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人教版八年级上册14.2.2 完全平方公式综合训练题
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这是一份人教版八年级上册14.2.2 完全平方公式综合训练题，文件包含1422完全平方公式培优卷解析版docx、1422完全平方公式培优卷原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
14.2.2完全平方公式 培优卷
一、单选题
1．三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类5块.小明在用这些地砖拼成一个正方形时，多出其中1块地砖，那么小明拼成正方形的边长是( )
A．m+n B．2m+2n C．2m+n D．m+2n
【答案】D
【详解】
解：1块A的面积为m2；4块B的面积为4mn；
5块C的面积为5n2；
那么这三种类型的砖的总面积应该是m2+4mn+5n2=m2+4mn+4n2+n2=(m+2n)2+n2，
因此，多出了一块C型地砖，拼成的正方形的面积为(m+2n)2=m2+4mn+4n2，
正方形的边长为m+2n．
故选D．
2．若，则( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】
由得x=3+y，然后，代入所求代数式，即可完成解答.
【详解】
解：由得x=3+y
代入
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活对代数式进行变形是解答本题的关键.
3．我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ）
A．64 B．128 C．256 D．612
【答案】C
【分析】
由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）8所有项的系数和为28，即可得出答案．
【详解】
解：由“杨辉三角”的规律可知，
展开式中所有项的系数和为1，
展开式中所有项的系数和为2，
展开式中所有项的系数和为4，
展开式中所有项的系数和为8，
……
展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的系数和为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题关键是通过观察得出系数和的规律．
4．若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-4 D．4
【答案】B
【解析】
试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y）2=x2+2xy+y2=9①，（x﹣y）2= x2-2xy+y2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.
故选B
点睛：此题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求解..
5．设，且，则（ ）
A．673 B． C． D．674
【答案】B
【分析】
令，可将x、z的值用y与a表示，利用求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.
【详解】
设
则
将x，y，z的值代入可得：
解得：
故选：B.
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，化简过程中用到了两个重要的公式：完全平方公式、平方差公式，令求出x，y，z之间的等式关系是解题关键.
6．如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽为2m的通道，其余部分种草，以下各选项所列式子不是计算通道所占面积的为（ ）
A．2x+2x﹣22 B．x2﹣（x﹣2）2 C．2（x+x﹣2） D．x2﹣2x﹣2x+22
【答案】D
【解析】试题分析：根据图示，可知通道所占面积是：2x+2x﹣22=4x﹣4．
A、是表示通道所占面积，选项错误；
B、x2﹣（x﹣2）2=x2﹣x2+4x﹣4=4x﹣4，故是表示通道所占面积，选项错误；
C、2（x+x﹣2）=4x﹣4，是表示通道所占面积，选项错误；
D、x2﹣2x﹣2x+22=4﹣4x≠4x﹣4，不是表示通道的面积，选项正确．
故选D．
7．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5．5
【答案】B
【分析】
设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为、 ,再根据题意列式求得、，然后根据a+b=计算即可．
【详解】
解：设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为、
由图甲可得：
由图乙可得：，即：
a+b=．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式在图形面积中的应用，根据图形列出等量关系是解答本题的关键．
8．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】
设2为a，3为b，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式将a、b代入，即可得出答案．
【详解】
解：
设2为a，3为b，
则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，
4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，
6张边长为3的正方形纸片的面积是6b2，
∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，（b＞a）
∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8，
故选C．
【点睛】
此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知识点是完全平方公式．
二、填空题
9．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________．
①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有．
【答案】①②
【分析】
根据立方根、平方根的定义可判断①②；利用开平方法解方程后可判断③的解的情况；利用特殊值法可判断④．
【详解】
①，则，
即，
∴，在实数范围内有解，故选项①正确；
②，则，
∴在实数范围内的解有两个，故选项②正确；
③，整理得：，
配方得：，
开方得：或(舍去)，
∴，
∴原方程在在实数范围内有解，且一正一负，故选项③错误；
④当时，；
当时，；
当时，；故选项④错误；
综上，①②正确，
故答案为：①②．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，开平方解方程，是信息给予题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
10．观察下列各式：
；
；
；
；
⋯⋯⋯，
则______
【答案】
【分析】
根据题意，总结式子的变化规律，然后得到，然后把代数式化简，通过拆项合并的方法进行计算，即可求出答案．
【详解】
解：∵；
；
；
；
……
∴；
∴
；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，以及数字的变化规律，解题的关键是熟练掌握正确掌握题意，找到题目的规律，从而运用拆项法进行解题．
11．已知：则代数式的值为________;
【答案】-70
【分析】
先由求出xy的值，然后再对因式分解即可完成解答.
