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11.2与三角形有关的角 提高--人教版八年级数学上册同步（提高+培优）练习
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这是一份11.2与三角形有关的角 提高--人教版八年级数学上册同步（提高+培优）练习，文件包含112与三角形有关的角提高解析版docx、112与三角形有关的角提高原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
11.2与三角形有关的角 提高
一、单选题
1．已知如图，为四边形内一点，若且，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
连接BD，先根据三角形的内角和等于求出∠OBD+∠ODB，再根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】
解：如图，连接BD．
∵在ABD中，，，
∴
∴在BOD中，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理，并能利用整体思想计算是解题关键．
2．如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三角形的外角的性质可知∠DB′C=∠A+∠ADB′，只要求出∠DB′C即可．
【详解】
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=100°，∠A=20°，
∴∠B=60°，
根据翻折不变性可知：∠CB′D=∠B=60°，
∵∠DB′C=∠A+∠ADB′，
∴60°=20°+∠ADB′，
∴∠ADB′=40°，
故选A．
【点睛】
此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3．如图，在中，的平分线和的外角平分线交于，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如图，利用三角形外角的性质和角平分线的性质得到．则．然后又由三角形外角性质推知．
【详解】
解：如图，
∵ ，的平分线和的外角平分线交于，
∴ ，即．
又∵ ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ．
故选：．
【点睛】
此题综合考查了三角形的外角的性质以及角平分线定义，熟练掌握这些知识是解答此题的关键.
4．一个三角形的三个外角之比为3：3：2，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】
根据三角形的外角和等于360°求出三个外角，再求出三个内角，即可得出答案．
【详解】
解：∵三角形的三个外角之比为3：3：2，
∴三角形的三个外角的度数为：135°，135°，90°，
∴三角形对应的内角度数为45°，45°，90°，
∴此三角形是等腰直角三角形，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的外角和三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出各个内角的度数．
5．如图，已知，则的值（ ）
A．不确定 B．等于1 C．等于2 D．大于2
【答案】C
【分析】
根据三角形的外角性质可推出∠AFE=∠ABF+∠BAF，∠AEC=∠BAE+∠ABF，代入化简即可求出结果．
【详解】
解：根据三角形的外角性质可得：∠AFE=∠ABF+∠BAF，∠AEC=∠BAE+∠ABF，
∵AF∥CD，
∴∠AFE=∠ECD，
∴∠ECD=∠ABF+∠BAF，
∵∠BAF=∠EAF，
∴∠BAE=2∠BAF，
∴∠AEC+∠ABF=∠BAE+∠ABF+∠ABF=2∠BAF+2∠ABF=2(∠BAF+∠ABF)，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质性质，根据三角形的外角性质推出∠AFE=∠ABF+∠BAF，∠AEC=∠BAE+∠ABF是解决问题的关键．
6．如图：∠A＝50°，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∠P＝20°，则∠C＝（ ）
A．20° B．15° C．5° D．10°
【答案】D
【分析】
利用三角形外角的性质以及角平分线的性质，列出方程，求解可得答案.
【详解】
如图，延长PD交BC于M，延长AD交BC于N．
∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴设∠ADP＝∠CDP＝x，∠ABP＝∠PBC＝y．
∵∠ADC＝∠1+∠C＝∠A+∠ABC+∠C，
∴2x＝2y+50°+∠C①
∵∠PDC＝∠DMC+∠C，∠DMC＝∠PBC+∠P，
∴x＝∠C+∠P+y，
∴x＝∠C+20°+y②，
①-②可得:∠C＝10°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及三角形外角的性质，解决此类题的关键是利用数形结合思想和方程思想，设角为未知数当成已知，再寻找已知和未知之间的等量关系列出方程求解.
7．把一副三角板如图所示拼在一起，那么图中不存在的角度是（ ）
A．15° B．75° C．105° D．120°
【答案】D
【分析】
根据一副三角板的各个角的度数求出组成的图形的各个角的度数，根据求出的结果判断即可．
【详解】
解：如图，
∠1＝45°﹣30°＝15°，
∠2＝90°﹣15°＝75°，
∠3＝180°﹣75°＝105°，
不存在的角度是120°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了特殊三角形的应用,属于简单题,熟悉三角板的角度是解题关键.
