初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形同步达标检测题

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13.3等腰三角形 培优


一、单选题
1．如图，△ABC中，BA=BC，∠C=72°，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，则图中的等腰三角形共有（　　） 个．

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【解析】
先根据等腰三角形的性质求出∠ABC及∠BAC的度数，再根据等腰三角形的判定定理即可得出结论．
解：∵△ABC中，BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵∠C=72°，
∴∠ABC=36°，∠BAC=72°，
∵AF是△ABC的角平分线，
∴∠BAF=∠CAF=∠BAC=36°，
∴△ABF是等腰三角形；
∵∠CAF=∠BAC=36°，∠C=72°，
∴∠AFC=72°，
∴△AFC是等腰三角形；
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD=∠BAD，
∴AE=ED，
∵∠EDB+∠ADE=90°，
∴∠BDE+∠BAD=90°，
∵∠EBD+∠BAD=90°，
∴∠BDE=∠EBD，
∴BE=ED，
∴AE=BE，
∴AE=BE=ED，
∴△AED，△BED是等腰三角形；
∵∠BAF=36°，AE=ED，
∴∠ADE=36°，
∴∠BED=72°，
∵∠ABC=36°，
∴∠BGE=∠BED=72°，
∴△BEG是等腰三角形；
∵∠DGF=∠BGE=72°，∠AFC=∠DFG=72°，
∴△DGF是等腰三角形．
综上所述，等腰三角形有：△ABC，△ABF，△AFC，△AED，△BED，△BEG，△DGF共7个．
故选C．

2．如图，已知，∠OAB=30°，∠AOB=90°，O点与坐标系原点重合，若点P在坐标轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标可能有（　　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】
分为顶角、为顶角、为顶角三种情况，再根据等腰三角形的判定即可得．
【详解】
在中，，
，
由题意，分以下三种情况：
（1）如图，当为顶角时，
以点A为圆心、AB长为半径画圆，交坐标轴于点，其中是等边三角形；
（2）如图，当为顶角时，
以点B为圆心、BA长为半径画圆，交坐标轴于点，
经过点的理由：是等边三角形，
，
点一定在以点B为圆心、BA长为半径的圆上；
（3）如图，当为顶角时，
作AB的垂直平分线，交坐标轴于点，
经过点的理由：是等边三角形，
点一定在AB的垂直平分线上；
综上，符合条件的点P有6个，
即点P的坐标可能有6个，
故选：B．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
3．如图①，在中，，，、分别是、边的中点．将绕点顺时针旋转角（），得到（如图②）．