【详解】
解：∵
∴
∴xy=7
=
=
=7×（11-3×7）
=-70
【点睛】
本题考查了完全平方公式、因式分解和代数式求值，解题的关键是通过完全平方公式的变形以及因式分解寻求条件之间的关系.
12．已知，则________．
【答案】７
【分析】
先设，，则可化为，，再将，代入，然后求出结果
【详解】
解：设：，，
则可化为：
∴
将，，代入上式，
则
【点睛】
本题考查了对完全平方公式的应用，能熟记公式，并能设，，然后将原代数式化简再求值是解此题的关键，注意：完全平方公式为① ，②．
13．已知，则的值为______．
【答案】121
【分析】
先将去分母化为，再将其整体代入原式中即可求出答案.
【详解】
解：由化简得：，
而，
原式.
故答案为：121.
【点睛】
本题考查的是整式的化简及计算，这里有一种在初中阶段比较重要的解题方法整体代入法，需要我们多体会理解.
14．______=（x-____）2.
【答案】3
【解析】
试题分析：根据完全平方式的特点（首平方，尾平方，中间加减首尾积的2倍），可知第一个空为3，第二个空为.
15．若m+n=3,mn=2，则m−n= __________．
【答案】±1
【解析】
【详解】
试题解析：（m-n）2=（m+n）2-4mn，
当m+n=3，mn=2，原式=32-4×2=1．
∴m-n=±1
故答案为±1．
16．若两正方体所有棱长之和为48，表面积之和为72，则体积之和为_______________.
【答案】40
【分析】
设其中一个正方体的棱长为，另一个正方体的棱长为，根据两正方体所有棱长之和为48可得x+y=4，根据表面积之和为72可得，利用完全平方公式和立方和公式即可求得答案．
【详解】
解：设其中一个正方体的棱长为，另一个正方体的棱长为，
根据题意得，12x+12y=48，，
则x+y=4，，
∴，
∴xy=2，
∴
故答案为：40
【点睛】
此题考查了完全平方公式和立方和公式的灵活应用，熟练掌握乘法公式是解决此类问题的关键．
三、解答题
17．如果规定＝mq﹣np．
（1）求的值；
（2）当 的值为8时，求x的值．
【答案】（1）44；（2）x＝．
【分析】
（1）原式利用题中的新定义化简即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【详解】
解：（1）根据题中的新定义得：
＝50﹣6＝44；
（2）根据题中的新定义化简得：
=（6x+1）（6x﹣1）﹣4x（9x﹣3）＝8，
整理得：36x2﹣1﹣36x2+12x＝8，
解得：x＝．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．计算下列各式：
(1) 2022＋202×196＋982
(2) (3x－y)2－(3x＋2y)(3x－2y)
【答案】（1）90000；（2）5y2-6xy．
【分析】
（1）符合完全平方公式，化简即可得到结果；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算后合并同类项即可．
【详解】
（1）2022+202×196+982
=2022+2×202×98+982
=（202+98）2
=90000；
（2）（3x-y）2-（3x+2y）（3x-2y）
=9x2-6xy+y2-（9x2-4y2）
=9x2-6xy+y2-9x2+4y2
=5y2-6xy．
故答案是：（1）90000；（2）5y2-6xy．
【点睛】
此题考查了整式的混合计算，熟练掌握整式的乘法公式是解本题的关键．完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2；平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2．
19．材料1：对于任意正实数a，b，∵≥0，∴a﹣2+b≥0，a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立．
结论：在a+b≥2（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则，a+b≥2，只有当a＝b时，a+b有最小值2．
材料2：若函数y＝x+（m＞0，x＞0，m为常数），由材料1结论可知：x+≥，即x+≥2．∴当x＝，即x2＝m，∴x＝（m＞0）时，函数y＝x+的最小值为2．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若n＞0，只有当n＝_________时，n+有最小值；
（2）若函数y＝a+（a＞1），则a＝_________时，函数y＝a+（a＞1）的最小值为_________．
（3）求代数式（m＞﹣1）的最小值．
（4）如图，已知A(﹣3，0)，B(0，﹣4)，点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形OCPD的面积始终为12，求四边形ABCD面积的最小值以及此时P点的坐标．
【答案】（1）1；（2）4，7；（3）最小值为4；（4）四边形ABCD的面积的最小值为24，P(3，4)
【分析】
（1）模仿例题解决问题即可；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）转化为例题的模型解决问题即可；
（4）设P（m，n），由矩形PCOD的面积为12，可得，推出，由题意S四边形ABCD=S△AOD+S△AOB+S△BOC+S△DOC，转化为例题的模型解决问题即可．
