数学人教版15.3 分式方程同步训练题

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15.3分式方程 培优卷


一、单选题
1．若实数a使关于x的不等式组有解且最多有5个整数解，且使关于y的方程＝1的解为整数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣12 B．﹣14 C．﹣16 D．﹣21
【答案】B
【分析】
解不等式组，根据解集中最多有5个整数解，确定出的范围，再由分式方程的解为整数，确定出整数的值，求出之和即可
【详解】
解：不等式组，
解得，，
不等式组有解且最多有5个整数解，
，
解得，
整数为，，，
对于方程，
去分母的，
解得，
，即，
，
当时，；
当时，，
满足条件的所有整数的和．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键，根据不等式组的整数解确定参数的取值范围是难点．
2．若关于x的方程有解，则必须满足条件( )
A．a≠b ，c≠d B．a≠b ，c≠-d C．a≠-b ， c≠d D．a≠-b ， c≠-d
【答案】B
【解析】
【分析】
把a、b、c、d都看做已知数解方程，去分母，转化为关于x的整式方程，讨论x的系数，再讨论最简公分母≠0，得出结论．
【详解】
方程两边都乘以d(b-x)，得
d(x-a)=c(b-x)，
∴dx-da=cb-cx，
即(d+c)x=cb+da，
∴当d+c≠0，即c≠-d时，原方程的解为x=，
由题意知还要满足b-x≠0，即≠b，
所以b≠a，
当c+d=0时，c=-d，0x=d(a-b)，
∴当a=b时，方程有无数个解，
故选B.
【点睛】
本题考查了解字母系数的分式方程，解含有字母系数的方程和解数字系数的方程一样，均是通过去分母，将分式方程转化为整式方程，但因为分式方程中字母的取值决定着方程的解，故对转化后的整式方程中的未知数系数应加以限制，对解出的解还要进行检验．
3．若关于x的分式方程无解，则实数m的值是（ ）
A．m=0或1 B．m=1或3 C．m=3或7 D．m=0或3
【答案】C
【详解】
试题解析：方程去分母得：7+3（x-1）=mx，
整理，得（m-3）x=4，
当整式方程无解时，m-3=0，m=3；
当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，
∴m-3=4，m=7，
∴m的值为3或7．
故选C.
点睛：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
4．若数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方的解为负数，则符合条件的所有整数a的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
表示出不等式组的解集，由不等式组的解集为x＜﹣2确定出a的范围，再由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出符合条件的a的个数．
【详解】
解：解不等式组，得：，
由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，
解得：a≥﹣3；
分式方程去分母得：1﹣y﹣a＝﹣3（y+1），
解得：y＝，
由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件，得，
解得：a＜4且a≠2；
∴﹣3≤a＜4且a≠2，
∴a＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，
∴符合条件的所有整数a的个数为6个；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查分式方程与不等式组的求解运用，解题的关键是熟知分式方程与不等式组的解法．
5．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程有解，则满足条件的所有整数m的积为（ ）
A．15 B． C． D．120
【答案】A
【分析】
先解不等式①得： ＜ 再解②得：＞结合不等式组有且仅有3个整数解，可得＜ 可得＜ 由为整数，或或或 再解，可得 由原分式方程有解，可得 从而可得 从而可得答案．
【详解】
解：
由①得：＞
＞
＜
由②得：＞
＞
又因为不等式组有且仅有3个整数解，
＜
＜
＜
由为整数，
或或或
，


由原分式方程有解，





综上：或

故选：
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式组的整数解问题，分式方程有解问题，掌握以上知识是解题的关键．
6．若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a之和是（ ）
A．15 B．14 C．8 D．7
【答案】D
【分析】
解不等式组，根据整数解的个数判断a的取值范围；解分式方程，用含a的式子表示y，检验增根的情况，再根据解的非负性，确定a的范围，然后根据方程的整数解，确定符合条件的整数a,相加即可.
【详解】