（）．
（）当时，为直角三角形．
（）当时，旋转角．
（）如图③，在旋转过程中，设与所在直线交于点，当成为等腰三角形时，旋转角或，其中正确的结论有：（ ）．
A．（）（）（） B．（）（）（） C．（）（）（） D．（）（）（）
【答案】A
【解析】
（1）∵在中，，，、分别是、边的中点，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，而△AB′C′是由△ABC旋转得到的，
∴易证△ADB′≌△AEC′，
∴DB′=EC′，∠AEC′=∠ADB′，
（2）∵DB′∥AE，
∴∠AED+∠EDB′=180°，
∴∠EDB′=180°-45°=135°，
∴∠ADB′=135°-∠ADE=135°-45°=90°，
∴∠AEC′=∠ADB′=90°，
∴△AEC′是直角三角形；
（3）∵AE=AC=AC′，∠AEC′=90°，
∴∠AC′E=30°，
∴=∠EAC′=60°；
（4）当△ADP为等腰三角形时，存在以下几种情况：
①当点P在线段DE上，且AD=PD时，∠DAP=∠DBA=，此时；
②当点P在线段DE上，且AP=DP时，∠PAD=∠PDA=45°，此时，；
③当点P在线段DE上，且AP=AD时，∠ADP=∠APD=45°，此时，∠PAD=90°，
∴，此时点P与点E重合；
④当点P在线段ED的延长线上，且PD=AD时，∠DAP=∠DPA=∠ADE=22.5°，此时，=∠PAD+∠DAE=22.5°+90°=112.5°.
综上所述，当△ADP为等腰三角形时，的度数为0°或22.5°或45或，112.5°.
即（1）、（2）、（3）是正确的，（4）是错误的；
故选A.
点睛：分析第（4）问时，要注意“设与所在直线交于点”，即点P不仅可以在线段DE上，也可以在直线DE上，不要忽略了点P在ED的延长线上这一情形.
4．如图，x轴、y轴上两点坐标分别是A(0,4)B(3,0)，若在x轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
①若AP=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有1个交点（A点除外），即满足△ABP是等腰三角形的P点有1个；②若BP=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点，即满足△ABP是等腰三角形的P点有2个；③若PA=PB，作AB的垂直平分线与x轴只有一个交点，即满足△ABP是等腰三角形的P点有1个；所以点P在x轴上，△ABP是等腰三角形，符合条件的点P共有4个．故选C.
点睛：本题考查了等腰三角形的判定，也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论思想的运用．解决本题的思路为：根据①AP=AB，②BP=AB，③PA=PB这三种情况，通过作几何图形确定P点的个数．
5．等边三角形ABC的边长为1，点P在AB上，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB，其中Q，R，S为垂足，若SP＝，则AP的长是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】
根据等边三角形性质求出，求出，设则 ，，， ，，当在 上时，根据，代入求出即可；当在 之间时，同理可求出．
【详解】
解：等边三角形，
，
，
，
，
，
同理，，
设则，， ，， ，
当在上时，， ，
；
当在之间时，同理可求出．
故选：．

【点睛】
本题主要考查对等边三角形性质，含30度角的之间三角形，一元一次 方程等知识点的理解和掌握，能求出、、 是解此题的关键．
6．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（　　）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】
要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC=AB，②若BC=BA，③若CA=CB）讨论，通过画图就可解决问题．
【详解】
①若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；

②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；
③若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．
∵A（0，0），B（2，2），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点．
综上所述：符合条件的点C的个数有8个．
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
7．在平面上，过一定点O作两条斜交的轴x和y，它们的交角是（），以定点O为原点，在每条轴上取相同的单位长度，这样就在平面上建立了一个斜角坐标系，其中叫做坐标角，对于平面内任意一点P，过P作x轴和y轴的平行线，与两轴分别交于A和B，它们在两轴的坐标分别是x和y，于是点P的坐标就是（x,y），如图，，且y轴平分，OM=2，则点M的坐标是（ ）

A．（2，-2） B．（-1，2） C．（-2，2） D．（-2，1）
【答案】C
【解析】
【分析】过M作x轴和y轴的平行线，与两轴分别交于A和B，由已知可得到△OAM，△OBM是等边三角形，从而即可得点M的坐标.
【详解】如图，过M作x轴和y轴的平行线，与两轴分别交于A和B，
∵ω=60°，且y轴平分∠MOx，
∴∠MOB=∠BOX=60°，∠AOM=60°，
∵AM∥OB，
∴∠OMA=∠MOB=60°，
∴∠OMA=∠AOM=60°，
∴△OAM是等边三角形，
∴OA=OM=2，
同理可得△OBM是等边三角形，
∴OB=OM=2，
∴点M的坐标是（-2，2），
故选C．

【点睛】本题考查了点的坐标、等边三角形的判定和性质等，读懂题意，根据题意作出恰当的图形求点的坐标是解题的关键.
8．如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）