【详解】
（1）∵n＞0，
∴，
即，
∴当时，即n2=1，时，有最小值．
∵n＞0，
∴n=1，
故答案为：1；
（2）∵a＞1，
∴，
∴，
∴时，y有最小值，最小值为7，
∴(a﹣1)2=9，
∵a＞1，
∴时，y有最小值，最小值为7．
故答案为4，7；
（3）∵，
∴，
∴代数式（m＞﹣1）的最小值为4；
（4）设P（m，n），
∵矩形PCOD的面积为12，
∴，
∴，
∵A（﹣3，0），B（0，﹣4），
∴OA=3，OB=4，
∵S四边形ABCD=S△AOD+S△AOB+S△BOC+S△DOC
，
∴S四边形ABCD，
∴当时，即时，四边形ABCD的面积最小，最小值为24．
∴P（3，4）．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，最小值问题，坐标与图形，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题，学会用转化的思想思考和解决问题．
20．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
（1）用含a、b的代数式分别表示、；
（2）若，，求的值；
（3）用a、b的代数式表示；并当时，求出图③中阴影部分的面积．
【答案】（1）， ；（2）77；（3）17
【分析】
（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；
（2）根据，将a-b＝8，ab＝13代入进行计算即可；
（3）根据和 ，可求得图 中阴影部分的面积 ．
【详解】
解：（1）由图可得，， ．
（2），
所以的值为77．
（3）由图可得：
所以图中阴影部分的面积为17．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．
21．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图所示)就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数等等．
（1）请写出的展开式= ；
（2）根据规律计算：；
（3）若（2x﹣1）2018＝a1x2018+a2x2017+a3x2016+……+a2017x2+a2018x+a2019，求a1+a2+a3+……+a2017+a2018的值．
【答案】(1) ，（2）-1，（3）1
【分析】
(1)根据三角形的构造法则，确定出（a+b）5的展开式；
(2)原式变形后，计算即可得到结果；
(3)当x＝0时，得到a2019＝1，当x＝1时，得到a2019＝1，于是得到结论．
【详解】
解:(1)根据题意得：（a+b）5的展开式中各项系数分别为1，5，10，10，5，1，
∴，
故答案为：；
(2)；
(3) 当x＝0时，a2019＝1，
当x＝1时，a1+a2+a3+…+a2017+a2018+a2019＝1，
∴a1+a2+a3+…+a2017+a2018＝0．
【点睛】
本题考查了完全平方式，多项式乘法，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再求展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高．
22．阅读下列解题过程，再解答后面的题目.
例题：已知，求的值.
解：由已知得
即
∵，
∴有，解得
∴.
题目：已知，求的值.
【答案】-
【分析】
先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求出xy的值．
【详解】
解：将，
化简得，
即．
∵，，且它们的和为0，
∴ ， ，
∴.
【点睛】
本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点点，，且满足，点在直线的左侧，且．
（1）求的值；
（2）若点在轴上，求点的坐标；
（3）若为直角三角形，求点的坐标．
【答案】（1）a＝2，b＝4；（2）P（4，0）；（3）P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）．
【分析】
（1）将利用完全平方公式变形得到（a-2）2+|2a-b|＝0，即可求出a、b的值；
（2）由b的值得到OB=4，根据得到OP=OB=4，即可得到点P的坐标；
（3）由可分两种情况求使为直角三角形，当∠ABP＝90°时，当∠BAP＝90°时，利用等腰三角形的性质证明三角形全等，由此得到点P的坐标.
【详解】
（1）∵a2-4a+4+|2a-b|＝0，
∴（a-2）2+|2a-b|＝0，
∴a＝2，b＝4．
（2）由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．
∴OB＝4．
∵点P在直线 AB 的左侧，且在 x 轴上，∠APB＝45°
∴OP＝OB＝4，
∴P（4，0）．
（3）由（1）知 a＝﹣2，b＝4，
∴A（2,0），B（0,4）
∴OA＝2，OB＝4，
∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，
∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，
如图，
①当∠ABP＝90°时，∵∠BAP＝45°，
∴∠APB＝∠BAP＝45°.
