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初中数学人教版八年级上册14.1.1 同底数幂的乘法习题
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这是一份初中数学人教版八年级上册14.1.1 同底数幂的乘法习题，文件包含1411同底数幂乘法提高卷解析版docx、1411同底数幂乘法提高卷原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
14.1.1 整式的乘法 提高卷
一、单选题
1．W细菌为二分裂增殖（1个细菌分裂成2个细菌），30分钟分裂一次，培养皿上约有个细菌，其中W细菌占其中的，在加入T试剂后，如果该培养皿中的W细菌的数量达到后会使T变色，那么需要（ ）小时T恰好变色．
A． B．4 C．8 D．10
【答案】B
【分析】
由题意，先求出W细菌的数量，然后列式进行计算，得到分裂的次数，即可求出时间．
【详解】
解：由题意，
W细菌的数量为：（个），
∵该培养皿中的W细菌的数量达到后会使T变色，
∴设分裂n次达到变色的数量，则
，
∴；
∵每30分钟分裂一次，
∴（小时）；
故选：B．
【点睛】
本题考查了同底数幂乘法的应用，以及细胞分裂问题，解题的关键是正确的理解题意．
2．下列计算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据整式乘除的运算法则分别计算出各选项的结果，即可得解．
【详解】
A选项，正确，故不符合题意；
B选项，正确，故不符合题意；
C选项，正确，故不符合题意；
D选项，不正确，故符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了整式的乘除运算，属于基础题，需要有一定的运算求解能力，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（x3）3＝x6 C．x5+x5＝x10 D．（xy3）2＝x2y6
【答案】D
【分析】
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，合并同类项法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【详解】
解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（x3）3＝x9，故本选项不合题意；
C、x5+x5＝2x5，故本选项不合题意；
D、（xy3）2＝x2y6，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
4．若，则的值是（ ）
A． B．16 C．20 D．24
【答案】C
【分析】
根据乘方、幂的乘方的性质，通过列一元一次方程并求解，再根据代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了乘方、幂的乘方、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成求解．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据运算法则逐一计算判断即可
【详解】
∵，
∴A式计算错误，不符合题意；
∵，
∴B式计算错误，不符合题意；
∵，
∴C式计算错误，不符合题意；
∵，
∴D式计算正确，符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了整式的加减，积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握运算的法则和化简的方法是解题的关键．
6．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据幂的运算性质判断即可；
【详解】
．，故本选项符合题意；
．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了幂的运算性质，准确分析判断是解题的关键．
7．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是0或8时，输出的值相等，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出x＝8时y的值，再将x＝0、y＝﹣2代入y＝2x+b可得答案．
【详解】
解：∵当x＝8时，y＝6﹣8＝﹣2，
∴当x＝0时，y＝﹣2，代入y＝2x+b得， 2×0+b＝﹣2，
解得：b＝﹣2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求解析式，解题的关键是求出对应的函数值．
8．不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】
分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即可得到结论．
【详解】
解：A. =，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
二、填空题
9．观察下列等式：，，，，，，．解答下列问题：的末位数字是______．
【答案】2
【分析】
通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环，从而可以求得到的末位数字是多少．
【详解】
∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，
可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环，
∵2017÷4=504余1，
∴的末位数字与相同，即为3，
∵，2024÷4=506，
∴的末位数字与相同，即为1，
∴的末位数字=3-1=2，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查尾数的特征，解题的关键是通过观察题目中的数据，发现其中的规律．
10．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简， ______．
【答案】
【分析】
先具体计算出S1，S2，S3，S4的值，得出面积规律，表示S2021，再设①，两边都乘以，得到②，利用①−②，求解S，从而可得答案．
【详解】
解：∵
设①
②
①-②得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1___S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
（2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2021的整数n有且只有4个，则m的值为___．
【答案】 1009
【分析】
（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可；
（2）先计算出|S1﹣S2|，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值．
【详解】
解：（1）∵S甲＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7，
S乙＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8，
∴S甲﹣S乙＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）＝2m﹣1，
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
∴S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2，
故答案为：＞；
（2）由（1）得|S1﹣S2|＝|2m﹣1|＝2m﹣1，
∵2m﹣1＜n≤2021的整数n有且只有4个，
∴这四个整数解为2021，2020，2019，2018，
∴2017≤2m﹣1＜2018，
解得：1009≤m＜1009.5，
∵m为正整数，
∴m＝1009，
故答案为：1009．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式法则以及一元一次不等式的应用，能够作差比较大小是解题的关键．
12．已知：m+2n﹣3＝0，则2m•4n的值为_____．
【答案】8
【分析】
把转化成的形式，根据同底数幂乘法法则可得，把代入求值即可.