A． B．垂直平分
C． D．
【答案】D
【分析】
由作法得OC= OF = OG，FG= FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断OF垂直平分CG，则可对B选项进行判断;利用C点与G点关于OF对称得到∠FOG = ∠FOC =30°，则可对A选项进行判断;通过判断△OCG为等边三角形可对C选项进行判断;利用含30度的直角三角形三边的关系得到 OC = 2CM，加上CF> CM，FC= FG，则可对D选项进行判断.
【详解】
由作法得OC=OF= OG，FG= FC，则OF垂直平分CG，
所以B选项的结论正确；
∵C点与G点关于OF对称
∴∠FOG=∠FOC=30°，
∴∠AOG =60°，
所以A选项的结论正确;
∴△OCG为等边三角形，
OG = CG，
所以C选项的结论正确;
在Rt△OCM中，∵∠COM =30°
∴OC = 2CM，
∵CF > CM， FC= FG，
∴ OC ≠2FG，
所以D选项的结论错误
故选：D.
【点睛】
本题考查含30度的直角三角形、线段垂直平分线的判定、尺规作图、三角形的三边关系，等边三角形，熟练应用所学知识点判断是关键，利用尺规作图步骤分析是重点


二、填空题
9．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点D和点E，作直线DE，交AC于点F，若，，则的长为_______．

【答案】2
【分析】
由作图可知DE垂直平分AB，连接BF，可证BF=AF，利用等腰三角形的性质可求∠BFC=30°，进而可求BC．
【详解】
解：连接BF，由作图可知DE垂直平分AB，
∴BF=AF=4，
∴∠A=∠FBA=15°，
∴∠BFC=30°，
∵，
∴，
故答案为：2．

【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，解题关键是理解作图含义，连接辅助线，构造等腰三角形和含30度角的直角三角形．
10．如图，等腰中，顶角，点E，F是内角与外角三等分线的交点，连接EF，则_________．

【答案】14
【分析】
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求∠ABC和∠ACB，再根据三角形外角的性质可求∠ACD，再根据三等分线的定义与和差关系可求∠FBC和∠BCF，再根据三角形的内角和定理可求∠BFC．
【详解】
解：∵等腰△ABC中，顶角∠A=42，
∴∠ABC=∠ACB=×（180-42）=69，
∴∠ACD=111，
∵点E，F是内角∠ABC与外角∠ACD三等分线的交点，
∴∠FBC=×69=23，∠FCA=×111=74，
∴∠BCF=143，
∴∠BFC=180-23-143=14．
故答案为：14．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解答此题的关键是找到角与角之间的关系．
11．已知：，，，，则的度数为______．

【答案】39°
【分析】
作点D关于AB的对称点E，连接AE、BE，如图，根据轴对称的性质可得AE=AD，BE=BD，∠BAE=∠BAD=30°，进而可得△ADE是等边三角形，于是得AD=DE，∠ADE=60°，进一步即可根据SSS证明△DBE≌△DBC，从而得∠EDB=∠CDB，设∠ACD=x，则根据等腰三角形的性质可得∠BDC=∠BCD=x+18°，然后在△ADC中根据三角形的内角和可得关于x的方程，求出x后进一步即可求出答案．
【详解】
解：作点D关于AB的对称点E，连接AE、BE，如图，
则AE=AD，BE=BD，∠BAE=∠BAD=30°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，∠ADE=60°，
∵，，
∴DE=DC，BE=BC，
又∵DB=DB，
∴△DBE≌△DBC（SSS），
∴∠EDB=∠CDB，

设∠ACD=x，
∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD=x，
∴∠BCD=x+18°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=x+18°=∠EDB，
∴∠ADC=60°+2∠BDC=60°+2（x+18°）=2x+96°，
在△ADC中，∵∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，
∴x+x+2x+96°=180°，解得：x=21°，
∴∠BDC=21°+18°=39°；
故答案为：39°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，考查的知识点多、综合性强、难度较大，属于试卷压轴题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
12．如图，∠AOB＝10°，点P在OB上．以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1 P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2 P3；……

请按照上面的要求继续操作并探究：
∠P3 P2 P4＝_____°；按照上面的要求一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求点Pn+1了，则n＝_____．
【答案】40 8
【解析】
分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠P1PB，∠P2P1A，∠P3P2B，∠P4P3A，…，依次得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解.
详解：由题意可知：PO=P1P，P1P=P2P1，…，
则∠POP1=∠OP1P，∠P1PP2=∠P1P2P，…，∵∠BOA=10°，
∴∠P1PB=20°，∠P2P1A=30°，∠P3P2B=40°，∠P4P3A=50°，…，
∴10°n＜90°，
解得n＜9．
由于n为整数，故n=8．
故答案为40°；8．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
13．如图，在中，，，平分交于点，于点,有下列说法：①；②；③；④若的面积为1，点是边上的中点，则的面积为，其中正确的是______．