∴AB＝PB .
过点 P 作 PC⊥OB 于 C，
∴∠BPC+∠CBP＝90°，
∵∠CBP+∠ABO＝90 °，
∴∠ABO＝∠BPC .
在△AOB 和△BCP 中，，
∴△AOB≌△BCP(AAS) .
∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2 .
∴OC＝OB﹣BC＝2.
∴P(-4，2)
②当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA于D，
同①的方法得，△ADP'≌△BOA.
∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4.
∴OD＝AD﹣OA＝2.
∴P'（﹣2，-2）.
即：满足条件的点P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）.
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，完全平方公式，三角形全等的判定及性质，分类讨论直角三角形形成的点的坐标.
24．（阅读材料）
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．
在一节数学课上，张老师准备了1张甲种纸片，1张乙种纸片，2张丙种纸片，如图1所示，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形．她将这些纸片拼成了如图2所示的一个大正方形．
（理解应用）
（1）图2中的大正方形的边长为______________；
（2）观察图2，用两种不同方式表示大正方形的面积，可得到一个等式，请你直接写出这个等式_____________________________________；
（拓展应用）
（3）利用（2）中的等式计算：
①已知，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）x+y；（2）（x+y）2=x2+y2+2xy；（3）①13；②4044
【分析】
（1）直接根据图形可得结论；
（2）方法一是直接求出大正方形的面积（x+y）2，方法二是将各部分的面积相加得到大正方形面积，即x2+y2+2xy为边的正方形面积，可得等式；
（3）①将a2+b2=10，a+b=6代入上题所得的等量关系式求值；
②可以将2021-a看作A，将a-2019看作B，代入（2）题的等量关系式求值即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
图2中的大正方形的边长为：x+y；
（2）根据大正方形的面积可得：
这个等式为：（x+y）2=x2+y2+2xy；
（3）①由题意得：ab=，
把a2+b2=10，a+b=6代入上式得，
ab==13，
答：ab的值是13．
②由题意得：
（2021-a）2+（a-2019）2
=（2021-a+a-2019）2-2（2021-a）（a-2019）
=22-2×（-2020）
=4044
【点睛】
本题考查完全平方公式的几何背景及应用．此题为阅读材料型，也是近几年经常考查的题型，难度不大，熟练掌握完全平方公式并能够灵活应用是解决此题的关键．
25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： 方法2：
（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决：已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）2的值；
【答案】（1）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）1.
【分析】
（1）方法1：表示出阴影部分的边长，然后利用正方形的面积公式列式；
方法2：利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；
（2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答；
（3）根据（2）的结论整体代入进行计算即可得解．
【详解】
解：（1）方法1：∵阴影部分的四条边长都是m-n,是正方形，
∴阴影部分的面积=（m-n）2
方法2：∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去四周四个矩形的面积
∴阴影部分的面积=（m+n）2-4mn；
（2）根据（1）中两种计算阴影部分的面积方法可知（m-n）2=（m+n）2-4mn；
（3）由（2）可知（a+b）2=（a-b）2+4ab，
∵a-b=5，ab=-6，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=52+4×（-6）=25-24=1.
【点睛】
本题考查几何图形与完全平方公式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
26．（知识生成）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 ；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 、
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为
（知识迁移）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为__________________
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
【答案】（1）（b﹣a）；（2）c2﹣2ab、（b﹣a）2；（3）a2+b2＝c2；（4）13；（5）（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（6）a3+b3＝40．
【分析】
（1）根据直角三角形的两边长即可得到结论；
（2）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；
（3）根据（1）的结果，即可得出答案；
（4）代入求出即可；
（5）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；
（6）代入（5）中的等式求出即可．
【详解】
解：（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a），
故答案为：（b﹣a）；
（2）图中阴影部分的面积为c2﹣2ab或（b﹣a）2，
故答案为：c2﹣2ab，（b﹣a）2；
（3）由（1）知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，
即a2＋b2＝c2，
故答案为：a2＋b2＝c2；
（4）∵a2＋b2＝c2，a＝5，b＝12，
∴c＝13，
故答案为：13；
（5）图形的体积为（a＋b）3或a3＋b3＋a2b＋a2b＋a2b＋ab2＋ab2＋ab2，
即（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2，
故答案为：（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2；
（6）∵a＋b＝4，ab＝2，（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2，＝a3＋b3＋3ab（a＋b）
∴43＝a3＋b3＋3×2×4，
解得：a3＋b3＝40．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键．
14.2.2完全平方公式 培优卷
一、单选题
1．三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类5块.小明在用这些地砖拼成一个正方形时，多出其中1块地砖，那么小明拼成正方形的边长是( )
A．m+n B．2m+2n C．2m+n D．m+2n
【答案】D
【详解】
解：1块A的面积为m2；4块B的面积为4mn；
5块C的面积为5n2；
那么这三种类型的砖的总面积应该是m2+4mn+5n2=m2+4mn+4n2+n2=(m+2n)2+n2，
因此，多出了一块C型地砖，拼成的正方形的面积为(m+2n)2=m2+4mn+4n2，
正方形的边长为m+2n．
故选D．
2．若，则( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】
由得x=3+y，然后，代入所求代数式，即可完成解答.