8．如图，，，，则的大小是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用三角形的外角性质列出关于的方程，求得的值，利用邻补角的定义即可求解．
【详解】
解：由题意得，，
则，
解得，
∴ ．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，邻补角的定义，解一元一次方程，利用三角形的外角性质列出关于的方程是解题的关键．
二、填空题
9．如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=__________度．
【答案】90
【分析】
根据三角形的内心的定义知内心是三角形三角平分线的交点，根据三角形内角和定理可以得到题目中的三个角的和．
【详解】
解：∵点P是△ABC的内心，
∴PB平分∠ABC，PA平分∠BAC，PC平分∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°，
故答案是：90°
【点睛】
考查了三角形的内心的性质，解题的关键是正确的理解三角形的内心的定义，是三角形三内角的平分线的交点．
10．如图，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G，若∠BGC=115°，则∠A=______．
【答案】50°
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠GBC+∠GCB，根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵∠BGC=115°，
∴∠GBC+∠GCB=180°﹣115°=65°，
∵BE，CF是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠GBC=ABC，∠GCB=ACB，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠A=180°﹣130°=50°，
故答案为50°．
11．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D，则∠BDC＝_____．
【答案】120°
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠ABC＋∠ACB的度数，再由角平分线的定义求出∠DBC＋∠DCB的度数，进而可得出结论．
【详解】
解：∵△ABC中，∠A＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°﹣60°＝120°．
∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠DBC＋∠DCB＝（∠ABC＋∠ACB）＝×120°＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC＋∠DCB）＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
12．已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，若；，则__________．
【答案】15°
【分析】
根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC,再根据角平分线的定义求出∠BAE,根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD,然后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可得解．
【详解】
解：∵∠ABC=30°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-60°=90°,
∵AE是三角形的平分线,
∴∠BAE=∠BAC=×90°=45°,
∵AD是三角形的高,
∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°,
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-45°=15°．
故答案为:15．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理,三角形的角平分线的定义,高线的定义, 熟记定理与概念并准确识图,理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
13．如图，在中，，F为AE中点．若，，则____．
【答案】67°
【分析】
根据等腰三角形的性质可求∠DBC，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】
解：∵在△ABE中，BA=BE，F为AE中点，
∴DB是∠ABC的平分线，
∵∠ABC=34°，
∴∠DBC=17°，
∵∠C=50°，
∴∠ADB=50°+17°=67°．
故答案为：67°．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解答本题的关键．
14．在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为_____．
【答案】32°
【分析】
根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°，从而得到∠B、∠C互余，然后用∠C表示出∠B，再列方程求解即可.
【详解】
∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠B=90°-∠C，
∵∠B=2∠C-6°，
∴90°-∠C=2∠C-6°，
∴∠C=32°．
故答案为32°.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出∠A的度数是解题的关键.
