考点讲解 课时1.5 全称量词和存在量词试题

考点讲解

课时1.5 全称量词和存在量词

01考点梳理

1.全称量词和全称量词命题

（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做  全称量词  ，并用符号“__∀__”表示.

（2）常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.

（3）全称量词命题：含有  全称量词  的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为  x∈M，p（x）   .

2.存在量词与存在量词命题

（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做  存在量词  ，并用符号“__∃__”表示.

（2）常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.

（3）存在量词命题：含有  存在量词  的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，使p（x）成立”可用符号简记为  ∃x∈M，p（x）  .

3.命题与命题的否定的真假判断

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能  一真一假  .

4.存在量词命题的否定

存在量词命题p：∃x∈M，p（x），

它的否定命题p：  x∈M，p（x） 

存在量词命题的否定是  全称量词  命题.

5.常见正面词语的否定举例：

02考点解读

题型一　全称量词命题与存在量词命题的识别

1.下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．

其中是全称命题的有(　　)

A． 1个

B． 2个

C． 3个

D． 0个

【答案】B

【解析】①和④中用的是存在量词“至少有一个”“  存在”，属存在量词命题；②和③用的是全称量词“任意的”，属全称命题，所以B正确．

2.下列语句不是全称命题的是(　　)

A． 任何一个实数乘以零都等于零

B． 自然数都是正整数

C． 高二(一)班绝大多数同学是团员

D． 每一个向量都有大小

【答案】C

【解析】“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是存在量词命题．故选C.

3.下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是(　　)

A． 斜三角形的内角是锐角或钝角

B． 至少有一个实数x0，使＞0

C． 任一无理数的平方必是无理数

D． 存在一个负数x0，使＞2

【答案】B

【解析】首先看存在量词的有无，判断真假，故选B.

4.下列语句不是存在量词命题的是(　　)

A． 有的无理数的平方是有理数

B． 有的无理数的平方不是有理数

C． 对于任意x∈Z，2x＋1是奇数

D． 存在x0∈R，2x0＋1是奇数

【答案】C

【解析】C为全称命题．

5.判断下列命题是全称命题还是存在量词命题，并判断其真假．

(1)∃x0，x0－2≤0.

(2)三角形两边之和大于第三边．

(3)有些整数是偶数．

【答案】(1)存在量词命题．x0＝1时，x0－2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x0，x0－2≤0”是真命题．

(2)全称命题．三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题．

(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题．

题型二　全称量词命题与存在量词命题的真假的判断

1.下列命题中是全称命题并且是真命题的是(　　)

A． 每一个二次函数的图象都是开口向上

B． 存在一条直线与两个相交平面都垂直

C． 存在一个实数x0，使－3x0＋6＜0

D． 对任意c≤0，若a≤b＋c，则a≤b

【答案】D

【解析】每一个二次函数的图象都是开口向上是假命题；存在一条直线与两个相交平面都垂直，是存在量词命题，且是假命题；存在一个实数x0，使－3x0＋6＜0是存在量词命题，且是假命题；对任意c≤0，若a≤b＋c，则a－b≤c≤0，则a≤b，是全称命题，且是真命题．

2.下列命题为真命题的是(　　)

A． ∃x0∈Z，1＜4x0＜3

B． ∃x0∈Z，5x0＋1＝0

C． ∀x∈R，x2－1＝0

D． ∀x∈R，x2＋x＋2＞0

【答案】D

【解析】1＜4x0＜3，＜x0＜，这样的整数x0不存在，故A为假命题；5x0＋1＝0，x0＝－∉Z，故B为假命题；x2－1＝0，x＝±1，故C为假命题；对任意实数x，都有x2＋x＋2＝＋＞0，故D为真命题．

3.选择合适的量词(∀、∃)，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题．

(1)x＞2；

(2)x2≥0；

(3)x是偶数；

(4)若x是无理数，则x2是无理数；

(5)a2＋b2＝c2.(这是含有三个变量的语句，则用p(a，b，c)表示)

【答案】(1)∃x∈R，x＞2.

(2)∀x∈R，x2≥0；∃x∈R，x2≥0都是真命题．

(3)∃x∈Z，x是偶数．

(4)∃x∈R，若x是无理数，则x2是无理数．(如)

(5)∃a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.

4.用符号“∃”表示下列含存在量词的命题．

(1)有的自然数的平方不大于零；

(2)圆x2＋y2＝r2上有到圆心的距离大于r的点；

(3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝3；

(4)存在一个无理数，它的立方是有理数．

【答案】(1)∃x∈N，使x2≤0；

(2)圆x2＋y2＝r2的圆心为O，∃点P在圆上，使|OP|＞r；

(3)∃一对整数x，y，使得2x＋4y＝3；

(4)∃x∈，则x3是有理数．

题型三　存在性和恒成立性求参数取值范围

1.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为(　　)

A．a≤－2或a＝1

B．a≤－2或1≤a≤2

C．a≥1

D． －2≤a≤1

【答案】A

【解析】由已知可知，p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤1，由命题q为真，得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.

2.由命题“存在x0∈R，使＋2x0＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是(　　)

A． 0

B． 1

C． 2

D． 3

【答案】B

【解析】因为命题“存在x0∈R，使＋2x0＋m≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，得Δ＝4－4m＜0，解得m＞1，所以m的取值范围是(1，＋∞)，∴a＝1.

3.若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

【答案】[－8,0]

【解析】当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知，解得－8≤a＜0.综上，实数a的取值范围是[－8,0]．

4.命题“对任意实数x，ax2－2ax－3≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

【答案】[－3,0]

【解析】当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，解得－3≤a＜0，

综上，－3≤a≤0.