【答案】①②③
【分析】
利用角平分线的性质和等腰直角三角形的性质可以证明①和②是正确的，证明，利用全等三角形的性质得到③是正确的，根据等腰直角三角形DEB的面积求出它的边长，再去算出大的等腰直角三角形ABC的边长，求出的面积证明④是错误的．
【详解】
解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵AD平分，，，
∴，
∴，故①正确；
∵AD平分，
∴，
∵，
∴在中，，故②正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵是等腰直角三角形，且面积是1，
∴，，
∴，，
∵P是AB中点，
∴，
∴，故④错误．
故答案是：①②③．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理结合题目条件进行证明求解．
14．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1）， 若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个

【答案】5
【分析】
分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数量即可
【详解】
解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个

故答案为:5
【点睛】
本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键
15．已知在中，且为最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则_______
【答案】123°或132°或90°或48°
【分析】
根据题意作图，结合等腰三角形的性质分情况讨论即可求解．
【详解】
解：如图，若BC=CD，AD=BD，
由题意可得：∠DBC=∠BDC=（180°-∠C）÷2=82°，
∴∠ABD=∠BAD=∠BDC=41°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=123°，
∵∠ADB=180°-82°=98°，
则在BC=CD的前提下只有AD=BD；


如图，若CD=BD，AB=BD，
由题意可得：∠DBC=∠C=16°，
∴∠ADB=2∠C=32°，
∴∠A=∠ADB=32°，
∠ABD=180°-∠A-∠ADB=116°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=132°，
符合最小的内角为∠C=16°，


如图，若BD=CD，AB=AD，
则∠C=∠DBC=16°，
∴∠ADB=∠ABD=2∠C=32°，
∴∠A=180°-2×32°=116°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=48°；


如图，若BD=CD，AD=BD，
∴∠ADB=2∠C=2∠DBC=32°，
∴∠A=∠ABD=（180°-32°）÷2=74°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°；


若BD=BC，
则∠C=∠CDB=16°，
∴∠ADB=180°-∠CDB=164°，
则只能满足AD=BD，
∴∠A=∠CDB=8°，
即∠A＜∠C，不满足；


综上：∠ABC的度数为123°或132°或90°或48°．
故答案为：123°或132°或90°或48°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是画出图形，分情况讨论．
16．如图，△ABD是边长为3的等边三角形，E，F分别是边AD，AB上的动点，若∠ADC=∠ABC=90°，则△CEF周长的最小值为______．

【答案】
【分析】
分别作点C关于AD、AB的对称点M、N，连接MN，MN与AD交于点E，与AB交于点F，连接CE、CF，则此时△CEF的周长最小.分别证△ADC≌△ABC，△ACD≌△MCP，得MP=AD=3，∠MPC=∠ADC=90°，MN=2MP=6.
【详解】
如图，因为，所以分别作点C关于AD、AB的对称点M、N，连接MN，MN与AD交于点E，与AB交于点F，连接CE、CF，则此时△CEF的周长最小，
连接AC，交MN于点P，
由作图可知CE=ME、CF=FN，∴△CEF的周长：CE+CF+EF=MN，
∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD=3，∠DAB=∠ADB=∠ABD=60°，
∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CDB=∠CBD=30°，
∴CD=CB，
∵DM=CD，BN=CB，∴CM=2CD=2BC=CN，MN//BD，∴∠M=∠N=∠CDB=30°，
又∵AC=AC，∴△ADC≌△ABC，
∴CD=CB，∠DAC=∠BAC=∠DAB=30°，
∴AC=2CD，∠M=∠DAC，∴AC=CM，
又∵∠ACD=∠MCP，∴△ACD≌△MCP，∴MP=AD=3，∠MPC=∠ADC=90°，
∴MN=2MP=6，
即△CEF周长的最小值是6，
故答案为6.