15．如图，将一副三角板叠放在一起，使含45°的直角三角板的一个锐角顶点恰好落在另一个含30°的直角三角板的斜边上，与交于点．如果， 那么__________度．
【答案】125
【分析】
先求得∠AED的度数，然后在△AEG中依据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】
解：∵∠BEF=110°，∠BEF+∠AEF=180°，
∴∠AEF=70°，
∵∠FED=45°，∠FED+∠AEG=∠AEF，
∴∠AEG=70°-45°=25°，
∵∠A=30°，
∴∠AGE=180°-∠AEG -∠A=125°，
故答案为：125．
【点睛】
本题考查了平角定义三角形的内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．如图，已知中，为上一点，将沿折叠后，点B落在点E处，且，则的度数是___________．
【答案】25°
【分析】
先求出∠A的度数，再根据折叠的性质可得∠E的度数，根据平行线的性质求出∠ADE的度数，进而即可求解．
【详解】
∵，
∴∠A=40°，
∵沿折叠后，点B落在点E处，
∴∠E=∠B=50°，
∵，
∴∠ADE=∠E=50°，
∴∠BDC=∠EDC=（180°-50°）÷2=65°，
∴∠ACD=∠BDC-∠A=65°-40°=25°，
故答案是：25°．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握平行线的性质以及三角形外角的性质，是解题的关键．
三、解答题
17．（概念认识）
如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”． 其中， 是“邻三分线”，是“邻三分线”．
（问题解决）
（1）如图②，在中，，，若的三分线交于点，则 °；
（2）如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线， 且，求的度数；
（延伸推广）
（3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【答案】（1）85或100；（2）45°；（3）情况一：；情况二：；情况三：；情况四：①当时，；②当时，
【分析】
（1）根据题意可得∠B的三分线BD有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得∠BDC的度数；
（2）根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP可得∠ABC+∠ACB=135°，进而可求∠A的度数；
（3）根据∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．分四种情况画图：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，再根据∠A=m°，∠B=n°，即可求出∠BPC的度数．
【详解】
解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C=70°+15°=85°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C=70°+30°=100°；
故答案为：85或100；
（2）∵
∴，
∴
又∵分别是邻三分线和邻三分线，
∴，
∴
∴
在中，
∴
（3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
；
情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
；
情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
；
情况四：，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
①当时，如图④；
②当时，如图⑤；
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质的运用，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．解决本题的关键是掌握三角形的外角性质．注意数形结合，分情况讨论．
18．如图，AD，AE分别是的高和角平分线，∠B=40°，∠C=60°，求∠AED和∠DAE的度数．
【答案】80°，10°
【分析】
先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC=∠BAC，而∠DAC=90°-∠C，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC进行计算即可．
【详解】
在△ABC中，
∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AE是的角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=×80°=40°，
∴∠AED=180°-∠EAC -∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°
∴在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
19．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．
（1）求∠AGF的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【答案】（1）65°；（2）15°．
【分析】
（1）由题意根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）由题意根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，进而根据三角形的内角定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵∠B＝50°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝，
∵FG⊥AE，
∴∠AHG＝90°，
∴∠AGF＝180°﹣90°﹣25°＝65°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE＝50°+25°＝75°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝15°．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理与垂直的定义以及角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
20．如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，求的度数．
【答案】．
【分析】
根据平行线的性质和折叠的性质可得，结合直角三角形的锐角互余，即可求解．
【详解】
解：，
，
，
∴∠ACB′=3∠B，
∵折叠，
∴，
，
，，
，即，
，
∴．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，平行线的性质以及折叠的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和折叠的性质．
21．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，且点、同时出发，设运动时间为秒．
（1）直接写出点和点的坐标；
（2）点、在运动过程中，当时，试探究、与三者的数量关系，并证明你的结论；
（3）在点、的运动过程中，连接、，若，求此时点的坐标．
【答案】（1），；（2）；证明见解析；（3）或（8，0） ．
【分析】
（1）根据，由平方和二次根式的非负性即可求出a、b的值，即可得到A、B的坐标；
（2）首先根据得到运动过程中P始终在OA上，Q始终在OC上，然后得到
BC⊥y轴，∠QBC+∠BQC=90°，∠OPQ+∠PQO=90°，∠PQB+∠PQO+∠BQC=180°即可得到答案；
（3）分别用含t的式子表示出两个三角形的面积，然后求解即可得到答案.
