
【分析】
连接BE、EC，证明Rt△EFB≌Rt△EGC，得出BF=CG，证明Rt△AEF≌Rt△AEG，得AF=AG，证出2AF=AB+AC，得出AG=AF=（AB+AC）=4，即可得出答案．
【详解】
解：连接BE、EC．

∵D为BC的中点，
∴BD＝DC，
∵DE⊥BC，
∴EB＝EC，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF＝EG，
在Rt△EFB和Rt△EGC中，，
∴Rt△EFB≌Rt△EGC（HL），
∴BF＝CG．
在Rt△AEF和Rt△AEG中，，
∴Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），
∴AF＝AG，
∴AB+AC＝AF+BF+AG﹣CG＝2AF．
即2AF＝AB+AC，
∴AG＝AF＝（AB+AC）＝（5+3）＝4，
∴CG＝AG﹣AC＝1．
【点睛】
本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，需要熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．
19．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为，已知∠B=80°，∠C=70°．
（1）求∠A的度数；
（2）在图①，图②，图③中，写出∠1，∠2的数量关系，并选择一种情况说明理由．

【答案】（1）∠A=30°；（2）∠1－∠2=2∠A，∠1+∠2=2∠A，∠2－∠1=2∠A，证明见解析
【分析】
（1）根据三角形内角和即可求解；
（2）图①中AC与交于H，根据外角性质及折叠性质得到∠AHD=∠A+∠2，再利用外角性质得到∠1=∠A+∠AHD，然后进行代换即可得到结论；
图②中根据平角及折叠的性质可得到∠1+∠2+2(∠AED+∠ADE)=360°，再根据三角形内角和得到∠AED+∠ADE=180°－∠A，从而进行代换计算即可得到结果；
图③中AB与交于M，根据外角性质及折叠性质得到∠AME=∠A+∠1，再利用外角性质得到∠2=∠A+∠AME，然后进行代换即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=80°，∠C=70°，
∴∠A=180°－80°－70°=30°；
（2）数量关系分别为：∠1－∠2=2∠A，∠1+∠2=2∠A，∠2－∠1=2∠A，理由如下：
图①：如图，AC与交于H，

∵∠AHD=+∠2，=∠A，
∴∠AHD=∠A+∠2，
∵∠1=∠A+∠AHD，
∴∠1=∠A+∠A+∠2，
∴∠1－∠2=2∠A；
图②：由折叠可知，，，
∵，，
∴，
又∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，
∴∠AED+∠ADE=180°－∠A，
∴∠1+∠2+2(180°－∠A)=360°，即∠1+∠2－2∠A=0，
∴∠1+∠2=2∠A；
图③：如图，AB与交于M，

∵∠AME=+∠1，=∠A，
∴∠AME=∠A+∠1，
∵∠2=∠A+∠AME，
∴∠2=∠A+∠A+∠1，
∴∠2－∠1=2∠A．
【点睛】
本题考查了探究角之间的数量关系，熟练掌握折叠的性质，三角形内角和，外角性质等知识是解题的关键．
20．问题探究：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．

①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CF　 EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
问题解决：如图2，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D为顶点作∠EDF＝65°，∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）＞；（2）EF2＝BE2+CF2．理由见解析；（3）EF＝BE+CF．理由见解析.
【分析】
（1）如图1中，延长ED到H，使得DH=DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE=CH，利用三角形的三边关系即可解决问题．
（2）结论：EF2=BE2+CF2．如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接CH，FH．利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
（3）结论：EF=BE+CF．利用旋转法构造全等三角形即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．

∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵DE＝DH，FD⊥EH，
∴FE＝FH，
在△FCH中，∵CH+CF＞FH，
∴BE+CF＞EF．
故答案为＞．
（2）结论：EF2＝BE2+CF2．

理由：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，∠B＝∠DCH，
∵DE＝DH，FD⊥EH，
∴FE＝FH，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCH＝90°，
∴∠FCH＝90°，
∴FH2＝CH2+CF2，
∴EF2＝BE2+CF2．
（3）如图3中，结论：EF＝BE+CF．
理由：∵DB＝DC，∠B+∠ACD＝180°，
∴可以将△DBE绕点D顺时针旋转得到△DCH，A，C，H共线．

∵∠BDC＝130°，∠EDF＝65°，
∴∠CDH+∠CDF＝∠BDE+∠CDF＝65°，
∴∠FDE＝∠FDH，
∵DF＝DF，DE＝DH，
∴△FDE≌△FDH（SAS），
∴EF＝FH，
∵FH＝CF+CH＝CF+BE，
∴EF＝BE+CF．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，在△OBC中，边BC的垂直平分线交∠BOC的平分线于点D，连接DB，DC，过点D作DF⊥OC于点F.
(1)若∠BOC＝60°，求∠BDC的度数；
(2)若∠BOC＝，则∠BDC＝ ；（直接写出结果）
(3)直接写出OB，OC，OF之间的数量关系.