【详解】
解：由得
∴
∴故答案为：8．
【点睛】
本题考查了幂的乘方和同底数幂乘法，掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解题关键．
13．若能被整除，则________；________．
【答案】6 25
【分析】
将写成，再根据多项式的乘法法则展开，两边的系数进行比较即可得．
【详解】
解：由题意得：，其中为常数，
，
，
，
即，
则，且，
解得，，
故答案为：6，25．
【点睛】
本题考查了整式的乘除法、二元一次方程组，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
14．已知，．若，则的值为______．
【答案】
【分析】
根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可求出，再根据算术平方根的定义即可求出x 的值．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴，即：，
∵＞0，
∴=．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
15．观察各式：(x-1)(x＋1)＝x2-1，(x-1)(x2＋x＋1)＝x3-1，(x-1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4-1，…，根据规律可计算出(349＋348＋…＋32＋3＋1)＝_______．
【答案】（或或或）
【分析】
观察式子可得出规律（x−1）（xn−1+xn−2+xn−3…+x+1）=xn−1，然后根据规律直接写出即可
【详解】
解：∵ (x－1)(x＋1)＝x2－1；
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1.
…
∴（x−1）（xn−1+xn−2+xn−3…+x+1）=xn−1
∴(x－1)(x49＋x48＋…＋x＋1)=x50−1
当 x=3时(349＋348＋…＋32＋3＋1)＝（350-1）÷（3-1）=
故答案为（或或或）
【点睛】
本题考查探索规律，利用规律求值，观察式子找出规律是解题的关键，是中考的易考点.
16．如图，在长方形纸片内部裁剪出一个长方形，尺寸如图所示，用含有、、的代数式表示图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【分析】
先用，，的代数式表示出空白部分的长和宽，再求出空白部分的面积，最后用大长方形的面积减去空白部分的面积即可得阴影部分的面积；
【详解】
解：由图知：空白部分的长和宽分别为：，
空白部分的面积是：
阴影部分的面积是：．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了列代数式，解题的关键是找到数量间的关系．
三、解答题
17．我们规定一种新定义：若A﹣B＝6，则称A与B是关于6的“美妙数”．由2x＋1﹣（2x﹣5）＝2x＋1﹣2x＋5＝6，可知2x＋1与2x﹣5是关于6的“美妙数”．
（1）5与 是关于6的“美妙数”， 与x﹣10是关于6的“美妙数”，（x﹣1）（x＋2）与 是关于6的“美妙数”．
（2）若M＝x（2x﹣3）﹣1与N＝（x＋3）（2x﹣1）是关于6的“美妙数”，求x的值．
【答案】（1）﹣1，x﹣4，x2+x﹣8；（2）x＝﹣．
【分析】
（1）根据已知条件得出即可；
（2）根据已知条件得出M﹣N＝6，再求出方程的解即可．
【详解】
解：（1）∵5﹣6＝﹣1，
6＋（x﹣10）＝6＋x﹣10＝x﹣4，
（x﹣1）（x+2）﹣6＝x2+2x﹣x﹣2﹣6＝x2+x﹣8，
∴5与﹣1是关于6的“美妙数”，x﹣4与x﹣10是关于6的“美妙数”，（x﹣1）（x+2）与x2+x﹣8是关于6的“美妙数”，
故答案为：﹣1，x﹣4，x2+x﹣8；
（2）∵M＝x（2x﹣3）﹣1与N＝（x+3）（2x﹣1）是关于6的“美妙数”，
∴M﹣N＝6，
∴x（2x﹣3）﹣1﹣（x+3）（2x﹣1）＝6
∴2x2﹣3x﹣1﹣2x2+x﹣6x+3＝6
∴﹣8x+2＝6，
解得：x＝﹣．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，能灵活运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键，也考查了解一元一次方程的应用．
18．先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中，．
【答案】（1），；（2），．
【分析】
（1）先计算多项式乘多项式，再去括号合并同类项，然后将代入即可；
（2）先计算平方差、单项式乘多项式，再去括号合并同类项，然后将，代入即可；
【详解】
解：（1）（3a+1）（2a-3）-（4a-5）（a-4）
=6a2-9a+2a-3-（4a2-16a-5a+20）
=6a2-9a+2a-3-4a2+16a+5a-20
=2a2+14a-23；
当时，
原式=
（2），
当，时，
原式=
【点睛】
此题主要考查了整式的化简求值和整式的混合运算，正确运算法则和平方差公式是解题关键．
19．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能．
例如：规定：
那么，，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1；
，它有三项，系数分别1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
根据以上规律，展开式共有________项，系数分别为________……
根据以上规律，写出的展开式：=________
【答案】五；1，4，6，4，1；
【分析】
由图可知，从第三行开始，除去首项和最后一项，其余项应该等于上一行与其列数相同的数+上一行前一列的数．那么第五行的五个数就应该是1，4，6，4，1．即可得到答案．
【详解】
解：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1；