【详解】
解：由得x=3+y
代入
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活对代数式进行变形是解答本题的关键.
3．我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ）
A．64 B．128 C．256 D．612
【答案】C
【分析】
由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）8所有项的系数和为28，即可得出答案．
【详解】
解：由“杨辉三角”的规律可知，
展开式中所有项的系数和为1，
展开式中所有项的系数和为2，
展开式中所有项的系数和为4，
展开式中所有项的系数和为8，
……
展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的系数和为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题关键是通过观察得出系数和的规律．
4．若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-4 D．4
【答案】B
【解析】
试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y）2=x2+2xy+y2=9①，（x﹣y）2= x2-2xy+y2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.
故选B
点睛：此题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求解..
5．设，且，则（ ）
A．673 B． C． D．674
【答案】B
【分析】
令，可将x、z的值用y与a表示，利用求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.
【详解】
设
则
将x，y，z的值代入可得：
解得：
故选：B.
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，化简过程中用到了两个重要的公式：完全平方公式、平方差公式，令求出x，y，z之间的等式关系是解题关键.
6．如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽为2m的通道，其余部分种草，以下各选项所列式子不是计算通道所占面积的为（ ）
A．2x+2x﹣22 B．x2﹣（x﹣2）2 C．2（x+x﹣2） D．x2﹣2x﹣2x+22
【答案】D
【解析】试题分析：根据图示，可知通道所占面积是：2x+2x﹣22=4x﹣4．
A、是表示通道所占面积，选项错误；
B、x2﹣（x﹣2）2=x2﹣x2+4x﹣4=4x﹣4，故是表示通道所占面积，选项错误；
C、2（x+x﹣2）=4x﹣4，是表示通道所占面积，选项错误；
D、x2﹣2x﹣2x+22=4﹣4x≠4x﹣4，不是表示通道的面积，选项正确．
故选D．
7．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5．5
【答案】B
【分析】
设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为、 ,再根据题意列式求得、，然后根据a+b=计算即可．
【详解】
解：设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为、
由图甲可得：
由图乙可得：，即：
a+b=．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式在图形面积中的应用，根据图形列出等量关系是解答本题的关键．
8．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】
设2为a，3为b，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式将a、b代入，即可得出答案．
【详解】
解：
设2为a，3为b，
则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，
4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，
6张边长为3的正方形纸片的面积是6b2，
∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，（b＞a）
∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8，
故选C．
【点睛】
此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知识点是完全平方公式．
二、填空题
9．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________．
①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有．
【答案】①②
【分析】
根据立方根、平方根的定义可判断①②；利用开平方法解方程后可判断③的解的情况；利用特殊值法可判断④．
【详解】
①，则，
即，
∴，在实数范围内有解，故选项①正确；
②，则，
∴在实数范围内的解有两个，故选项②正确；
③，整理得：，
配方得：，
开方得：或(舍去)，
∴，
∴原方程在在实数范围内有解，且一正一负，故选项③错误；
④当时，；
当时，；
当时，；故选项④错误；
综上，①②正确，
故答案为：①②．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，开平方解方程，是信息给予题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
10．观察下列各式：
；
；
；
；
⋯⋯⋯，
则______
【答案】
【分析】
根据题意，总结式子的变化规律，然后得到，然后把代数式化简，通过拆项合并的方法进行计算，即可求出答案．
【详解】
解：∵；
；
；
；
……
∴；
∴
；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，以及数字的变化规律，解题的关键是熟练掌握正确掌握题意，找到题目的规律，从而运用拆项法进行解题．
11．已知：则代数式的值为________;
【答案】-70
【分析】
先由求出xy的值，然后再对因式分解即可完成解答.