【答案】（1）120°；（2）180°－α；（3）OB＋OC＝2OF
【分析】
(1)首先过点D作DE⊥OB于E，易证得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC=∠EDF，又由∠EOF+∠EDF=180゜，即可求得答案；
(2)由（1），可求得∠BDC的度数;
(3) OB＋OC＝OE＋OF＝2OF
【详解】
解：(1)过点D作DE⊥OB，交OB延长线于点E，DF⊥OC于F，

∵OD是∠BOC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴△DEB≌△DFC（HL）
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠EOF+∠EDF=180゜，
∵∠BOC=60゜，
∴∠BDC=∠EDF=120゜．
（2）∵∠EOF+∠EDF=180゜，
∵∠BOC=α，
∴∠BDC=∠EDF=180゜-α．
故答案为：180゜-α．
（3）由（1）知OB＋OC＝OE＋OF＝2OF
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
22．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，
（1）如图1，若∠O=∠OMN，过M作射线MDOB(如图)，点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；
（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB=20，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．


【答案】（1）∠MCN =2∠MEN，理由见解析；（2）∠OPM+∠OQN．
【分析】
（1）根据角平分线的性质以及平行线的性质得到∠1=∠2，∠MCN=∠CNB，∠O=∠OMN=∠4，利用三角形的外角性质得到2∠2+∠MCN=2∠O①和∠2+∠MCN =∠O+∠MEN②，计算可得∠MCN =2∠MEN；
（2）过作点M关于OB的对称点M1，作点N关于OA的对称点N1，连接M1N1交OA于点Q，交OB于点P，根据轴对称的性质得到PM+PQ+NQ的最小值为M1N1，利用轴对称的性质和三角形的外角性质即可计算得到∠OPM+∠OQN．
【详解】
解：（1）∠MCN =2∠MEN，理由如下：
如图，

∵NE是∠MNC的平分线，MDOB，∠O=∠OMN，
∴∠1=∠2，∠MCN=∠CNB，∠O=∠OMN=∠4，
在△OMN中，∠MNB=∠O+∠OMN，
∴∠1+∠2+∠MCN=2∠O，即2∠2+∠MCN=2∠O①，
又∠3=∠2+∠MCN =∠4+∠MEN，即∠2+∠MCN =∠O+∠MEN②，
由①②得：∠MCN =2∠MEN；
（2）如图，过作点M关于OB的对称点M1，作点N关于OA的对称点N1，连接M1N1交OA于点Q，交OB于点P，

∴PM+PQ+NQ=PM1+PQ+QN1，
由两点之间，线段最短，可得PM+PQ+NQ的最小值为M1N1，
由对称的性质，知：∠MPO=∠M1PO，∠NQA=∠N1QA，
设∠OQP=，∠ONQ=，
由对顶角的性质得∠MPO=∠M1PO=∠QPN，∠NQA=∠N1QA=∠OQP=，
在△OQN中，∠NQA=∠O+∠ONQ，即，
在△OPQ中，∠QPN =∠O+∠OQP，即∠OPM，
∠OQN=180°-∠NQA=180°，
∴∠OPM+∠OQN=160°．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路径问题，平行线的性质，角平分线的定义，掌握轴对称-最短路径的确定方法是解题的关键．
23．我们知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，角平分线有许多性质．


（1）如图1，在的平分线上截取线段，分别以点O和点C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E、F．画直线，分别交、于点D．G连结，，则形状一定是_____________________；
（2）如图2，在中，，平分，过点D作于M，连结，若，求证：；
（3）如图3，点D是的平分线上一点，P是边上一点，若，，点D到的距离为8，直接写出线段的长．
【答案】（1）等腰三角形；（2）见详解；（3）21或9
【分析】
（1）证明OC是DG的中垂线，进而即可得到结论；
（2）过点D作DN⊥AC，交AC的延长线于点N，先证明Rt∆ADN≅Rt∆ADM，得AN=AM，从而得MB=CN，再证明∆CDN≅∆BDM，可得∠DCN=∠ABD，进而即可得到结论；
（3）过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AB于点F，在Rt∆ADF中，求出AF的值，然后分两种情况：当点P1在点F得右边时，当点P2在点F得左边时，别分求解，即可．
【详解】
（1）∵分别以点O和点C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E、F，
∴EF⊥OC且EF平分OC，
∵OM平分∠AOB，
∴OM是∠AOB的对称轴，
∴DP=GP，
又∵DG⊥OC，
∴OC是DG的中垂线，
∴CD=CG，即是等腰三角形，
故答案是：等腰三角形；

