11.1 与三角形有关的线段 提高---人教版八年级数学上册同步（提高+培优）练习

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11.1 与三角形有关的线段 提高
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．若线段AM，AN分别为△ABC的BC边上的高线和BC边所对角的角平分线，则（ ）
A．AM>AN B．AM≥AN C．AM≤AN D．AM 【答案】C
【分析】
根据垂线段最短解答即可.
【详解】
因为线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和角平分线，
根据垂线段最短，得AM≤AN，
故选C.
【点睛】
此题主要考查高线的性质，解题的关键是垂线段最短.
2．已知三角形的两边长分别为3和5，则此三角形的周长不可能是（ ）
A．12 B．13 C．15 D．16
【答案】D
【详解】
【分析】本题可利用三角形的三边关系来解答．
解：2＜第三边＜8
10＜周长＜16
故选D
3．在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】
根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行解答即可．
【详解】
解：选项A中，3+4＞5，能组成三角形，不符合题意，故选项A错误；
选项B中，3+12＞13，能组成三角形，不符合题意，故选项B错误；
选项C中，3+3=6，不能组成三角形，符合题意，故选项C正确；
选项D中，5+7＞10，能组成三角形，不符合题意，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键．
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．2,3,4 B．5,6,11 C．3,4,8 D．1,2,3
【答案】A
【分析】
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可.
【详解】
A、，可以组成三角形；
B、，所以不可以组成三角形；
C、，所以不可以组成三角形；
D、，所以不可以组成三角形.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.
5．如图，在三角形ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（       ）．

（1）AD是三角形ABE的角平分线．（2）BE是三角形ABD边AD上的中线．（3）CH为三角形ACD边AD上的高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】A
【分析】
根据三角形的角平分线，中线、高的概念进行判断．
【详解】
根据三角形角平分线的概念，AG为三角形ABE的角平分线，（1）错误；
根据三角形中线的概念，BG是三角形ABD边AD的中线，（2）错误；
根据三角形高的概念，CH为三角形ACD边AD上的高，（3）正确．
故答案选：A．
【点睛】
本题考查三角形的高、中线、角平分线的概念，掌握相关的定义是解题关键．
6．若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为（　　）
A．31个 B．32个 C．33个 D．34个
【答案】C
【分析】
设三边为x、y，z，且x≤y≤z，根据三角形的三边关系可得x≤y≤z≤19，x+y＞20，然后写出满足这两个不等式的所有x、y的正整数解即可．
【详解】
解：设三边为x、y，z，且x≤y≤z
∵x+y＞z，三角形的三边和为40，
∴x+y+z＞2z
∴40＞2z
解得:z＜20
∴三角形的三边都小于20，
则x≤y≤z≤19，x+y＞20
当x＝2时，y＝19，
当x＝3时，y＝18，
当x＝4时，y＝17，18，
当x＝5时，y＝16，17，
当x＝6时，y＝15，16，17，
当x＝7时，y＝14，15，16，
当x＝8时，y＝13，14，15，16，
当x＝9时，y＝12，13，14，15，
当x＝10时，y＝11，12，13，14，15，
当x＝11时，y＝11，12，13，14，
当x＝12时，y＝12，13，14，
当x＝13时，y＝13，
符合条件的三角形的个数为1+1+2+2+3+3+4+4+5+4+3+1＝33，
故选：C．
【点睛】
此题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系和解不等式是解决此题的关键．
7．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE为△ABD中AB边上的中线，△ABC的面积为6，则△ADE的面积是(　　)

A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
根据三角形的中线的性质，得△ADE的面积是△ABD的面积的一半，△ABD的面积是△ABC的面积的一半，由此即可解决问题．
【详解】
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ABC=3．
∵DE为△ABD中AB边上的中线，
∴S△ADE=S△ABD=．
故选：B．
【点睛】
此题考查三角形的面积，三角形的中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．
8．有 2cm 和 3cm 的两根小棒，请你再找一根小棒，并以这三根小棒为边围成一个三角形， 下列长度的小棒不符合要求的是( )．
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】D
【分析】
根据三角形的三边关系可得3-2＜第三根小棒的长度＜3+2，再解不等式可得答案．
【详解】
设第三根小棒的长度为，
由题意得：，
解得：，
只有D选项不符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．角形的两边差小于第三边．