（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
所以（a+b）4的展开式有五项，系数分别为：1，4，6，4，1．
故答案为：五；1，4，6，4，1．
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查完全平方公式的推广，读懂题目信息，准确找出规律是解题的关键，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
20．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．
（1）请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积．
（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？
（3）若铁盒的全面积是底面积的倍，求此时的值（用含的代数式表示）．是否存在一个整数，使得铁盒的全面积是底面积的整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）12a2＋420a＋3600；（2）600a＋21000；（3）35或7或5或1
【分析】
（1）根据图形表示出原长方形铁皮的长和宽，进而表示出原长方形铁皮的面积即可；
（2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；
（3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可．
【详解】
解：（1）原铁皮的面积是（4a＋60）（3a＋60）＝12a2＋420a＋3600，
（2）油漆这个铁盒的表面积是：12a2＋2×30×4a＋2×30×3a＝12a2＋420a，
则油漆这个铁盒需要的钱数是：（12a2＋420a）÷＝（12a2＋420a）×＝600a＋21000（元），
答：涂完这个铁盒需要(600a＋21000)元；
（3）铁盒的全面积是4a×3a＋4a×30×2＋3a×30×2＝12a2＋420a，
底面积是4a×3a＝12a2，
假设存在正整数，使12a2＋420a＝n·12a2
整理得（n－1）a＝35，
则a＝35，n＝2或a＝7，n＝6或a＝5，n＝8或a＝1，n＝36
所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a＝35或7或5或1．
【点睛】
此题考查整式的混合运算，正确掌握无盖铁盒的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键．
21．化简求值
，其中，．
【答案】，-12
【分析】
原式中含有括号，则化简时先去括号，然后合并同类项得到最简式，将x，y的值代入最简式即可得到原式的值．
【详解】
解：
当，时
原式
【点睛】
本题考查了去括号法则，合并同类项的法则，去括号时要注意符号的变化，也是容易出错的地方．
22．计算下列各题
（1）﹣14+（﹣2）3+（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2；
（2）（﹣x2）3•（﹣x3）2÷x4+（2x4）3•x﹣4﹣x3÷x﹣5；
（3）2（a﹣1）2﹣（2a﹣3）（2a+3）；
（4）先化简再求值（x﹣2y）2﹣（x﹣2y）（x+y）﹣2x（2x﹣y）其中x＝﹣1，y＝﹣1．
【答案】（1）1；（2）6x8；（3）﹣2a2﹣4a+11；（4）6y2﹣xy﹣4x2，1
【分析】
（1）先化简有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后再计算；
（2）先利用幂的乘方，积的乘方运算法则计算乘方，然后利用同底数幂的乘方和同底数幂的除法运算法则计算乘除，最后算加减；
（3）先利用乘法公式计算乘方，乘法，然后再算加减；
（4）先利用乘法公式，单项式乘多项式的运算法则计算乘方，乘法，然后再算加减，最后代入求值．
【详解】
解：（1）原式＝﹣1﹣8+1+9
＝1；
（2）原式＝﹣x6•x6÷x4+8x12•x﹣4﹣x3÷x﹣5
＝﹣x6+6﹣4+8x12﹣4﹣x3﹣（﹣5）
＝﹣x8+8x8﹣x8
＝6x8；
（3）原式＝2（a2﹣2a+1）﹣[（2a）2﹣32]
＝2a2﹣4a+2﹣4a2+9
＝﹣2a2﹣4a+11；
（4）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣（x2+xy﹣2xy﹣2y2）﹣4x2+2xy
＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣xy+2xy+2y2﹣4x2+2xy
＝6y2﹣xy﹣4x2；
当x＝﹣1，y＝﹣1时，
原式＝6×（﹣1）2﹣（﹣1）×（﹣1）﹣4×（﹣1）2
＝6﹣1﹣4
＝1．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，负整数指数幂，零指数幂，掌握积的乘法运算法则、幂的乘法运算法则以及完全平方公式和平方差公式的结构是解题的关键．
23．有理数x，y满足条件，求（﹣2x2y）3+8（x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3的值．
【答案】-2
【分析】
先根据，求出 x＝，y＝2，化简代数式（﹣2x2y）3+8（x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3=﹣16x6y3，赋值把x＝，y＝2代入上式得计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴x＝，y＝2，
∴（﹣2x2y）3+8（x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3
＝﹣8x6y3﹣8x4•x2•y3
＝﹣8x6y3﹣8x6y3
＝﹣16x6y3，
把x＝，y＝2代入上式得：
原式＝﹣16×（）6×23＝﹣2．