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∴，
∴A点的坐标为（-8，0），B点的坐标为（-4，-4），C点坐标为（0，-4）
（2）∵，OA=8，OC=4，点从点A出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动
∴在此运动过程中P始终在OA上，Q始终在OC上
∵B点的坐标为（-4，-4），C点坐标为（0，-4）
∴BC⊥y轴
∴∠BCQ=90°
∴∠QBC+∠BQC=90°
同理∠OPQ+∠PQO=90°
∵∠PQB+∠PQO+∠BQC=180°
∴∠PQB+90°-∠QBC+90°-∠OPQ=180°
∴∠OPQ+∠QBC=∠PQB
（3）∵B点的坐标为（-4，-4）
∴B到x轴，y轴的距离均为4
∴，
∵，，
∴
∴
解得或
∴P点的坐标为（，0）或（8，0）
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，平角的性质，三角形的面积公式，绝对值的性质和算术平方根的非负性，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
22．如图，在中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．
（1）如图1，已知∠A=90°，求∠BOC的度数；
（2）如图2，设∠A=m°，求∠BOC的度数．
【答案】（1）135°；（2）90°+m°
【分析】
（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求解即可．
（2）方法同（1）可得．
【详解】
（1）A=90°
ABC+ACB=90°
又OB、OC为ABC与ACB的角平分线
OBC=ABC，OCB=ACB
OBC+OCB=ABC+ACB=45°
BOC=135°
（2）A=m°
ABC+ACB=180°－m°
又OB、OC为ABC与ACB的角平分线
OBC=ABC，OCB=ACB
OBC+OCB=ABC+ACB=(180°－m°)
BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°－(180°－m°)=90°+m°
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23．已知：任何一个三角形都满足三角形三内角和等于，我们把这个结论称之为三角形三内角和定理．如图1，，且，请根据题目条件，结合三角形三内角和定理，探究下列问题：
（1）如图2，在图1基础上作：，，与交于点，求的度数；
（2）如图3，在图1基础上作：过作，交于点，且，求的值．
【答案】（1）100°；（2）
【分析】
（1）设，根据已知条件分别表示出，，再根据三角形内角和定理即可求得．
（2）求得，再根据即可求得的值
【详解】
（1）如图
，
又，
设，，
，，，，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）如图
，
在中
，
．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形内角度的和差计算，数形结合是解题的关键．
24．如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点，，求和的度数．
【答案】，
【分析】
根据垂直的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理及三角形的外角性质计算即可．
【详解】
解：且平分
，
又，
；
，
，
又
平分
．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义以及三角形的外角性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
25．如图，在中，，，平分，平分，求的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：平分（已知），
．
同理可得 ．
，
（等式的性质）
．
．
【答案】，三角形内角和定理，，．
【分析】
先根据角平分线的定义求出∠PBC和∠PCB的值，然后根据三角形内角和求解即可．
【详解】
平分（已知），
．
同理可得．
（三角形内角和定理），
（等式的性质）
．
．
故答案为：，三角形内角和定理，，．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线，以及三角形的内角和，根据角平分线的定义求出∠PBC和∠PCB的值是解答本题的关键．
26．现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
（1）如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ．
（2）如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是 ；
（3）如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠1＝2∠A；（2）∠1+∠2＝2∠A；（3）∠2﹣∠1＝2∠DAE，理由详见解析
【分析】
（1）∠1＝2∠A，由折叠可得∠A＝∠DA′A，再由三角形外角的性质可得∠1＝∠A+∠DA′A，由此可得∠1＝2∠A；（2）∠1+∠2＝2∠A，由折叠可得∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，由平角的定义可得∠ADB+∠AEC＝360°，即可得∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，由此即可证得结论；（3）∠2﹣∠1＝2∠DAE，根据三角形外角的性质可得∠2＝∠AFE+∠DAE，∠AFE＝∠A′+∠1，所以∠2＝∠A′+∠DAE+∠1，由折叠可得∠DAE＝∠A′，所以∠2＝2∠DAE+∠1，即∠2﹣∠1＝2∠DAE．
【详解】
解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠A＝∠DA′A，