解不等式①，得x≤11
解不等式②，得x>a
∵不等式组至少有五个整数解
∴a<7







∴
∴
∵
∴
∴
∴，a为整数
又∵为整数
∴a可以取-1，3，5
∴满足条件的所有整数a之和是-1+3+5=7
故选：D
【点睛】
本题考查解不等式组求整数解、解分式方程、正确解不等式组是关键，利用不等式组的解集求参数是中考的常考题型.
7．若整数a使关于x的分式方程有非负整数解，且使关于y的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（ ）
A．6 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
求出分式方程的解和不等式组的解集，在结合题意即可求出a的具体值，相加即可．
【详解】
∵，
∴，
∴．
，解得：．
要使无解，即．
又∵有非负整数解，
∴当x=0时，；
当x=1时，；
当x=2时，分母为0，无意义，故x≠2；
当x=3时，；
当x=4时，；
当x=5时，；
当x=6时，，此时不符题意．
综上，a的值可以为-6、-4、0、2、4．
故满足条件的a的和为-6-4+0+2+4=-4．
故选：C．
【点睛】
本题考查解分式方程和一元一次不等式组．根据分式方程和一元一次不等式组求出a的具体值是解答本题的关键．
8．关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是　　

A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】D
【分析】
先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
【详解】

去分母，得
x+m-2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即≠2，＞0，
解得m≠2且m＜6
故选D.
点睛：此题主要考查了分式方程的解和分式方程有解的条件，用含m的式子表示x解分式方程，构造不等式组是解题关键.


二、填空题
9．满足的整数对的组数为 _________________ ；
【答案】2
【分析】
将两式联立组成方程组，先将两式相减，再根据题意a、b均为整数，得出新的方程组求出满足条件的解，再数出满足条件的个数即可．
【详解】
解：
由①－②得

去分母，并整理得

因为为整数，所以有
②③④
⑤⑥⑦⑧
解方程组①得，或；
解方程组②得，；
解方程组③得，此方程组无解；
解方程组④得，此方程组无解；
解方程组⑤得，无整数解；
解方程组⑥得，或
解方程组⑦得，
解方程组⑧得，无整数解；
将求出的解代入原方程，或是原方程的解
所以满足题意的数对有(1,2)或(4,2)
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了分式方程的整数解的特殊解法，认真审题，弄清题意是解决本题的关键．
10．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（2）个多边形由正方形 “扩展”而来，边数记为，…，依此类推，由正边形“扩展”而来的多边形的边数记为（n≥3）．则的值是_____，当的结果是时，n的值________．

【答案】30， 999
【详解】
结合图形观察数字，发现：a3=12=3×4，a4=20=4×5，a5=5×6=30，…进一步得到an=n(n+1)；在计算的时候，根据=-，=-…进行简便计算得出关于n的方程求解即可．
解：观察图形可得：
图（1）总边数为a3=12=3×4，
图（2）总边数为a4=20=4×5，
……
以此类推可得规律：图形总边数=(基础图形的边数)×(基础图形的边数+1)，
即an=n×(n+1)；
当n=5时，a5=5×6=30，
又，
所以
=
=
=，
所以n=999．
故答案为30，999．
点睛：此题考查了图形的变化规律题，注意从特殊推广到一般，解方程时能够利用分数的加减法进行简便计算．
11．某知名服装品牌在北碚共有A、B、C三个实体店．由于疫情的影响，第一季度A、B、C三店的营业额之比为，随着疫情得到有效的控制和缓解，预计第二季度这三个店的总营业额会增加，其中B店增加的营业额占总增加的营业额的，第二季度B店的营业额占总营业额的，为了使A店与C店在第二季度的营业额之比为5∶4，则第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为______________．
【答案】
【分析】
设第一季度A、B、C三店的营业额分别为，第二季度A店、C店的营业额为、，根据题意求得与的关系，第二季度B店的营业额，第二季度总营业额为，则第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为，即可求解．
【详解】
解：∵第一季度A、B、C三店的营业额之比为
∴设第一季度A、B、C三店的营业额分别为
∵第二季度A店与C店在第二季度的营业额之比为5∶4
∴设第二季度A店、C店的营业额为、，B店的营业额为
∵第二季度B店的营业额占总营业额的，
∴，解得
∴第二季度总营业额为
∵B店增加的营业额占总增加的营业额的
∴，解得
第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为
【点睛】
此题考查了分式方程的应用，理解题意设合适的未知数，弄清楚题中的等量关系是解题的关键．
12．方程的解为y=____________.
【答案】5
【分析】
此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答.观察此方程可以发现，分子均相同，分母按大小排列依次相差2，所以此方程可采用特殊的方法来解.
【详解】
移项，得：
,
方程两边通分，得：
,
即，
方程的两边同乘以，得：
，
即
解得：y=5，
经检验，y=5是原方程的根.
∴原方程的解为：y=5.
【点睛】
在解分母含有连续数字或具有特殊间隔规律数字的分式方程时，若直接去分母，运算量很大.若先移项，然后将方程两边分别通分，则出现相同的分子，可以使解分式方程的过程大大简化.总之，要看清分式方程的特点，采用灵活的方式把分式方程转化为整式方程，在求出整式方程的解之后不要忘记检验.检验的方法有两种：一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验；另一种是把求得的未知数的值代入分式的最简公分母进行检验.
13．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程方程为________．
【答案】
【分析】
设小江每小时分拣个物件，分别表示出小李和小江分拣所用的时间,最后再根据“小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同”体现的等量关系即可列出方程．
【详解】
解：设小江每小时分拣个物件，根据题意得：．
故答案为．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．
14．如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为_____________．
【答案】或．
【分析】
分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
解：原方程变形为，
方程去分母后得：，
整理得：，分以下两种情况：
令，，；
令，，，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于的方程是解题关键．
15．已知关于x的方程有解且大于0，则a的取值范围是_____．
【答案】a<2 且 a≠－2
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，令其解大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围.
【详解】
解：原分式方程去分母得：x+a=-x+2，
解得：，
根据题意得：＞0且≠2，
解得：a<2，a≠-2.
故答案为：a<2，a≠-2.
【点睛】
本题考查了分式方程的解，弄清题意和理解分式有意义的条件是解本题的关键.
16．若关于x的分式方程的解为正数，那么字母a的取值范围是 ______ ．
【答案】a＞1且a≠2
【解析】
试题分析：由题意知x-1≠0，可得x≠1，然后去分母得2x-a=x-1，解得x=a-1，根据解为整数可得-1+a＞0，-1+a≠1，可求得a＞1且x≠2.
故答案为a＞1且x≠2
点睛：此题主要考查了分式方程的解，注意分式方程的有解的条件为分母不为0；然后根据题意化为整式方程，求解x的结果，再根据解为正数可列不等式求解即可.