即（﹣2x2y）3+8（x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3的值是﹣2．
【点睛】
本题考查非负数的性质求值，代数式化简求值，赋值计算是解题关键．
24．如果，那么我们规定．例如：因为，所以
（1）根据上述规定填空：__________，__________，__________；
（2）记，，．判断a，b，c之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）3，0，−2；a＋b＝c．理由见详解
【分析】
（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；
（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】
解：（1）∵33＝27，
∴（3，27）＝3，
∵40＝1，
∴（4，1）＝0，
∵2−2＝0.25，
∴（2，0.25）＝−2．
故答案为：3，0，−2；
（2）a＋b＝c．理由：
∵（2，5）＝a，（2，6）＝b，（2，30）＝c，
∴2a＝5，2b＝6，2c＝30，
∴2a×2b＝5×6＝30，
∴2a×2b＝2c，
∴a＋b＝c．
【点睛】
题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法则及其逆运用是解题关键．
25．先化简，再求值
（1） ，其中
（2），实数x满足
【答案】（1）4x2－3，－2；（2），0
【分析】
（1）利用完全平方公式、平方差公式和多项式除单项式的法则进行计算化简，再代数求值；
（2）利用完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式的法则进行化简，再代数求值.
【详解】
解：（1）原式
＝，
当时，原式 ；
（2）原式
∵
∴原式.
【点睛】
本题考查代数式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式、多项式除单项式的法则，属于基础题型.
26．观察下面各式的规律：
12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2；
…
（1）写出第2021个式子；
（2）写出第n个式子，并验证你的结论．
【答案】（1）第2021个式子为20212+（2021×2022）2+20222＝（2021×2022+1）2；（2）第n行式子为n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2．验证见解析．
【分析】
（1）根据已知的几个式子得出各数之间的关系，从而得出第2021个式子；
（2）根据给出的几个式子得出一般性的规律，然后利用多项式的乘法计算法则分别求出等式左边和右边的值，从而验证规律的正确性．
【详解】
（1）根据题意得：
当n=1时，12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
当n=2时，22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；
当n=3时，32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；
……
第2021个式子为20212+（2021×2022）2+20222＝（2021×2022+1）2；
（2）以此类推，第n行式子为n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2．
理由：左边＝n2+（n2+n）2+（n+1）2
＝n4+2n3+3 n2+2n+1，
右边＝（n2+n+1）2
＝n4+2n3+3 n2+2n+1，
∴n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2．
【点睛】
本题考查了根据式子找规律，多项式的乘法计算，找到第个式子的规律是解题的关键．
14.1.1 整式的乘法 提高卷
一、单选题
1．W细菌为二分裂增殖（1个细菌分裂成2个细菌），30分钟分裂一次，培养皿上约有个细菌，其中W细菌占其中的，在加入T试剂后，如果该培养皿中的W细菌的数量达到后会使T变色，那么需要（ ）小时T恰好变色．
A． B．4 C．8 D．10
【答案】B
【分析】
由题意，先求出W细菌的数量，然后列式进行计算，得到分裂的次数，即可求出时间．
【详解】
解：由题意，
W细菌的数量为：（个），
∵该培养皿中的W细菌的数量达到后会使T变色，
∴设分裂n次达到变色的数量，则
，
∴；
∵每30分钟分裂一次，
∴（小时）；
故选：B．
【点睛】
本题考查了同底数幂乘法的应用，以及细胞分裂问题，解题的关键是正确的理解题意．
2．下列计算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据整式乘除的运算法则分别计算出各选项的结果，即可得解．
【详解】
A选项，正确，故不符合题意；
B选项，正确，故不符合题意；
C选项，正确，故不符合题意；
D选项，不正确，故符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了整式的乘除运算，属于基础题，需要有一定的运算求解能力，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（x3）3＝x6 C．x5+x5＝x10 D．（xy3）2＝x2y6
【答案】D
【分析】
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，合并同类项法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【详解】
解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（x3）3＝x9，故本选项不合题意；
C、x5+x5＝2x5，故本选项不合题意；
D、（xy3）2＝x2y6，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