∵∠1＝∠A+∠DA′A，
∴∠1＝2∠A；
故答案为：∠1＝2∠A；
（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∵∠ADB+∠AEC＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，
∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；
故答案为：∠1+∠2＝2∠A；
（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠DAE，理由是：
∵∠2＝∠AFE+∠DAE，∠AFE＝∠A′+∠1，
∴∠2＝∠A′+∠DAE+∠1，
∵∠DAE＝∠A′，
∴∠2＝2∠DAE+∠1，
∴∠2﹣∠1＝2∠DAE．
【点睛】
本题是一题多变的题型，基本思路是相同的，解决问题的关键是会运用三角形的内角和定理及三角形外角的性质进行推论证明．
11.2与三角形有关的角 提高
一、单选题
1．已知如图，为四边形内一点，若且，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
连接BD，先根据三角形的内角和等于求出∠OBD+∠ODB，再根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】
解：如图，连接BD．
∵在ABD中，，，
∴
∴在BOD中，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理，并能利用整体思想计算是解题关键．
2．如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三角形的外角的性质可知∠DB′C=∠A+∠ADB′，只要求出∠DB′C即可．
【详解】
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=100°，∠A=20°，
∴∠B=60°，
根据翻折不变性可知：∠CB′D=∠B=60°，
∵∠DB′C=∠A+∠ADB′，
∴60°=20°+∠ADB′，
∴∠ADB′=40°，
故选A．
【点睛】
此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3．如图，在中，的平分线和的外角平分线交于，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如图，利用三角形外角的性质和角平分线的性质得到．则．然后又由三角形外角性质推知．
【详解】
解：如图，
∵ ，的平分线和的外角平分线交于，
∴ ，即．
又∵ ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ．
故选：．
【点睛】
此题综合考查了三角形的外角的性质以及角平分线定义，熟练掌握这些知识是解答此题的关键.
4．一个三角形的三个外角之比为3：3：2，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】
根据三角形的外角和等于360°求出三个外角，再求出三个内角，即可得出答案．
【详解】
解：∵三角形的三个外角之比为3：3：2，
∴三角形的三个外角的度数为：135°，135°，90°，
∴三角形对应的内角度数为45°，45°，90°，
∴此三角形是等腰直角三角形，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的外角和三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出各个内角的度数．
5．如图，已知，则的值（ ）
A．不确定 B．等于1 C．等于2 D．大于2
【答案】C
【分析】
根据三角形的外角性质可推出∠AFE=∠ABF+∠BAF，∠AEC=∠BAE+∠ABF，代入化简即可求出结果．
【详解】
解：根据三角形的外角性质可得：∠AFE=∠ABF+∠BAF，∠AEC=∠BAE+∠ABF，
∵AF∥CD，
∴∠AFE=∠ECD，
∴∠ECD=∠ABF+∠BAF，
∵∠BAF=∠EAF，
∴∠BAE=2∠BAF，
∴∠AEC+∠ABF=∠BAE+∠ABF+∠ABF=2∠BAF+2∠ABF=2(∠BAF+∠ABF)，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质性质，根据三角形的外角性质推出∠AFE=∠ABF+∠BAF，∠AEC=∠BAE+∠ABF是解决问题的关键．
6．如图：∠A＝50°，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∠P＝20°，则∠C＝（ ）
A．20° B．15° C．5° D．10°
【答案】D
【分析】
利用三角形外角的性质以及角平分线的性质，列出方程，求解可得答案.
【详解】
如图，延长PD交BC于M，延长AD交BC于N．
∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴设∠ADP＝∠CDP＝x，∠ABP＝∠PBC＝y．
∵∠ADC＝∠1+∠C＝∠A+∠ABC+∠C，
∴2x＝2y+50°+∠C①
∵∠PDC＝∠DMC+∠C，∠DMC＝∠PBC+∠P，
∴x＝∠C+∠P+y，
∴x＝∠C+20°+y②，
①-②可得:∠C＝10°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及三角形外角的性质，解决此类题的关键是利用数形结合思想和方程思想，设角为未知数当成已知，再寻找已知和未知之间的等量关系列出方程求解.
7．把一副三角板如图所示拼在一起，那么图中不存在的角度是（ ）
A．15° B．75° C．105° D．120°
【答案】D
【分析】
根据一副三角板的各个角的度数求出组成的图形的各个角的度数，根据求出的结果判断即可．
【详解】
解：如图，
∠1＝45°﹣30°＝15°，
∠2＝90°﹣15°＝75°，
∠3＝180°﹣75°＝105°，
不存在的角度是120°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了特殊三角形的应用,属于简单题,熟悉三角板的角度是解题关键.