三、解答题
17．解方程组： ．
【答案】
【分析】
将原方程组转换成整式方程组，设，求出u、v的值，然后再求x、y的值，同时解分式方程一定注意要验根．
【详解】
解：设，则原方程组可化为．
解这个方程组，得 ．
于是，得，即．
解方程组得 ．
经检验是原方程组的解．
所以，原方程组的解是．
【点睛】
本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解是解决本题的关键．
18．已知，求A，B的值。
【答案】A=1，B=5.
【分析】
将等式右边相加得到，因为分母相同，所以，由此解得A=1，B=5.
【详解】
.
.
.
∴.
.
∴A=1，-2A+B=3.
∴A=1，B=5.
【点睛】
此题求解分式方程中其它未知数的值，根据化简后分母相同得到分子中对应相等的关系，由此解得A与B的值.
19．2018年1月25日，济南至成都方向的高铁线路正式开通，高铁平均时速为普快平均时速的4倍，从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时，济南市民早上可在济南吃完甜沫油条，晚上在成都吃麻辣火锅了．已知济南到成都的火车行车里程约为2288千米，求高铁列车的平均时速．
【答案】264千米/小时
【分析】
设普快列车的平均时速为x千米/小时，则高铁列车的平均时速为4x千米/小时，根据时间=路程÷速度；结合从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.
【详解】
解：设普快列车的平均时速为x千米/小时，则高铁列车的平均时速为4x千米/小时，
根据题意得：
解得：x=66，
经检验，x=66是原方程的根，且符合题意，
∴原方程的解为x=66，
∴.4x=66×4=264.
答：高铁列车的平均时速为264千米/小时.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.
20．小明家距离科技馆米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用分钟，且骑车的速度是步行速度的倍，小明进家取票时间共用分钟．
（1）小明步行的速度是每分钟多少米？
（2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由．
【答案】（1）小明步行的速度为米分钟；（2）小明能在表演开始前赶到科技馆，理由见详解．
【分析】
（1）设小明步行的速度是每分钟x米，则小明骑车的速度是每分钟5x米，根据时间＝路程÷速度结合小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用时间＝路程÷速度结合小明进家取票时间共用4分钟，即可得出小明回家取票后到达科技馆所需时间，将其与23分钟比较后即可得出结论．
【详解】
解：设小明步行的速度为米分钟，则小明骑车的速度为米分钟．根据题意，得，
解得：．
经检验，是原分式方程的解．
答：小明步行的速度为米分钟．
（2），
所以小明能在表演开始前赶到科技馆．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．；
【答案】
【解析】
【分析】
用换元法去解.设，将原方程化为含y的方程，解出y值后代入中求出x的值即可.
【详解】
解：设 ，则
变形为
∴
∴2y2-9y+10=0，
∴（2y-5）(y-2)=0.
∴y1=；y2=2.
把y1=代入中，得
，
∴2x2-5x+2=0
∴ (2x-1)(x-2)=0
∴ ，
把y2=2代入中，得

