11.3多边形及其内角和 提高--人教版八年级数学上册同步（提高+培优）练习

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11.3多边形及其内角和 提高
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．正多边形的每个内角都是135°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】
由一个正多边形的每个内角都为135°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数．
【详解】
解：∵一个正多边形的每个内角都为135°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°-135°=45°，
∴这个多边形的边数为：360°÷45°=8．
故选：C．
【点睛】
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的内角和与外角和定理是关键．
2．下列说法正确的是（ ）
A．五边形的内角和是720°
B．有两边相等的两个直角三角形全等
C．若关于的方程有增根，则
D．若关于的不等式恰有2个正整数解，则的最大值是4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据多边形内角和定理，全等三角形的判定，分式方程的解，不等式的正整数解
分别进行判断即可解答.
【详解】
五边形的内角和，所以，A错误；
B选项所述相等的两边中，可能出现一个直角三角形的直角边和另一个三角形
的斜边相等的情形，这种情况下两三角形不全等，所以，B错误；
选项C中的方程的增根只能是，且应是整式方程的根，由此可得，.故C错误；
故选D.
【点睛】
此题考查多边形内角和定理，全等三角形的判定，分式方程的解，不等式的正整数解，解题关键在于掌握各性质定理.
3．已知一个多边形的内角和与外角和的比是9：2，则这个多边形的边数是　　
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】
根据多边形的内角和公式，多边形的外角和，可得方程，解方程，即可得答案．
【详解】
设这个多边形的边数是n，由题意得
（n-2）×180°：360°=9：2．
解得n=11，
故选C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，利用了多边形的内角和公式：（n-2）180°，外角和是360．
4．若一个多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
由任何一个多边形的外角和为360°可得多边形的内角和，根据多边形内角和定理即可得答案.
【详解】
∵多边形的外角和是其内角和的，
∴多边形的内角和是：2×360=720°．
设多边形的边数是n，则
（n-2）•180=720，
解得：n=6．
即这个多边形的边数是6．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．熟记多边形的外角和为360°及多边形内角和定理是解题关键.
5．下列说法中不正确的是（ ）
A．内角和是1080°的多边形是八边形
B．六边形的对角线一共有8条
C．三角形任一边的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形
D．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°
【答案】B
【分析】
根据各选项逐个判断说法是否正确即可.
【详解】
A 根据正多边形的内角和计算公式可得：，因此A说法正确;
B选项说法不正确，六边形的对角线有18条；
C正确，因为每个边上的高是相等的，只要边上的中线则分成的两个三角形的面积相等;
D正确，根据多边形的内角和的计算公式可得每增加一条边，正多边形的内角增加180°.
故选B.
【点睛】
本题主要考查正多边形的性质，这些选项都是基本性质，必须掌握.
6．如图，等于（ ）.

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接BD分成两个三角形，利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】
连接BD．
在△ABD中，∠1+∠ABD+∠ADB=180°．
在△BCD中，∠4+∠DBC+∠BDC=180°，∴∠1+∠ABD+∠ADB+∠4+∠BDC+∠BDC=360°．
又∵∠2=∠ABD+∠DBC，∠3=∠ADB+∠BDC，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°．
故选B．

【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，正确把已知的图形分成两个三角形是解答本题的关键．
7．一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到关于边数的方程，从而求出边数,再求从一点引对角线的条数.
【详解】
设这个正多边形的边数是n，则
（n-2）•180°=900°，
解得：n=7．
则这个正多边形是正七边形．
所以，从一点引对角线的条数是：7-3=4.
故选B
【点睛】
本题考核知识点：多边形的内角和.解题关键点：熟记多边形内角和公式.
8．将一个四边形的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（ ）．
A．180° B．180°或360°
C．360°或540° D．180°或360°或540°
【答案】D
【分析】
根据四边形 ABCD 的纸片剪去一个三角形，剩下图形可能为：三角形，四边形，五边形解题即可．
【详解】
解：四边形 ABCD 的纸片剪去一个三角形，剩下图形可能为：三角形，四边形，五边形，
∴剩下的图形内角和为：180°或360°或540°，
故答案选：D．
【点睛】
此题考查了多边形内角和，正确理解四边形去掉一个三角形后得到的图形形状是解题关键．