8．如图，，，，则的大小是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用三角形的外角性质列出关于的方程，求得的值，利用邻补角的定义即可求解．
【详解】
解：由题意得，，
则，
解得，
∴ ．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，邻补角的定义，解一元一次方程，利用三角形的外角性质列出关于的方程是解题的关键．
二、填空题
9．如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=__________度．
【答案】90
【分析】
根据三角形的内心的定义知内心是三角形三角平分线的交点，根据三角形内角和定理可以得到题目中的三个角的和．
【详解】
解：∵点P是△ABC的内心，
∴PB平分∠ABC，PA平分∠BAC，PC平分∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°，
故答案是：90°
【点睛】
考查了三角形的内心的性质，解题的关键是正确的理解三角形的内心的定义，是三角形三内角的平分线的交点．
10．如图，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G，若∠BGC=115°，则∠A=______．
【答案】50°
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠GBC+∠GCB，根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵∠BGC=115°，
∴∠GBC+∠GCB=180°﹣115°=65°，
∵BE，CF是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠GBC=ABC，∠GCB=ACB，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠A=180°﹣130°=50°，
故答案为50°．
11．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D，则∠BDC＝_____．
【答案】120°
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠ABC＋∠ACB的度数，再由角平分线的定义求出∠DBC＋∠DCB的度数，进而可得出结论．
【详解】
解：∵△ABC中，∠A＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°﹣60°＝120°．
∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠DBC＋∠DCB＝（∠ABC＋∠ACB）＝×120°＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC＋∠DCB）＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
12．已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，若；，则__________．
【答案】15°
【分析】
根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC,再根据角平分线的定义求出∠BAE,根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD,然后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可得解．
【详解】
解：∵∠ABC=30°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-60°=90°,
∵AE是三角形的平分线,
∴∠BAE=∠BAC=×90°=45°,
∵AD是三角形的高,
∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°,
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-45°=15°．
故答案为:15．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理,三角形的角平分线的定义,高线的定义, 熟记定理与概念并准确识图,理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
13．如图，在中，，F为AE中点．若，，则____．
【答案】67°
【分析】
根据等腰三角形的性质可求∠DBC，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】
解：∵在△ABE中，BA=BE，F为AE中点，
∴DB是∠ABC的平分线，
∵∠ABC=34°，
∴∠DBC=17°，
∵∠C=50°，
∴∠ADB=50°+17°=67°．
故答案为：67°．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解答本题的关键．
14．在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为_____．
【答案】32°
【分析】
根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°，从而得到∠B、∠C互余，然后用∠C表示出∠B，再列方程求解即可.
【详解】
∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠B=90°-∠C，
∵∠B=2∠C-6°，
∴90°-∠C=2∠C-6°，
∴∠C=32°．
故答案为32°.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出∠A的度数是解题的关键.
