数学必修 第一册3.4 函数的应用（一）精练

一、选择题

1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0，则必有(　　)

A．函数f(x)先增后减

B．f(x)是R上的增函数

C．函数f(x)先减后增

D．函数f(x)是R上的减函数

解析：由>0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当a<b时，f(a)<f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．

答案：B

2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是(　　)

A．y＝－3x＋2　　B．y＝

C．y＝x2－4x＋5   D．y＝3x2＋8x－10

解析：显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.

答案：D

3．函数f(x)＝x|x－2|的增区间是(　　)

A．(－∞，1]            B．[2，＋∞)

C．(－∞，1]，[2，＋∞)  D．(－∞，＋∞)

解析：f(x)＝x|x－2|＝

作出f(x)简图如下：

由图象可知f(x)的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)．

答案：C

4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)  B．(0，＋∞)

C．(3，＋∞)     D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.

答案：C

二、填空题

5．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是____________．

解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．

答案：[－1.5,3]和[5,6]

6．若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)<f(3)，则x的取值范围是________．

解析：函数的定义域为R.由条件可知，x－2>3，解得x>5.

答案：(5，＋∞)

7．函数y＝|x2－4x|的单调减区间为________．

解析：画出函数y＝|x2－4x|的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．

答案：(－∞，0]，[2,4]

三、解答题

8．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．

解析：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：

设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－＝，

由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，

又由x1<x2，得x1－x2<0，

于是f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)，

∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．

9．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．

解析：f(x)＝的图象如图所示．

由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．

[尖子生题库]

10．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围．

解析：∵f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，

且f(x－2)<f(1－x)，

∴解得1≤x<，

所以x的取值范围为1≤x<.