【点睛】
本题考查了最短路径问题，涉及到等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等，正确根据轴对称的性质作出符合条件的图形是解题的关键.

三、解答题
17．如图1，点，分别是等边边，上的动点（端点除外），点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接，交于点．

（1）求证：；
（2）如图1，当点，分别在，边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点，在分别运动到点和点后，继续在射线，上运动，直线， 交点为，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）点，在运动的过程中，不变．；（3）的度数为．
【分析】
（1）利用SAS证明结论；
（2）根据得到，根据三角形外角的性质求出得到答案；
（3）同（2）证明得到，根据三角形外角的性质求出得到答案．
【详解】
（1）证明：是等边三角形，
，，
又点，运动速度相同，
．
在与中，
，
．
（2）解：点，在运动的过程中，不变．
，
，
，
．
（3）解：在与中，
，
∴，
，
，
．
的度数为．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，动点问题，三角形的外角性质，解此类问题时应用同类证明的方法进行证明．
18．在△ABC中，AB＝AC，E是BC中点，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足∠GEH+∠BAC＝180°．


（1）如图1，若∠B＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，CH＝2，求线段AG的长度；
（2）如图2，连接AE并延长至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H在AC延长线上时，求证：2BF+CH＝BG；
（3）如图3，在（2）的条件下，将∠GEH绕点E旋转一定的角度，点H与点A重合时，取线段EF中点M，点N为GE上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90°得到线段MN'，连接FN'．若∠ABC＝30°，BE，EFBE，当线段FN'的长度最小时，请直接写出△FN'C的面积．
【答案】（1）AG=2；（2）证明见详解；（3）S△FN'C=．
【分析】
（1）连结AE，由∠B＝45°，AB＝AC，可得∠B=∠C=45°，∠BAC=90°，由满足∠GEH+∠BAC＝180°可求∠GEH=90°由点E为BC中点，可得AE=CE=BE，AE⊥BC，AE平分∠CAB，可证△CEH≌△AEG（ASA），可得CH=AG即可；
（2）延长FE交AC于T，过E作ES⊥AB与S，先证△AEC≌△DEB（SAS），可得AC=DB=AB ，∠DBE=∠ACE，可证AC∥BD，由E为AD中点，等腰三角形性质可得∠FBE=∠SBE，再证△ESB≌△EFB（AAS），可得BS=BF，ES=EF，证明△ETC≌△EFB（AAS），可得TC=BF，ET=EF=ES，最后证△HET≌△GES（ASA），可得TH=SG即可；
（3）过C作CU⊥BD交BD延长线于U，过N′作NV⊥EF交射线EF于V，由∠ABC＝30°，AB=AC，可得∠ACB=∠ABC=30°，可求∠BAC=120°，∠EAB=∠CAE=60°，可证△EAG为等边三角形与△ABD为等边三角形，可求∠EBD=∠ABD-∠ABC=30°，在Rt△BEF中，∠FBE=30°，BE，可求EF=，在Rt△BCU中，∠CBU =30°，BC，可求CU=，由M为EF中点，可求EM=MF=，可证RT△NEM≌Rt△N′VM（AAS），可得EM=VN′=，由FN′≥VN′=，当FN′=最短此时点N′在BD上，可求S△FN'C=．
【详解】
解：（1）连结AE，
∵∠B＝45°，AB＝AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠BAC=180-∠B-∠C=90°，
∵满足∠GEH+∠BAC＝180°，
∴∠GEH=90°，
∵点E为BC中点，
∴AE=CE=BE，AE⊥BC，AE平分∠CAB，
∴∠GAE=∠EAC=45°=∠C，
∵∠GEA+∠AEH=90°，∠HEC+∠AEH=90°，
∴∠GEA=∠HEC，
在△CEH和△AEG中，
，
∴△CEH≌△AEG（ASA），
∴CH=AG，
∵CH＝2，
∴AG=2；