二、填空题
9．命题“若一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角互补”是_____（填“真”或“假”）命题．
【答案】假．
【分析】
根据题意画出图形，根据三角形内角和定理、四边形内角和定理解答．
【详解】

解：如图1，∠O和∠C的两边互相垂直，∠O和∠C互补，
如图2，∠1和∠2的两边互相垂直，∠1=∠2，
∴若一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补，
∴若一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角互补是假命题，
故答案为假．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．若一个多边形的每个内角与它的外角的度数之比都是，则这个多边形的边数是___.
【答案】12.
【分析】
设每个内角与它相邻的外角的度数分别为5x、x，根据邻补角的定义得到x+5x=180°，解出x=30°，然后根据多边形的外角和为360°即可计算出多边形的边数．
【详解】
设每个内角与它相邻的外角的度数分别为5x、x，
∴x+5x=180°，
∴x=30°，
这个多边形的边数==12．
故答案为12．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟练运用多边形的外角和为360°是解决问题的关键．
11．从一个十二边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各点，可以把这个多边形分割成_____个三角形．
【答案】10
【解析】
【分析】
从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成(n-2)个三角形，依此作答．
【详解】
从一个十二边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个十二边形分割成12-2=10个三角形．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查的是多边形的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.
12．如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则________．

【答案】105°
【分析】
根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD＋∠CDE的度数，从而求出∠PCD＋∠PDC的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD的度数．
【详解】
解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°，
∴∠BCD＋∠CDE＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°，
∴∠PCD＋∠PDC＝（180°×2−210°）＝75°，
在△CPD中，∠CPD＝180°−（∠PCD＋∠PDC）＝180°−75°＝105°，
故答案为：105°．
【点睛】
本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD＋∠CDE的度数是解题的关键．
13．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．

【答案】1080°
【分析】
连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．
【详解】
解：连KF，GI，如图，

∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．
故答案为：1080°．
【点睛】
本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
14．如图，一把三角尺的两条直角边分别经过正八边形的两个顶点，则∠1＋∠2＝_____°．

【答案】180
【分析】
先求正八边形的每个内角，再结合三角形形内角和定理可得．
【详解】
由已知可得
∠1＋∠2＝（8-2）×180°÷8×2-（180°-90°）=180°
故答案为：180
【点睛】
考核知识点：正多边形内角和．熟记正多边形内角和公式是关键．
15．已知在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3，则∠C＝__________________．
【答案】90°
【解析】
【分析】
因为四边形的内角和等于360度，∠A+∠C=180°，∠B：∠C：∠D=1：2：3，所以∠B+∠D=180°，所以∠B=180×=45度，进而可求出∠C，从而求出答案．
【详解】
∵∠A+∠C=180°，∠B：∠C：∠D=1：2：3，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠B=180×=45°，
∴∠C=2×45°=90°，
∠A=180°-90°=90°，
故答案为：90°.
【点睛】
本题考查了四边形的内角和，熟练掌握四边形内角和为360°是解题的关键.
16．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．一块地板由三种正多边形的小木板镶嵌而成，这三种正多边形的边数分别为x，y，z，则代数式的值为____________．
【答案】,或
【解析】
【分析】
利用任意图形一个顶点处的各内角之和为360°得出答案即可.
【详解】
可能情况如下：
正三角形、正四边形，正十二边形，=；  
正三角形，正十边形，正十五边形，=；
正四边形，正六边形，正十二边形，=；  
正四边形，正五边形，正二十边形，=；
正三角形，正八边形，正二十四边形，=；
正三角形，正七边形，正四十二边形，=；
正三角形、正四边形，正六边形，=.
故答案为：,或
【点睛】
此题主要考查了平面镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度．

三、解答题
17．如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B1是A1对边A3A4的中点，连接A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行.