5.在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)，∀x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】∵(x－a)⊙(x＋a)＜1，∴(x－a)[1－(x＋a)]＜1，

∴－x2＋x＋a2－a－1＜0，即x2－x－a2＋a＋1＞0，

∵∀x∈R，上述不等式恒成立，∴Δ＜0，即1－4(－a2＋a＋1)＜0，

解得－＜a＜，

∴实数a的取值范围是.

6.已知二次函数f(x)＝ax2＋x，试问是否存在实数a，使得命题“∃x∈[0,1]，f(x)＜1”是否成立，若存在，求出实数a的取值范围，否则说明理由．

【答案】假设存在实数a，使得命题“∃x∈[0,1]，f(x)＜1”成立．

由f(x)＜1，得ax2＋x＜1，

当x＝0时，0＜1恒成立；

当x∈(0,1]时，a＜＝2－，

由≥1，可得2－≥0，故a＜0.

即存在实数a，且a＜0，使得命题“∃x∈[0,1]，f(x)＜1”成立．

题型四　全称量词命题、存在量词命题的否定

1.命题“∀x＞0，都有x2－x≤0”的否定是(　　)

A． ∃x0＞0，使得－x0≤0

B． ∃x0＞0，使得－x0＞0

C． ∀x＞0，都有x2－x＞0

D． ∀x≤0，都有x2－x＞0

【答案】B

【解析】由含有一个量词的命题的否定易知，选B.

2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)

A． 所有不能被2整除的整数都是偶数

B． 所有能被2整除的整数都不是偶数

C． 存在一个不能被2整除的整数是偶数

D． 存在一个能被2整除的整数不是偶数

【答案】D

【解析】否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选D.

3.“对任意x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)

A． 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0

B． 存在x∈R，x3－x2＋1≥0

C． 存在x∈R，x3－x2＋1＞0

D． 任意x∈R，x3－x2＋1＞0

【答案】C

【解析】“对任意∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1＞0”．

4.已知命题p：∃x0∈R，＋2x0＋2≤0，则p为(　　)

A． ∃x0∈R，＋2x0＋2＞0

B． ∃x0∈R，＋2x0＋2＜0

C． ∀x∈R，x2＋2x＋2≤0

D． ∀x∈R，x2＋2x＋2＞0

【答案】D

【解析】根据存在量词命题的否定，特称量词改为全称量词，同时把小于等于号改为大于号，故选D.

5.已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0，则命题p的否定是________；若命题p为假命题，则实数a的取值范围是________．

【答案】∀x∈R，x2＋2ax＋a＞0　(0,1)

【解析】由题意得，根据存在量词命题与全称命题之间的关系可得，命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2ax＋a＞0；由命题p为假命题，则其否定为真命题，所以Δ＝(2a)2－4a＜0⇒0＜a＜1.

03题组训练

1．判断下列全称量词命题的真假：

（1）每个四边形的内角和都是360°；

（2）任何实数都有算术平方根；

（3）是无理数}，是无理数.

【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题

【解析】（1）真命题.

连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，

而一个三角形的内角和180°，

所以四边形的内角和都是360°是真命题；

（2）假命题.

因为负数没有算术平方根，

所以任何实数都有算术平方根是假命题；

（3）假命题，

因为是无理数，是有理数，

所以是无理数}，是无理数是假命题.

2．判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；

（2）至少有一个整数n，使得为奇数；（3）是无理数}，是无理数.

【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题

【解析】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；

（2）假命题，因为若为整数，则必为偶数；

（3）真命题，因为是无理数，是无理数.

3．判断下列全称量词命题的真假:

(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;

(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;

(3)对任意负数的平方是正数;

(4)梯形的对角线相等

【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.

【解析】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.

(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.

(3)对任意负数,不等式两边同时乘以负数有.故为真命题

(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.

4．判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:

(1)平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交;

(2)每个二次函数的图象都是轴对称图形;

(3)存在一个三角形,它的内角和小于180°;

(4)存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上.

【答案】(1)假命题;命题的否定:平面直角坐标系下,存在一条直线不与x轴相交;

(2)真命题;命题的否定:存在一个二次函数的图象不是轴对称图形;

(3)假命题;命题的否定:任意一个三角形,它的内角和不小于180°;

(4)真命题;命题的否定:任意一个四边形,它的四个顶点都在同一个圆上,

5．在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题,例如:

①若,则;(假命题)

②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题)

这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题.

(1)有人认为,①的否定是“若,则”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗?如果不对,请你正确地写出命题①②的否定.

(2)请你列举几个“若p,则q”形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假.

【答案】(1)不对,见解析(2)见解析

【解析】解: (1)不对.①的否定:存在;②的否定:存在一个四边形为等腰梯形,它的对角线不相等.

(2)命题1:矩形的对角线相等,是真命题;它的否定是:存在一个矩形,它的对角线不相等,是假命题.

命题2:实数的平方是正数,是假命题;它的否定:存在一个实数,它的平方不是正数,是真命题.

6．判断下列存在量词命题的真假:

(1)有些实数是无限不循环小数;

(2)存在一个三角形不是等腰三角形;

(3)有些菱形是正方形;

(4)至少有一个整数是4的倍数.

【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.

【解析】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如等.故为真命题.

(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.

(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.

(4)假设有一个整数是4的倍数,则因为能被4整除,故为偶数,故为奇数,故为奇数.设,则,故除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数使得是4的倍数.故为假命题.