二、填空题
9．已知方程的解恰好是的两边长，则的第三边c的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
先解方程组，再根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【详解】
解：解方程组，可得：
则，即，
故填：.
【点睛】
本题考查解二元一次方程在和三角形三边关系.主要是理解三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
10．已知a,b,c是的三边长,则______.
【答案】
【分析】
根据三角形三边关系得到，，，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【详解】
解：∵已知a，b，c是的三边长，
∴，，，
∴

；
故答案为：.
【点睛】
考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减，解题的关键是得到，，.
11．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点．动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A﹣B﹣C﹣E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当x＝_____时，△APE的面积等于5．

【答案】或5
【解析】
【分析】
分P在AB上、P在BC上、P在CE上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：当P在AB上时，
∵△APE的面积等于5，
∴x•3＝5，
x＝；
当P在BC上时，
∵△APE的面积等于5，
∴S矩形ABCD﹣S△CPE﹣S△ADE﹣S△ABP＝5，
∴3×4﹣（3+4﹣x）×2﹣×2×3﹣×4×（x﹣4）＝5，
x＝5；
③当P在CE上时，
（4+3+2﹣x）×3＝5，
x＝（不合题意），
故答案为：或5．
【点睛】
本题考查的是三角形的面积计算，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
12．若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______;当周长为奇数时,第三边长为________;当周长是5的倍数时,第三边长为________.
【答案】5 【分析】
(1).根据三角形的三边关系即可求出c的取值范围. (2).根据“偶数和偶数之和为偶数，偶数与奇数之和为奇数，奇数和奇数之和为偶数”即可解答. (3).用含有c的式子表示出周长为5的倍数，结合第三边c的取值范围，进而求出c 的值.
【详解】
解：
根据三角形的三边关系，可得7－2＜c＜7＋2，
即5＜c＜9，
由于2＋7＝9是奇数，故当c为偶数时周长为奇数，
即c的取值为6，8，
当周长是5的倍数是，则有2＋7＋c＝5n，且第三边取值范围为5＜c＜9，
故周长的取值范围为14~18，故n＝3，
解得c＝6.
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，偶数和偶数之和为偶数，偶数与奇数之和为奇数，奇数和奇数之和为偶数，掌握这两个知识点是解答本题的关键.
13．如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为____．

【答案】20°或60°．
【分析】
分情况讨论：①当∠BFD=90°时，②当∠BDF=90°时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可．
【详解】
如图所示，当∠BFD=90°时，

∵AD是△ABC的角分平线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF=60°；
如图，当∠BDF=90°时，

同理可得∠BAD=30°．
∵CE是△ABC的高，∠BCE=50°，
∴∠BFD=∠BCE=50°，
∴∠ADF=∠BFD﹣∠BAD=20°，
综上所述：∠ADF的度数为20°或60°．
故答案为：20°或60°．
【点睛】
本题考查角平分线和高线的定义，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
14．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=3，G是△ABC重心，则S△AGC=_____．

【答案】3
【分析】
延长AG交BC于E．易知S△AGC=×S△AEC，由此计算即可解决问题．
【详解】
解：延长AG交BC于E．

∵∠BAC=90°，AB=6，AC=3，
∴S△ABC=•AB•AC=9，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GE，BE=EC，
∴S△AEC=×9=4.5，
∴S△AGC=×S△AEC=3；
故答案为：3.
【点睛】
本题考查三角形的面积，三角形的重心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．如图,△ 三边上的中线 交于点 ,若 ,则图中阴影部分的面积是________.

【答案】8
【分析】
根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，S△CGE和S△BGF是△ABC面积的．
【详解】
解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S△CGE=S△AGE，S△BGF=S△AGF，S△BDG=S△CDG，
S△ABD=S△BCF=S△ABC=12，
∴S△ABD-S四边形BDGF= S△BCF-S四边形BDGF，
∴S△AGF=S△CDG，
同理可证，
S△CGE=S△AGE=S△BGF=S△BGD=S△BDG=S△CDG，
∵S△ABC=24cm2，
∴S△CGE=S△BGF=×24=4，
∴S阴影=S△CGE+S△BGF=8．
故答案为8．
【点睛】
本题主要考查了三角形的中线、面积等知识点，正确掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解答本题的关键.
16．如图，在中，、分别为边，的中点，若，则图中阴影部分的面积是________.