【详解】
解：∵
∴
∴xy=7
=
=
=7×（11-3×7）
=-70
【点睛】
本题考查了完全平方公式、因式分解和代数式求值，解题的关键是通过完全平方公式的变形以及因式分解寻求条件之间的关系.
12．已知，则________．
【答案】７
【分析】
先设，，则可化为，，再将，代入，然后求出结果
【详解】
解：设：，，
则可化为：
∴
将，，代入上式，
则
【点睛】
本题考查了对完全平方公式的应用，能熟记公式，并能设，，然后将原代数式化简再求值是解此题的关键，注意：完全平方公式为① ，②．
13．已知，则的值为______．
【答案】121
【分析】
先将去分母化为，再将其整体代入原式中即可求出答案.
【详解】
解：由化简得：，
而，
原式.
故答案为：121.
【点睛】
本题考查的是整式的化简及计算，这里有一种在初中阶段比较重要的解题方法整体代入法，需要我们多体会理解.
14．______=（x-____）2.
【答案】3
【解析】
试题分析：根据完全平方式的特点（首平方，尾平方，中间加减首尾积的2倍），可知第一个空为3，第二个空为.
15．若m+n=3,mn=2，则m−n= __________．
【答案】±1
【解析】
【详解】
试题解析：（m-n）2=（m+n）2-4mn，
当m+n=3，mn=2，原式=32-4×2=1．
∴m-n=±1
故答案为±1．
16．若两正方体所有棱长之和为48，表面积之和为72，则体积之和为_______________.
【答案】40
【分析】
设其中一个正方体的棱长为，另一个正方体的棱长为，根据两正方体所有棱长之和为48可得x+y=4，根据表面积之和为72可得，利用完全平方公式和立方和公式即可求得答案．
【详解】
解：设其中一个正方体的棱长为，另一个正方体的棱长为，
根据题意得，12x+12y=48，，
则x+y=4，，
∴，
∴xy=2，
∴
故答案为：40
【点睛】
此题考查了完全平方公式和立方和公式的灵活应用，熟练掌握乘法公式是解决此类问题的关键．
三、解答题
17．如果规定＝mq﹣np．
（1）求的值；
（2）当 的值为8时，求x的值．
【答案】（1）44；（2）x＝．
【分析】
（1）原式利用题中的新定义化简即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【详解】
解：（1）根据题中的新定义得：
＝50﹣6＝44；
（2）根据题中的新定义化简得：
=（6x+1）（6x﹣1）﹣4x（9x﹣3）＝8，
整理得：36x2﹣1﹣36x2+12x＝8，
解得：x＝．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．计算下列各式：
(1) 2022＋202×196＋982
(2) (3x－y)2－(3x＋2y)(3x－2y)
【答案】（1）90000；（2）5y2-6xy．
【分析】
（1）符合完全平方公式，化简即可得到结果；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算后合并同类项即可．
【详解】
（1）2022+202×196+982
=2022+2×202×98+982
=（202+98）2
=90000；
（2）（3x-y）2-（3x+2y）（3x-2y）
=9x2-6xy+y2-（9x2-4y2）
=9x2-6xy+y2-9x2+4y2
=5y2-6xy．
故答案是：（1）90000；（2）5y2-6xy．
【点睛】
此题考查了整式的混合计算，熟练掌握整式的乘法公式是解本题的关键．完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2；平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2．
19．材料1：对于任意正实数a，b，∵≥0，∴a﹣2+b≥0，a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立．
结论：在a+b≥2（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则，a+b≥2，只有当a＝b时，a+b有最小值2．
材料2：若函数y＝x+（m＞0，x＞0，m为常数），由材料1结论可知：x+≥，即x+≥2．∴当x＝，即x2＝m，∴x＝（m＞0）时，函数y＝x+的最小值为2．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若n＞0，只有当n＝_________时，n+有最小值；
（2）若函数y＝a+（a＞1），则a＝_________时，函数y＝a+（a＞1）的最小值为_________．
（3）求代数式（m＞﹣1）的最小值．
（4）如图，已知A(﹣3，0)，B(0，﹣4)，点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形OCPD的面积始终为12，求四边形ABCD面积的最小值以及此时P点的坐标．
【答案】（1）1；（2）4，7；（3）最小值为4；（4）四边形ABCD的面积的最小值为24，P(3，4)
【分析】
（1）模仿例题解决问题即可；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）转化为例题的模型解决问题即可；
（4）设P（m，n），由矩形PCOD的面积为12，可得，推出，由题意S四边形ABCD=S△AOD+S△AOB+S△BOC+S△DOC，转化为例题的模型解决问题即可．