（2）延长FE交AC于T，过E作ES⊥AB与S，
在△AEC和△DEB中，
，
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC=DB=AB ，∠DBE=∠ACE，
∴AC∥BD，
∵E为AD中点，
∴BE平分∠ABD，
∴∠FBE=∠SBE，
∵EF⊥BD，ES⊥BA，
∴∠EFB=∠ESB=90°，
在△ESB和△EFB中，
，
∴△ESB≌△EFB（AAS），
∴BS=BF，ES=EF，
∵EF⊥BD，AC∥BD，
∴ET⊥AC，
∴∠ETC=∠EFB=90°，
在△ETC和△EFB中，
，
∴△ETC≌△EFB（AAS），
∴TC=BF，ET=EF=ES，
∴∠TES+∠CAB=360°-∠ETA-∠ESA=180°，
∴∠TES=∠HEG，
∴∠SEG=∠SET+∠TEG=∠GEH+∠TEG=∠THE，
在△HET和△GES中，
，
∴△HET≌△GES（ASA），
∴TH=SG，
∴BG=BS+SG=BF+TH=BF+TC+CH=BF+BF+CH=2BF+CH;

（3）过C作CU⊥BD交BD延长线于U，过N′作NV⊥EF交射线EF于V，
∵∠ABC＝30°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-30°-30°=120°，
∵E为BC中点，AE⊥BC，AE平分∠BAC，
∴∠EAB=∠CAE=60°，
∴∠AEG=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∴△EAG为等边三角形，
∵BD=AC=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠EBD=∠ABD-∠ABC=30°，
∵BE，
∴BC=2BE=，
∴在Rt△BEF中，∠FBE=30°，BE，
∴EF=，
∴在Rt△BCU中，∠CBU =30°，BC，
∴CU=，
∵M为EF中点，
∴EM=MF=，
∵△AGE为等边三角形，∠EGA=60°，△ABD为等边三角形，∠ABD=60°，
∴∠EGA=∠ABD =60°，
∴EG∥BD，
∴EF⊥EG，
∵NM⊥N′M，
∴∠EMN+∠VMN′=90°，∠VMN′+∠VN′M=90°，
∴∠EMN=∠VN′M，
在RT△NEM和Rt△N′VM中，
，
∴RT△NEM≌Rt△N′VM（AAS），
∴EM=VN′=，
∵FN′≥VN′=，
∴当FN′=最短此时点N′在BD上，
S△FN'C=．

【点睛】
本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，三角形面积，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，三角形面积是解题关键
19．已知是边长为4的等边三角形，点是射线上的动点，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接．

（1）如图1，求证：；
（2）①当________时，；（直接写出结果）
②点在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①2或8；②存在，
【分析】
（1）连接AE，证明，根据全等三角形的性质得到．
（2）①分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；
②根据得到，根据垂线段最短解答．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，连接AE，

由旋转的性质可知，，AD=DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
是等边三角形，
，，
，
，
∴，
在和中，
，
，
；
（2）①为2或8时，，
当点在线段上，时，如图中，

，
，，
，
，
，
，
．
当点在线段的延长线上，时，如图中，

，
，
，
，
，
，
，
为2或8时，．
故答案为：2或8．
②点在运动过程中，的周长存在最小值，最小值为，
理由如下：，
，
则的周长，
当点在线段上时，的周长，
当点在线段的延长线上时，的周长，
的周长，
当在线段上，且最小时，的周长最小，
为等边三角形，
，
的最小值为，
的周长的最小值为．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．四边形中，，平分，，，，求的长．

【答案】10
【分析】
由DE平分∠CDA，∠C=∠AED可得∠DHC=90°，可得△CDG是等腰三角形，，再证明△BGA≅△DEA，可得，，利用勾股定理得DE=10.
【详解】
延长CB分别交DE、DA的延长线于点H点和G点，如图：

∵平分，
∴∠ADE=∠HDC，
∵，∠DAE=90°，
∴∠DHC=90°，
∴△CDG是等腰三角形，
∴，
∵∠BEH=∠DEA，∠DAE=∠BAG,
∴∠ADE=∠GBA，
在△BGA和△DEA中
∵，
∴△BGA≅△DEA，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，做辅助线构造等腰三角形是解题的关键.
21．已知点是的平分线上一点，连接，．