15．如图，将一副三角板叠放在一起，使含45°的直角三角板的一个锐角顶点恰好落在另一个含30°的直角三角板的斜边上，与交于点．如果， 那么__________度．
【答案】125
【分析】
先求得∠AED的度数，然后在△AEG中依据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】
解：∵∠BEF=110°，∠BEF+∠AEF=180°，
∴∠AEF=70°，
∵∠FED=45°，∠FED+∠AEG=∠AEF，
∴∠AEG=70°-45°=25°，
∵∠A=30°，
∴∠AGE=180°-∠AEG -∠A=125°，
故答案为：125．
【点睛】
本题考查了平角定义三角形的内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．如图，已知中，为上一点，将沿折叠后，点B落在点E处，且，则的度数是___________．
【答案】25°
【分析】
先求出∠A的度数，再根据折叠的性质可得∠E的度数，根据平行线的性质求出∠ADE的度数，进而即可求解．
【详解】
∵，
∴∠A=40°，
∵沿折叠后，点B落在点E处，
∴∠E=∠B=50°，
∵，
∴∠ADE=∠E=50°，
∴∠BDC=∠EDC=（180°-50°）÷2=65°，
∴∠ACD=∠BDC-∠A=65°-40°=25°，
故答案是：25°．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握平行线的性质以及三角形外角的性质，是解题的关键．
三、解答题
17．（概念认识）
如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”． 其中， 是“邻三分线”，是“邻三分线”．
（问题解决）
（1）如图②，在中，，，若的三分线交于点，则 °；
（2）如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线， 且，求的度数；
（延伸推广）
（3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【答案】（1）85或100；（2）45°；（3）情况一：；情况二：；情况三：；情况四：①当时，；②当时，
【分析】
（1）根据题意可得∠B的三分线BD有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得∠BDC的度数；
（2）根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP可得∠ABC+∠ACB=135°，进而可求∠A的度数；
（3）根据∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．分四种情况画图：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，再根据∠A=m°，∠B=n°，即可求出∠BPC的度数．
【详解】
解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C=70°+15°=85°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C=70°+30°=100°；
故答案为：85或100；
（2）∵
∴，
∴
又∵分别是邻三分线和邻三分线，
∴，
∴
∴
在中，
∴
（3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
；
情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
；
情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
；
情况四：，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
①当时，如图④；
②当时，如图⑤；
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质的运用，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．解决本题的关键是掌握三角形的外角性质．注意数形结合，分情况讨论．
18．如图，AD，AE分别是的高和角平分线，∠B=40°，∠C=60°，求∠AED和∠DAE的度数．
【答案】80°，10°
【分析】
先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC=∠BAC，而∠DAC=90°-∠C，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC进行计算即可．
【详解】
在△ABC中，
∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AE是的角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=×80°=40°，
∴∠AED=180°-∠EAC -∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°
∴在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
19．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．
（1）求∠AGF的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【答案】（1）65°；（2）15°．
【分析】
（1）由题意根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）由题意根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，进而根据三角形的内角定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵∠B＝50°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝，
∵FG⊥AE，
∴∠AHG＝90°，
∴∠AGF＝180°﹣90°﹣25°＝65°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE＝50°+25°＝75°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝15°．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理与垂直的定义以及角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
20．如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，求的度数．
【答案】．
【分析】
根据平行线的性质和折叠的性质可得，结合直角三角形的锐角互余，即可求解．
【详解】
解：，
，
，
∴∠ACB′=3∠B，
∵折叠，
∴，
，
，，
，即，
，
∴．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，平行线的性质以及折叠的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和折叠的性质．
21．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，且点、同时出发，设运动时间为秒．
（1）直接写出点和点的坐标；
（2）点、在运动过程中，当时，试探究、与三者的数量关系，并证明你的结论；
（3）在点、的运动过程中，连接、，若，求此时点的坐标．
【答案】（1），；（2）；证明见解析；（3）或（8，0） ．
【分析】
（1）根据，由平方和二次根式的非负性即可求出a、b的值，即可得到A、B的坐标；
（2）首先根据得到运动过程中P始终在OA上，Q始终在OC上，然后得到
BC⊥y轴，∠QBC+∠BQC=90°，∠OPQ+∠PQO=90°，∠PQB+∠PQO+∠BQC=180°即可得到答案；
（3）分别用含t的式子表示出两个三角形的面积，然后求解即可得到答案.