（2）过点D作DN⊥AC，交AC的延长线于点N，

∵AD是∠CAB的平分线，DN⊥AC，DM⊥AB，
∴DN=DM，
又∵AD=AD，
∴Rt∆ADN≅Rt∆ADM（HL），
∴AN=AM，
∵，
∴AM+MB+AN-CN=2AM，即MB=CN，
又∵∠CND=∠BMD=90°，DN=DM，
∴∆CDN≅∆BDM（SAS），
∴∠DCN=∠ABD，
∴；
（3）过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AB于点F，
由题意得：DE=8，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB
∴DF=DE=8，
∴在Rt∆ADF中，AF=，
当点P1在点F得右边时，
在Rt∆DFP1中，FP1=，
∴AP1=AF+ FP1=15+6=21，
当点P2在点F得左边时，
在Rt∆DFP2中，FP2=，
∴AP2=AF- FP2=15-6=9，
综上所述：AP=21或9．

【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
24．（1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围是　 　
（2）问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）2＜AD＜6；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF，证明见解析
【分析】
（1）如图1（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出，再根据三角形的三边关系定理即可得；
（2）如图2（见解析），先同（1），根据三角形全等的判定定理与性质得出，再根据垂直平分线的判定与性质得出，然后根据三角形的三边关系定理、等量代换即可得证；
（3）如图3（见解析），先根据角的和差得出，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得．
【详解】
（1）如图1，延长AD至E，使，连接BE
∵AD是BC边上的中线
∴
在和中，
∴
∴
在中，由三角形的三边关系得：
∴，即
∴，即
∴
故答案为：；
（2）如图2，延长FD至点M，使，连接BM、EM
同（1）得：
∴
∵，
∴是的垂直平分线
∴
在中，由三角形的三边关系得：
∴；
（3）；证明如下：
如图3，延长AB至点N，使，连接CN
∵，
∴
在和中，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴．

【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键．
25．在平面直角坐标系xOy中，点P和点P＇关于y=x轴对称，点Q和点P＇关于R（a,0）中心对称，则称点Q是点P关于y=x轴，点R（a,0）的“轴中对称点”.
（1）如图1，已知点A（0,1）.
①若点B是点A关于y=x轴，点G（3,0）的“轴中对称点”，则点B的坐标为 ；
②若点C（-3,0）是点A关于y=x轴，点R（a,0）的“轴中对称点”，则a= ;
（2）如图2，⊙O的半径为1，若⊙O上存在点M，使得点M＇是点M关于y=x轴，点T（b，0）的“轴中对称点”，且点M＇在射线y=x-4(x4)上.
①⊙O上的点M关于y=x轴对称时，对称点组成的图形是 ;
②求b的取值范围;
（3）⊙E的半径为2，点E（0，t）是y轴上的动点，若⊙E上存在点N，使得点N＇是点N关于y=x轴，点（2，0）的“轴中对称点”，并且N＇在直线上，请直接写出t的取值范围.


【答案】（1）① B（5,0）；②a=-1；（2）① 圆；②；（3）
【解析】
解：（1）① B（5,0）.
②a=-1.
（2）① 圆.
②当以1为半径的圆过（4,0）时，圆心坐标（3,0）.

∴.
当以1为半径的圆与射线y=x-4相切时，
圆心坐标（,0）.
∴.
∴.
（3）.
26．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．

【答案】（1）①见解析 ②30°（2）见解析
【分析】
（1）①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论．
②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°．
（2）本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．
【详解】
证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°
∴∠A＝90°﹣30°＝60°
同理∠EDF＝60°
∴∠A＝∠EDF＝60°
∴AC∥DE
∴∠DMB＝∠ACB＝90°
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM
∴
即M是BC的中点
∵EP＝CE，即E是PC的中点
∴ED∥BP
∴∠CBP＝∠DMB＝90°
∴△CBP是直角三角形
∴BE＝PC＝EP
②∵∠ABC＝∠DFE＝30°
∴BC∥EF
由①知：∠CBP＝90°
∴BP⊥EF
∵EB＝EP
∴EF是线段BP的垂直平分线
∴PF＝BF
∴∠PFE＝∠BFE＝30°
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ

∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP
∴△QEP≌△DEC（SAS）
则PQ＝DC＝DB
∵QE＝DE，∠DEF＝90°
∴EF是DQ的垂直平分线
∴QF＝DF
∵CD＝AD
∴∠CDA＝∠A＝60°
∴∠CDB＝120°
∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP
∴△FQP≌△FDB（SAS）
∴∠QFP＝∠BFD
∵EF是DQ的垂直平分线
∴∠QFE＝∠EFD＝30°
∴∠QFP+∠EFP＝30°
∴∠BFD+∠EFP＝30°
【点睛】
本题考点较多，涉及平行与角等的互推，垂直平分线的应用，全等的证明，特殊角度的利用，难度主要在于辅助线的构造，该类型题目必须多做专题训练以培养题感．