【详解】
（1）∵n＞0，
∴，
即，
∴当时，即n2=1，时，有最小值．
∵n＞0，
∴n=1，
故答案为：1；
（2）∵a＞1，
∴，
∴，
∴时，y有最小值，最小值为7，
∴(a﹣1)2=9，
∵a＞1，
∴时，y有最小值，最小值为7．
故答案为4，7；
（3）∵，
∴，
∴代数式（m＞﹣1）的最小值为4；
（4）设P（m，n），
∵矩形PCOD的面积为12，
∴，
∴，
∵A（﹣3，0），B（0，﹣4），
∴OA=3，OB=4，
∵S四边形ABCD=S△AOD+S△AOB+S△BOC+S△DOC
，
∴S四边形ABCD，
∴当时，即时，四边形ABCD的面积最小，最小值为24．
∴P（3，4）．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，最小值问题，坐标与图形，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题，学会用转化的思想思考和解决问题．
20．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
（1）用含a、b的代数式分别表示、；
（2）若，，求的值；
（3）用a、b的代数式表示；并当时，求出图③中阴影部分的面积．
【答案】（1）， ；（2）77；（3）17
【分析】
（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；
（2）根据，将a-b＝8，ab＝13代入进行计算即可；
（3）根据和 ，可求得图 中阴影部分的面积 ．
【详解】
解：（1）由图可得，， ．
（2），
所以的值为77．
（3）由图可得：
所以图中阴影部分的面积为17．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．
21．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图所示)就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数等等．
（1）请写出的展开式= ；
（2）根据规律计算：；
（3）若（2x﹣1）2018＝a1x2018+a2x2017+a3x2016+……+a2017x2+a2018x+a2019，求a1+a2+a3+……+a2017+a2018的值．
【答案】(1) ，（2）-1，（3）1
【分析】
(1)根据三角形的构造法则，确定出（a+b）5的展开式；
(2)原式变形后，计算即可得到结果；
(3)当x＝0时，得到a2019＝1，当x＝1时，得到a2019＝1，于是得到结论．
【详解】
解:(1)根据题意得：（a+b）5的展开式中各项系数分别为1，5，10，10，5，1，
∴，
故答案为：；
(2)；
(3) 当x＝0时，a2019＝1，
当x＝1时，a1+a2+a3+…+a2017+a2018+a2019＝1，
∴a1+a2+a3+…+a2017+a2018＝0．
【点睛】
本题考查了完全平方式，多项式乘法，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再求展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高．
22．阅读下列解题过程，再解答后面的题目.
例题：已知，求的值.
解：由已知得
即
∵，
∴有，解得
∴.
题目：已知，求的值.
【答案】-
【分析】
先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求出xy的值．
【详解】
解：将，
化简得，
即．
∵，，且它们的和为0，
∴ ， ，
∴.
【点睛】
本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点点，，且满足，点在直线的左侧，且．
（1）求的值；
（2）若点在轴上，求点的坐标；
（3）若为直角三角形，求点的坐标．
【答案】（1）a＝2，b＝4；（2）P（4，0）；（3）P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）．
【分析】
（1）将利用完全平方公式变形得到（a-2）2+|2a-b|＝0，即可求出a、b的值；
（2）由b的值得到OB=4，根据得到OP=OB=4，即可得到点P的坐标；
（3）由可分两种情况求使为直角三角形，当∠ABP＝90°时，当∠BAP＝90°时，利用等腰三角形的性质证明三角形全等，由此得到点P的坐标.
【详解】
（1）∵a2-4a+4+|2a-b|＝0，
∴（a-2）2+|2a-b|＝0，
∴a＝2，b＝4．
（2）由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．
∴OB＝4．
∵点P在直线 AB 的左侧，且在 x 轴上，∠APB＝45°
∴OP＝OB＝4，
∴P（4，0）．
（3）由（1）知 a＝﹣2，b＝4，
∴A（2,0），B（0,4）
∴OA＝2，OB＝4，
∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，
∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，
如图，
①当∠ABP＝90°时，∵∠BAP＝45°，
∴∠APB＝∠BAP＝45°.
∴AB＝PB .