【答案】12
【分析】
由点D为BC中点可知，DC=BC，因为△ADC与△ABC的DC，BC边上的高相同，所以S△ADC=S△ABC=24，同理可求S△ADE=S△ADC=12．
【详解】
∵点D为BC中点，
∴DC=BC，
∵△ADC与△ABC的DC，BC边上的高相同，
∴S△ADC=S△ABC=24，
∵点E为AC中点，
∴AE=AC，
∵△ADC与△ADE的AC，AE边上的高相同，
∴S△ADE=S△ADC=12，
故答案是：12．
【点睛】
考查了三角形的面积，线段的中点等，解题关键是知道高相等的三角形的面积比就等于对应的底的比．

三、解答题
17．如图，有以下四个条件：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．

（1）若CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求证：EF平分∠BED．
（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．
【答案】（1）详见解析；（2）如果EF平分∠BED，AC∥DE，DC∥EF，那么CD平分∠BCA，详见解析
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACD，根据平行线的性质定理证明结论；
（2）根据题意写出一个真命题，仿照（1）的证明过程证明结论．
【详解】
（1）证明：∵CD平分∠BCA，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DC∥EF，
∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠BEF＝∠DEF，即EF平分∠BED．
（2）如果EF平分∠BED，AC∥DE，DC∥EF，那么CD平分∠BCA．
证明：∵EF平分∠BED，
∴∠BEF＝∠DEF，
∵DC∥EF，
∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠BCD＝∠ACD，即EF平分∠BED．
【点睛】
本题考查的是平行线性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键．
18．已知a、b、c为△ABC的三边长；
①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．
②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．
【答案】①△ABC是等腰三角形；周长为7；②△ABC的周长的最大值13，最小值11．
【分析】
①利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．
②利用三角形三边关系得出c的取值范围，进而求出△ABC的周长最大值和最小值．
【详解】
解：①∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
②∵a＝5，b＝2，c为整数，
∴5﹣2＜c＜2+5，
∴c的最小值为4，c的最大值为6，
∴△ABC的周长的最大值＝5+2+6＝13，最小值＝5+2+4＝11．
【点睛】
此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是正确理解三角形的三边关系．
19．如图，设一个三角形的三边分别是3，1−3m，8.

(1)求m的取值范围；
(2)是否存在整数m使三角形的周长为偶数?若存在，求出三角形的周长；若不存在，说明理由；
(3)如图,在(2)的条件下,当AB=8,AC=1−3m,BC=3时,若D是AB的中点,连CD,P是CD上动点(不与C,D重合,当P在线段CD上运动时,有两个式子):① ;②，其中有一个的值不变，另一个的值改变。问题：
A．请判断出谁不变，谁改变；
B．若不变的求出其值，若改变的求出变化的范围。
【答案】(1)；(2) 存在，理由见解析；(3) ①不改变，②改变，
【分析】
(1) 根据三角形的三边关系即可求得；
(2)由(1)求得的 m取值范围，取整数，通过计算可得；
(3)利用等底等高的两个三角形面积相等以及三角形两边之和大于第三边的性质，通过计算可以求得答案.
【详解】
（1）由三角形三边关系可得，解得；
（2）存在，理由是：
∵；
∴为整数的时候取值可为-3或-2，
当时，
∴周长是3+8+10=21，不是偶数；
当时，
∴周长是，是偶数，所以存在.
（3）∵点D是AB的中点，则CD是中线，设点A到CD的距离为h，则点B到CD的距离也为h，
∴， ，
∴=，
∵ =，
∴
∴①不改变；
∵
∴由三角形两边之和大于第三边性质可以知道，即，
∴，即．
∴②改变．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系及等底等高的两个三角形面积相等等性质.代数式的化简运算是解决本题的关键.
20．如图，已知分别是的高和中线，，，，.

求：（1）的长；
（2）的面积；
（3）和的周长的差.
【答案】(1) 的长度为；(2) 的面积是;(3) 和的周长的差是
【分析】
（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（2）根据△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等，求解即可．
（3）由于AE是中线，那么BE=CE，于是△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长-△ABE的周长=AC-AB，易求其值．
【详解】
（1）∵，是边上的高，
∴，
∴，
即的长度为；
（2）∵是直角三角形，，
∴，
又∵是边的中线，
∴，
∴，即，
∴，
∴的面积是；
（3）∵为边上的中线，∴，
∴的周长-的周长，
即和的周长的差是.
【点睛】
本题考查了三角形的高线和中线的性质．熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题关键．
21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OD，OE平分∠AOF．
（1）∠BOD与∠DOF相等吗？请说明理由．
（2）若∠DOF=14∠BOE，求∠AOD的度数．