【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：此题要能够根据面积相等得到两条直线间的距离相等，从而证明两条直线平行；可以再作五边形的一条中对线，根据它们分割成的两部分的面积相等，都是五边形的面积的一半，导出两个等底的三角形的面积相等，从而得到它们的高相等，则得到五边形的每条边都有一条对角线和它平行.
试题解析：取A1A5中点B3，连接A3B3、A1A3、A1A4、A3A5，

∵A3B1=B1A4，
∴=，
又∵四边形A1A2A3B1与四边形A1B1A4A5的面积相等，
∴=，
同理=，
∴=，
∴△A3A4A5与△A1A4A5边A4A5上的高相等，
∴A1A3∥A4A5，
同理可证A1A2∥A3A5，A2A3∥A1A4，A3A4∥A2A5，A5A1∥A2A4．
点睛：此题主要考查多边形的有关知识，要能够根据面积相等得到两条直线间的距离相等，从而证明两条直线平行.
18．如图，中，,求的度数？

【答案】66°
【分析】
首先根据三角形外角的性质求出∠C，然后根据三角形内角和定理求出∠A，最后根据四边形内角和定理即可求出答案．
【详解】
解：∵∠AFD＝∠C＋∠FDC，∠FDC＝90°，∠AFD＝156°，
∴∠C＝66°，
∴∠B＝∠C＝66°，
∴∠A＝180°―66°―66°＝48°，
∴∠EDF＝360°―∠A―∠AED―∠AFD＝360°―48°―90°―156°＝ 66°．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．．
19．四边形ABCD中，∠A+∠B＝210°，∠C＝4∠D，求∠C和∠D的度数．
【答案】∠C＝120°，∠D＝30°．
【分析】
设∠D＝x°，则∠C＝4x°，根据四边形的内角和定理可得关于x的方程，求得x的值，从而求解．
【详解】
解：设∠D＝x°，则∠C＝4x°，根据四边形的内角和定理可得：，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
即210+x+4x＝360，
解得：x＝30，
则∠C＝4×30＝120°．
故∠C＝120°，∠D＝30°．
【点睛】
本题考查了四边形的内角和定理，熟知四边形的内角和等于360°是关键．
20．如图，已知四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°．
(1)填空：∠DAB＋∠BCD＝ °；
(2)若AE平分∠DAB，CF平分∠BCD，求证：AE∥CF．

【答案】（1）180；（2）见详解．
【分析】
（1）根据四边形的内角和等于360°解答即可；
（2）由角平分线的定义得∠DAE+∠DCF =(∠DAB+∠DCB)，从而得∠DAE+∠DCF=90°，由直角三角形的性质得∠DFC+∠DCF=90°，进而得∠DAE=∠DFC，即可得到结论．
【详解】
（1）∵四边形ABCD中，∠D=∠B=90°，
∴∠DAB+∠BCD=360°−90°−90°=180°，
故答案为：180；
（2）∵AE平分∠DAB，CF平分∠BCD，
∴∠DAE=∠DAB，∠DCF=∠DCB，
∴∠DAE+∠DCF=∠DAB+∠DCB=(∠DAB+∠DCB)，
∵∠DAB+∠DCB=180°，
∴∠DAE+∠DCF=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DFC+∠DCF=90°，
∴∠DAE=∠DFC，
∴AE∥CF．
【点睛】
本题主要考查四边形内角和等于360°，角平分线的定义以及平行线的判定定理，掌握同位角相等，两直线平行，是解题的关键．
21．一个正多边形的内角和比四边形的内角和多，则这个正多边形的每个内角是多少度？
【答案】
【分析】
可以设这个正多边形为n边形，根据正n边形内角和公式即可求出n的值，进而求得每个内角的度数．
【详解】
解：设这个正多边形为n边形，
根据题意，得
．
解得．
，
这个正八边形每个内角的度数为．
【点睛】
本题考查了多边形内角和公式，解决本题的关键是掌握多边形内角和定理．
22．如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，求证：∠E=∠A．