过点 P 作 PC⊥OB 于 C，
∴∠BPC+∠CBP＝90°，
∵∠CBP+∠ABO＝90 °，
∴∠ABO＝∠BPC .
在△AOB 和△BCP 中，，
∴△AOB≌△BCP(AAS) .
∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2 .
∴OC＝OB﹣BC＝2.
∴P(-4，2)
②当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA于D，
同①的方法得，△ADP'≌△BOA.
∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4.
∴OD＝AD﹣OA＝2.
∴P'（﹣2，-2）.
即：满足条件的点P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）.
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，完全平方公式，三角形全等的判定及性质，分类讨论直角三角形形成的点的坐标.
24．（阅读材料）
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．
在一节数学课上，张老师准备了1张甲种纸片，1张乙种纸片，2张丙种纸片，如图1所示，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形．她将这些纸片拼成了如图2所示的一个大正方形．
（理解应用）
（1）图2中的大正方形的边长为______________；
（2）观察图2，用两种不同方式表示大正方形的面积，可得到一个等式，请你直接写出这个等式_____________________________________；
（拓展应用）
（3）利用（2）中的等式计算：
①已知，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）x+y；（2）（x+y）2=x2+y2+2xy；（3）①13；②4044
【分析】
（1）直接根据图形可得结论；
（2）方法一是直接求出大正方形的面积（x+y）2，方法二是将各部分的面积相加得到大正方形面积，即x2+y2+2xy为边的正方形面积，可得等式；
（3）①将a2+b2=10，a+b=6代入上题所得的等量关系式求值；
②可以将2021-a看作A，将a-2019看作B，代入（2）题的等量关系式求值即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
图2中的大正方形的边长为：x+y；
（2）根据大正方形的面积可得：
这个等式为：（x+y）2=x2+y2+2xy；
（3）①由题意得：ab=，
把a2+b2=10，a+b=6代入上式得，
ab==13，
答：ab的值是13．
②由题意得：
（2021-a）2+（a-2019）2
=（2021-a+a-2019）2-2（2021-a）（a-2019）
=22-2×（-2020）
=4044
【点睛】
本题考查完全平方公式的几何背景及应用．此题为阅读材料型，也是近几年经常考查的题型，难度不大，熟练掌握完全平方公式并能够灵活应用是解决此题的关键．
25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： 方法2：
（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决：已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）2的值；
【答案】（1）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）1.
【分析】
（1）方法1：表示出阴影部分的边长，然后利用正方形的面积公式列式；
方法2：利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；
（2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答；
（3）根据（2）的结论整体代入进行计算即可得解．
【详解】
解：（1）方法1：∵阴影部分的四条边长都是m-n,是正方形，
∴阴影部分的面积=（m-n）2
方法2：∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去四周四个矩形的面积
∴阴影部分的面积=（m+n）2-4mn；
（2）根据（1）中两种计算阴影部分的面积方法可知（m-n）2=（m+n）2-4mn；
（3）由（2）可知（a+b）2=（a-b）2+4ab，
∵a-b=5，ab=-6，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=52+4×（-6）=25-24=1.
【点睛】
本题考查几何图形与完全平方公式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
26．（知识生成）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 ；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 、
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为
（知识迁移）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为__________________
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
【答案】（1）（b﹣a）；（2）c2﹣2ab、（b﹣a）2；（3）a2+b2＝c2；（4）13；（5）（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（6）a3+b3＝40．
【分析】
（1）根据直角三角形的两边长即可得到结论；
（2）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；
（3）根据（1）的结果，即可得出答案；
（4）代入求出即可；
（5）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；
（6）代入（5）中的等式求出即可．
【详解】
解：（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a），
故答案为：（b﹣a）；
（2）图中阴影部分的面积为c2﹣2ab或（b﹣a）2，
故答案为：c2﹣2ab，（b﹣a）2；
（3）由（1）知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，
即a2＋b2＝c2，
故答案为：a2＋b2＝c2；
（4）∵a2＋b2＝c2，a＝5，b＝12，
∴c＝13，
故答案为：13；
（5）图形的体积为（a＋b）3或a3＋b3＋a2b＋a2b＋a2b＋ab2＋ab2＋ab2，
即（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2，
故答案为：（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2；
（6）∵a＋b＝4，ab＝2，（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2，＝a3＋b3＋3ab（a＋b）
∴43＝a3＋b3＋3×2×4，
解得：a3＋b3＝40．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键．
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