【答案】（1）∠BOD=∠DOF，理由详见解析；（2）∠AOD=150°．
【解析】
【分析】
（1）由OE⊥OD知∠EOF+∠DOF=90°，∠AOE+∠BOD=90°，根据∠AOE=∠EOF即可得∠BOD=∠DOF；
（2）由∠DOF=14∠BOE可∠DOF=x°，则∠BOE=4x°，∠BOD=x°，从而得∠DOE=∠BOE﹣∠BOD=3x°，根据∠DOE=90°可得x的值，继而根据∠AOD=180°﹣∠BOD即可得出答案．
【详解】
解：（1）∠BOD=∠DOF，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE=90°，
∴∠EOF+∠DOF=90°，∠AOE+∠BOD=90°，
∵OE平分∠AOF，
∴∠AOE=∠EOF，
∴∠BOD=∠DOF；
（2）∵∠DOF=14∠BOE，
∴设∠DOF=x°，则∠BOE=4x°，∠BOD=x°，
∴∠DOE=∠BOE﹣∠BOD=3x°，
∵∠DOE=90°，
∴3x=90，即x=30，
∴∠BOD=30°，
∴∠AOD=180°﹣∠BOD=150°．
【点睛】
本题主要考查垂线、角平分线等知识点，解题的关键是熟练掌握垂线的定义和角平
分线的性质及补角与余角的性质．
22．已知三角形的三边长分别为2，a-1，4，则化简|a-3|+|a-7|．
【答案】4
【分析】
由三角形的三边关系可以得到a的取值范围，再根据绝对值的意义进行化简可以得解．　
【详解】
解：由三角形三边关系得： 2 得 3 则原式=a-3+7-a=4．
【点睛】
本题考查三角形和绝对值的综合应用，熟练掌握三角形的三边关系和绝对值的意义是解题关键．
23．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，
（1）若AE=3cm，S△ABC=12cm2．求DC的长．
（2）若∠B=40°，∠C=50°，求∠DAE的大小．

【答案】（1）CD=4cm；（2）∠DAE=10°.
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的中线平分三角形面积得出S△ADC=6cm2，进而利用三角形面积得出CD的长．
（2）∠B=40°，∠C=50°，根据三角形的内角和得到∠BAC=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得到∠ADE=2∠B=80°，即可求出∠DAE的大小.
【详解】
解：（1）∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=3cm，S△ABC=12cm2，
∴S△ADC=6cm2，
∴
∴
解得：CD=4（cm）；
（2）∵∠B=40°，∠C=50°，
∴∠BAC=90°，
又∵AD为中线，
∴
∴∠ADE=2∠B=80°，
又∵AE⊥BC，
∴∠DAE=10°.
【点睛】
考查三角形的面积公式，直角三角形的性质，三角形的内角和等，比较基础，难度不大.
24．如图：（1）在ABC中，BC边上的高是 ；
（2）在AEC中，AE边上的高是 ；
（3）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求AEC的面积及CE的长．

【答案】（1）AB；（2）CD；（3）S△AEC＝3cm2，CE＝3cm．
【分析】
（1）（2）根据三角形某条边上高的意义可以得解；
（3）利用三角形的面积计算公式可以得解．
【详解】
解：(1)由高的定义可知，BC边上的高是△ ABC中与BC相对的顶点A到BC的垂线段，
故答案为AB；
(2)与（1）类似，AE边上的高是△ AEC中与AE相对的顶点C到BC的垂线段，
故答案为CD；
(3)∵AE＝3cm，CD＝2cm，∴S△AEC＝AE·CD＝×3×2＝3(cm2)．
∵S△AEC＝CE·AB＝3cm2，AB＝2cm，∴CE＝3cm．
【点睛】
本题考查三角形的面积与高，熟练掌握钝角三角形中锐角所对边的高及由此高计算三角形面积的方法是解题关键．
25．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．

（1）请画出平移后的；
（2）画出的边上的高；
（3）若连接、，若的周长为m，的长为n，则五边形的周长是______．（用m、n表示）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）m+2n
【分析】
（1）分别作出B，C的对应点E，F，依次连接即可．
（2）根据高的定义结合网格性质画出AM即可；
（3）根据平移的性质计算即可．
【详解】
解：（1）如图，△DEF即为所作；
（2）如图，AM即为所作；

（3）由平移可知：AD=BE，AB=DE，△ABC的周长和△DEF的周长相等，
∴AB+DF+EF+AD+BE=m+2n．
【点睛】
本题考查作图-平移变换，三角形的高，平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用平移的知识解决问题．