【答案】证明见解析.
【分析】
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠4=∠E+∠2；由角平分线的性质，得∠3=（∠A+∠ABC），∠2=∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系.
【详解】
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠3=（∠A+∠ABC），
又∵∠4=∠E+∠2，
∴∠E+∠2=（∠A+∠ABC），
∵BE平分∠ABC，
∴∠2=∠ABC，
∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），
∴∠E=∠A．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.
23．在△ABC中，∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D．
（1）如图1，若∠B＝60°，求∠D的度数；
（2）如图2，把△ACD沿AC翻折，点D落在D′处．
①当AD′⊥AD时，求∠BAC的度数；
②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）30°；（2）①90°；②∠BAC+∠DAD′＝180°，理由见解析
【分析】
（1）根据角平分线的性质计算即可；
（2）①当AD′⊥AD时，即；∠DAD′＝90°，根据互补的性质计算即可；②设∠DAD′＝α，则∠DAC＝180°﹣α，即可得到结果；
【详解】
解：（1）如图1，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，
∵AF是外角∠EAC的平分线，
∴∠CAF＝∠FAE＝∠CAE，
又∵∠CAF＝∠D+∠ACD，
∠CAE＝∠B+∠ACB，
∴∠D＝∠B＝30°；
（2）如图2，又折叠得：∠DAC＝∠D′AC，
①当AD′⊥AD时，即；∠DAD′＝90°，
∴∠DAC＝∠D′AC＝135°，
∴∠CAF＝180°﹣135°＝45°＝∠FAE，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
答：当AD′⊥AD时，∠BAC＝90°．
②设∠DAD′＝α，则∠DAC＝∠D′AC＝（360°﹣α）＝180°﹣α，
∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝180°﹣（180°﹣α）＝α，
∴∠CAE＝2∠CAF＝α，
∴∠BAC＝180°﹣α，
即：∠BAC+∠DAD′＝180°，
答：∠DAD′与∠BAC的数量关系是：∠BAC+∠DAD′＝180°．

【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理的知识点，利用角平分线的知识点是解题的关键．
24．阅读下列材料，然后解答后面的问题．
（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．

（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形．
求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D．
（3）性质应用：
如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E，若∠ADC=140°，∠AEC=102°，则∠B=_____°．
【答案】（2）见详解；（3）64
【分析】
（2）延长BC交AD于点M，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
（3）利用（2）中结论如图3中，设∠B=x，∠ECB=∠ECD=α，∠EAD=∠EAB=β，列出方程组即可解决问题．
【详解】
（2）延长BC交AD于点M

∵∠BCD是△CDM的外角，
∴∠BCD=∠CMD+∠D，
同理∠CMD是△ABM的外角，
∴∠CMD=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠D；
（3）如图3中，设∠B=x，∠ECB=∠ECD=α，∠EAD=∠EAB=β．

由（2）可知， ，
解得x=64°
故答案为64．
【点睛】
考查了三角形的外角性质的应用，能综合运用性质进行推理和画图是解此题的关键，综合性比较强．
25．如图，分别是四边形（四条边不相等）的内角平分线，交于点交于点．

（1）猜想与有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）与有没有可能相等？若能相等，四边形的边有何特殊要求？若不能相等，请说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2）与能相等，当时，．
【分析】
（1）根据角平分线的性质得到，，即可求出，，再根据四边形的内角和求出答案；
（2）当时，，推出，即可得到.
【详解】
解：（1），
理由：∵平分，平分，
∴，，
∴，
同理，，
∴.
（2）与能相等，当时，，
理由：当时，，
由（1）得，，
∵，
∴，
即.
【点睛】
此题考查角平分线的性质，四边形的内角和定理，两直线平行同旁内角互补的性质，正确观察图形，理解数形结合的思想是解题的关键.
26．（1）从四边形的一个顶点出发可以画 条对角线，把四边形分成了 个三角形；四边形共有 条对角线．
（2）从五边形的一个顶点出发可以画 条对角线，把五边形分成了 个三角形；五边形共有 条对角线．
（3）从六边形的一个顶点出发可以画 条对角线，把六边形分成了 个三角形；六边形共有 条对角线．
（4）猜想：①从100边形的一个顶点出发可以画 条对角线，把100边形分成了
个三角形；100边形共有 条对角线．
②从n边形的一个顶点出发可以画 条对角线，把n分成了 个三角形；n边形共有 条对角线．
【答案】（1）1，2，2（2）2，3，5（3）3，4，9（4）①97，98，4750②n-3，n-2，
【详解】
（1）从四边形的一个顶点出发可以画__1___条对角线，把四边形分成了 2 个三角形；四边形共有__2__条对角线．
（2）从五边形的一个顶点出发可以画__2___条对角线，把五边形分成了 3 个三角形；五边形共有__5__条对角线．
（3）从六边形的一个顶点出发可以画__3___条对角线，把六边形分成了 4 个三角形；六边形共有__9__条对角线．
（4）猜想：①从100边形的一个顶点出发可以画__97___条对角线，把100边形分成了 98 个三角形；100边形共有_4750__条对角线．②从n边形的一个顶点出发可以画__n-3___条对角线，把n分成了 n-2 个三角形；n边形共有_____条对角线．