（1）如图1，若，证明：
（2）如图2，若，，，证明：
（3）如图，若，点是的中点，当的最小时值为______．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）要求证，根据全等三角形的判定证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质可得出，可得：，要证，继续做辅助线求证三角形全等，即可求解；
（3）根据可知是等边三角形，由题意的最小时，即BE为直线时，根据正三角形重心的性质求解．
【详解】
（1）证明：∵平分
∴
∴在和中

∴（SAS）
∴

（2）令，

∵
∴
∵
∴
∵平分
∴
即

∴，
在
作于
连
∵有等腰
∴平分
∴，
∵∴
∴在中，
中，
∴
∴平分
作延长线于，∴
∴在中，
∵
∴
在中
∴在和中

∴
∴
成立得证．
（3）∵，
∴是等边三角形，
∵AP是的平分线，
∴延长AP交BC于点D，则AD是BC垂直平分线，
∴，
∴最小即为最小，
∴BE为一条线段时最小，
∵BE、AD是的中线交于点P，
∴P为的重心，
∴，即．
．
【点睛】
本题主要考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定，三角形重心的性质以及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质，三角形重心以及等边三角形的性质是解决本题的关键．
22．在等腰三角形中．
（1）若，则________度；
（2）若，求；
（3）通过上述解答，发现的度数不同，得到的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形中，设，求的度数（用含的式子表示）．请你根据的度数的个数探索的取值范围．
【答案】（1）35；（2）70°或100°或40°；（3）当90°≤α＜180°或α=60°时，∠B的度数只有一个；当0°＜α＜90°且α≠60°时，∠B有三个不同的度数．
【分析】
（1）根据三角形内角和定理，因为，即可得到；
（2）根据三角形内角和定理，因为，所以推出或或，进而得到的度数．
分两种情况：①；②，结合三角形内角和定理求解即可．
【详解】
解：（1），
为顶角，
；
故答案为：35；
（2）若为顶角，则；
若为底角，为顶角，则；
若为底角，为底角，则；
故°或100°或40°；
（3）分两种情况：
①当或时，只能为顶角，
的度数只有一个；
当时，的度数只有一个；
②当时，
若为顶角，则；
若为底角，为顶角，则；
若为底角，为底角，则．
当且且，
即时，有三个不同的度数．
当且时，有三个不同的度数．
综上所述，当或时，的度数只有一个；当且时，有三个不同的度数．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．
23．如图，已知在DABC中，BD^AC于D，CE^AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN^DE；
（2）若BC=10，DE=6，求DMDE的面积．

【答案】（1）见解析；（2）12
【分析】
（1）由直角三角形，线段中点的条件和定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到辅助线作法，连接进而得到等腰三角形，再根据定理“三线合一”即可证明.
（2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得等腰的腰长，且知道底的长度，那么再根据勾股定理求出高的长度即可求得的面积.
【详解】
解：证明:
连接
,
,
是的中点，

同理可得,

是的中点,
;
解:
,

由可知



【点睛】
本题综合考查了直角三角形斜边上的中线定理，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，观察图形，理解题意并作出辅助线，合理应用各个性质定理是解答关键.
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D从点B出发，沿B→C方向运动到C（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于E．
（1）在点D的运动过程中，若∠BDA＝100°，求∠DEC的大小；
（2）在点D的运动过程中，若AB＝DC，请证明△ABD≌△DCE；
（3）若BC＝6cm，点D的运动速度是1cm/s，运动时间为t（s）．在点D的运动过程中，是否存在这样的t，使得△ADE的形状是直角三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）100°；（2）见解析；（3）存在，当t＝2或3时，△ADE的形状是直角三角形．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝30°，根据已知条件得到∠EDC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，于是得到∠DEC＝180°﹣50°﹣30°＝100°；
（2）根据三角形的内角和和平角的定义得到∠CED＝∠ADB根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（3）根据三角形的内角和得到∠BAC＝120°，求得BD＝t，CD＝6﹣t，①如图1，当∠DAE＝90，则∠BAD＝30°，根据直角三角形的性质列方程求得t的值；②如图2，当∠AED＝90°时，则∠DAE＝60°，根据等腰三角形的性质列方程求得t的值．
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵∠BDA＝100°，∠ADE＝30°，
∴∠EDC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，
∴∠DEC＝180°﹣50°﹣30°＝100°；
（2）∵∠C＝30°，
∴∠CED+∠CDE＝150°，
∵∠ADE＝30°，
∴∠ADB+∠CDE＝150°，
∴∠CED＝∠ADB，
在△ABD和△DCE中，

∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）存在，∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵BC＝6cm，点D的运动速度是1cm/s，运动时间为t（s），
∴BD＝t，CD＝6﹣t，
①如图1，当∠DAE＝90，则∠BAD＝30°，

∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝BD＝t，
∵∠C＝30°，
∴CD＝2AD，即6﹣t＝2t，
∴t＝2；
②如图2，当∠AED＝90°时，则∠DAE＝60°，
∴AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，
即t＝6﹣t，
∴t＝3，
综上所述，当t＝2或3时，△ADE的形状是直角三角形．

【点评】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和，正确 的作出图形是解题的关键.
25．如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，A(0，2)，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边，延长CA交x轴于点E．
（1）求证：OB＝AC；
（2）当B点运动时，猜想AE的长度是否发生变化？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点Q，使得是以AE为腰的等腰三角形，请通过计算写出点Q的坐标．

【答案】（1）证明见解析；（2）不发生变化，理由见解析；（3）存在，Q(0，-2)或(0，6)
【分析】
（1）根据等边三角形的性质证明即可；
（2）根据条件得到 ∠OAE=60° ，求出 ∠OEA=30° ，得出 AE=2AO ，即可得解；
（3）根据点Q在y轴正半轴和负半轴分别计算即可．
【详解】
解：(1)证明：∵△AOP，△PBC均为等边三角形，
∴OP=AP，BP=PC，∠OPA=∠BPC=60°．
∴∠OPA+∠APB=∠APB+BPC，即∠OPB=∠APC．
在△PBO和△PCA中， ，
∴△PBO≌△PCA(SAS)，
∴OB=AC；
(2)当点B运动时，AE的长度不会发生变化，理由如下：
∵∠CAP=60°，∠PAO=60°，
∴∠EAO=180°-60°=60°=60°，
∵∠AOE=90°，
∴∠AEO=30°，
∴AE=2AO，
∵A(0，2)，
∴OA=2，
∴AE=4，
∴当B点运动时，AE的长度不发生变化；
(3) 由（2）知，，，
当点Q在y轴负半轴时，
∵，
∴点Q与点A关于x轴对称，
∴Q(0，-2)，
当点Q在y轴的正半轴时，AQ=AE=4，
∴OQ=OA+AQ=6，
∴Q(0，6)，
即满足条件的Q点的坐标为（0，-2）或（0，6）．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质，综合运用相关知识是解题的关键．
26．如图所示，已知中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上．由点向点运动．

①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等？请说明理由．
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等．
【答案】①全等，理由见解析；②
【分析】
①根据中点的定义求出BD，根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB，再得出经过1秒后，PB，PC和CQ的长，根据可证得；
②可设点的运动速度为，经过与全等，则可知，，，据（1）同理可得当，或，时两三角形全等，求的解即可．
【详解】
解：①∵点D是AB中点，cm，
∴BD=10÷2=5cm，∠ABC=∠ACB，
经过1秒后，，，，
中，，
在和中，
，
．
②设点的运动速度为，经过与全等；则可知，，，
，
，
根据全等三角形的判定定理可知，有两种情况：①当，时，②当，时，两三角形全等；
当且时，且，解得，
，
舍去此情况；
当，时，
且，解得：；
故若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为时，能够使与全等．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．