∴x2-2x+1=0
∴(x-1)2=0
∴x3=x4=1.
经检验知：均为原方程的根.
∴原方程的根是
【点睛】
本题考查用换元法解分式方程，把方程化为只含新未知数y的方程是关键.
22．当a取什么整数时，方程++＝0只有一个实根，并求此实根．
【答案】a＝﹣4时，原方程恰有一个实根x＝1；a＝﹣8时，原方程恰有一个实根x＝﹣1
【分析】
先将原方程化为＝0，再分三种情况进行讨论：
（1）若x≠0且x≠2，则2x2﹣2x+4+a＝0，由原分式方程恰有一个实根，得出△＝（﹣2）2﹣4×2×（4+a）＝﹣28﹣8a＝0，依此求出a的值；
（2）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝0，代入求出a＝﹣4，再解方程即可；
（3）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝2，代入求出a＝﹣8，再解方程即可．
【详解】
解：原方程化为＝0．
（1）若x≠0且x≠2，则2x2﹣2x+4+a＝0，
∵原分式方程恰有一个实根，
∴△＝0，即△＝（﹣2）2﹣4×2×（4+a）＝﹣28﹣8a＝0，
则a＝﹣，
于是x1＝x2＝，
但a取整数，则舍去；
（2）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝0，则a＝﹣4，
这时原方程为，
去分母得2x2﹣2x＝0，
解得x＝0，x＝1，
显然x＝0是增根，x＝1是原分式方程的根；
（3）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝2，则a＝﹣8，
这时，原方程为
去分母，得2x2﹣2x﹣4＝0，
解得x＝2，x＝﹣1，
显然x＝2是增根，x＝﹣1是原分式方程的根；
经检验当a＝﹣4时，原方程恰有一个实根x＝1；当a＝﹣8时，原方程恰有一个实根x＝﹣1．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，理解分式方程产生增根的原因进而分情况讨论是解题的关键．
23．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a吨，原来产m吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．
（1）当a＝0.8，m＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？
（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是　 　吨，现在小麦的平均每公顷产量是　 　吨；（用含a、m的式于表示）
（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？
【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2），；（3）两组一起收割完这块麦田需要小时．
【分析】
（1）设原来小麦平均每公顷产量是x吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为：，乙的工作效率为：，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间.
【详解】
解：（1）设原来平均每公顷产量是x吨，则现在平均每公顷产量是（x+0.8）吨，
根据题意可得：
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x（x+0.8）≠0，
∴原分式方程的解为x＝4，
∴现在平均每公顷产量是4.8吨，
答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨．
（2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y+a）吨，
根据题意得：
解得；y＝，
经检验：y＝是原方程的解，
则现在小麦的平均每公顷产量是:
故答案为:，；
（3）根据题意得：
答：两组一起收割完这块麦田需要小时．
【点睛】
本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键.
24．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少
【分析】
（1）设乙工程队每天道路的长度为米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．
【详解】
（1）设乙工程队每天道路的长度为米，则甲工程队每天道路的长度为米，
根据题意，得：，
解得：，
检验，当时，，
∴原分式方程的解为：，
，
答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；
（2）设方案一所用时间为：，
方案二所用时间为，则，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴方案二所用的时间少．
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．
25．列方程或方程组解应用题：某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由
于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面
积．
【答案】2.5平方米
【分析】
设每人每小时的绿化面积x平方米，根据“增加2人后完成的时间比原来的时间少3小时”为等量关系建立方程求出其解即可．
【详解】
解：设每人每小时的绿化面积x平方米，由题意，得：

解得：x=2.5．
经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意．．
答：每人每小时的绿化面积2.5平方米．
26．符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请根据这一法则解答下列问题：
（1）计算：；
（2）若，求的值.
【答案】（1） （2）5
【分析】
（1）根据新定义列出代数式，再进行减法计算；
（2）根据定义列式后得到关于x的分式方程，正确求解即可.
【详解】
（1）原式

；
（2）根据题意得：

解之得：
经检验：是原分式方程的解
所以的值为5.
【点睛】
此题考察分式的计算，分式方程的求解，依据题意正确列式是解此题的关键.