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∴，
∴A点的坐标为（-8，0），B点的坐标为（-4，-4），C点坐标为（0，-4）
（2）∵，OA=8，OC=4，点从点A出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动
∴在此运动过程中P始终在OA上，Q始终在OC上
∵B点的坐标为（-4，-4），C点坐标为（0，-4）
∴BC⊥y轴
∴∠BCQ=90°
∴∠QBC+∠BQC=90°
同理∠OPQ+∠PQO=90°
∵∠PQB+∠PQO+∠BQC=180°
∴∠PQB+90°-∠QBC+90°-∠OPQ=180°
∴∠OPQ+∠QBC=∠PQB
（3）∵B点的坐标为（-4，-4）
∴B到x轴，y轴的距离均为4
∴，
∵，，
∴
∴
解得或
∴P点的坐标为（，0）或（8，0）
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，平角的性质，三角形的面积公式，绝对值的性质和算术平方根的非负性，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
22．如图，在中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．
（1）如图1，已知∠A=90°，求∠BOC的度数；
（2）如图2，设∠A=m°，求∠BOC的度数．
【答案】（1）135°；（2）90°+m°
【分析】
（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求解即可．
（2）方法同（1）可得．
【详解】
（1）A=90°
ABC+ACB=90°
又OB、OC为ABC与ACB的角平分线
OBC=ABC，OCB=ACB
OBC+OCB=ABC+ACB=45°
BOC=135°
（2）A=m°
ABC+ACB=180°－m°
又OB、OC为ABC与ACB的角平分线
OBC=ABC，OCB=ACB
OBC+OCB=ABC+ACB=(180°－m°)
BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°－(180°－m°)=90°+m°
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23．已知：任何一个三角形都满足三角形三内角和等于，我们把这个结论称之为三角形三内角和定理．如图1，，且，请根据题目条件，结合三角形三内角和定理，探究下列问题：
（1）如图2，在图1基础上作：，，与交于点，求的度数；
（2）如图3，在图1基础上作：过作，交于点，且，求的值．
【答案】（1）100°；（2）
【分析】
（1）设，根据已知条件分别表示出，，再根据三角形内角和定理即可求得．
（2）求得，再根据即可求得的值
【详解】
（1）如图
，
又，
设，，
，，，，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）如图
，
在中
，
．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形内角度的和差计算，数形结合是解题的关键．
24．如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点，，求和的度数．
【答案】，
【分析】
根据垂直的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理及三角形的外角性质计算即可．
【详解】
解：且平分
，
又，
；
，
，
又
平分
．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义以及三角形的外角性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
25．如图，在中，，，平分，平分，求的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：平分（已知），
．
同理可得 ．
，
（等式的性质）
．
．
【答案】，三角形内角和定理，，．
【分析】
先根据角平分线的定义求出∠PBC和∠PCB的值，然后根据三角形内角和求解即可．
【详解】
平分（已知），
．
同理可得．
（三角形内角和定理），
（等式的性质）
．
．
故答案为：，三角形内角和定理，，．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线，以及三角形的内角和，根据角平分线的定义求出∠PBC和∠PCB的值是解答本题的关键．
26．现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
（1）如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ．
（2）如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是 ；
（3）如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠1＝2∠A；（2）∠1+∠2＝2∠A；（3）∠2﹣∠1＝2∠DAE，理由详见解析
【分析】
（1）∠1＝2∠A，由折叠可得∠A＝∠DA′A，再由三角形外角的性质可得∠1＝∠A+∠DA′A，由此可得∠1＝2∠A；（2）∠1+∠2＝2∠A，由折叠可得∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，由平角的定义可得∠ADB+∠AEC＝360°，即可得∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，由此即可证得结论；（3）∠2﹣∠1＝2∠DAE，根据三角形外角的性质可得∠2＝∠AFE+∠DAE，∠AFE＝∠A′+∠1，所以∠2＝∠A′+∠DAE+∠1，由折叠可得∠DAE＝∠A′，所以∠2＝2∠DAE+∠1，即∠2﹣∠1＝2∠DAE．
【详解】
解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠A＝∠DA′A，
∵∠1＝∠A+∠DA′A，
∴∠1＝2∠A；
故答案为：∠1＝2∠A；
（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∵∠ADB+∠AEC＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，
∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；
故答案为：∠1+∠2＝2∠A；
（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠DAE，理由是：
∵∠2＝∠AFE+∠DAE，∠AFE＝∠A′+∠1，
∴∠2＝∠A′+∠DAE+∠1，
∵∠DAE＝∠A′，
∴∠2＝2∠DAE+∠1，
∴∠2﹣∠1＝2∠DAE．
【点睛】
本题是一题多变的题型，基本思路是相同的，解决问题的关键是会运用三角形的内角和定理及三角形外角的性质进行推论证明．
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