4．若，则的值是（ ）
A． B．16 C．20 D．24
【答案】C
【分析】
根据乘方、幂的乘方的性质，通过列一元一次方程并求解，再根据代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了乘方、幂的乘方、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成求解．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据运算法则逐一计算判断即可
【详解】
∵，
∴A式计算错误，不符合题意；
∵，
∴B式计算错误，不符合题意；
∵，
∴C式计算错误，不符合题意；
∵，
∴D式计算正确，符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了整式的加减，积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握运算的法则和化简的方法是解题的关键．
6．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据幂的运算性质判断即可；
【详解】
．，故本选项符合题意；
．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了幂的运算性质，准确分析判断是解题的关键．
7．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是0或8时，输出的值相等，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出x＝8时y的值，再将x＝0、y＝﹣2代入y＝2x+b可得答案．
【详解】
解：∵当x＝8时，y＝6﹣8＝﹣2，
∴当x＝0时，y＝﹣2，代入y＝2x+b得， 2×0+b＝﹣2，
解得：b＝﹣2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求解析式，解题的关键是求出对应的函数值．
8．不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】
分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即可得到结论．
【详解】
解：A. =，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
二、填空题
9．观察下列等式：，，，，，，．解答下列问题：的末位数字是______．
【答案】2
【分析】
通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环，从而可以求得到的末位数字是多少．
【详解】
∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，
可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环，
∵2017÷4=504余1，
∴的末位数字与相同，即为3，
∵，2024÷4=506，
∴的末位数字与相同，即为1，
∴的末位数字=3-1=2，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查尾数的特征，解题的关键是通过观察题目中的数据，发现其中的规律．
10．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简， ______．
【答案】
【分析】
先具体计算出S1，S2，S3，S4的值，得出面积规律，表示S2021，再设①，两边都乘以，得到②，利用①−②，求解S，从而可得答案．
【详解】
解：∵
设①
②
①-②得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1___S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
（2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2021的整数n有且只有4个，则m的值为___．
【答案】 1009
【分析】
（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可；
（2）先计算出|S1﹣S2|，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值．
【详解】
解：（1）∵S甲＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7，
S乙＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8，
∴S甲﹣S乙＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）＝2m﹣1，
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
∴S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2，
故答案为：＞；
（2）由（1）得|S1﹣S2|＝|2m﹣1|＝2m﹣1，
∵2m﹣1＜n≤2021的整数n有且只有4个，
∴这四个整数解为2021，2020，2019，2018，
∴2017≤2m﹣1＜2018，
解得：1009≤m＜1009.5，
∵m为正整数，
∴m＝1009，
故答案为：1009．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式法则以及一元一次不等式的应用，能够作差比较大小是解题的关键．
12．已知：m+2n﹣3＝0，则2m•4n的值为_____．
【答案】8
【分析】
把转化成的形式，根据同底数幂乘法法则可得，把代入求值即可.
【详解】
解：由得
∴
∴故答案为：8．
【点睛】
本题考查了幂的乘方和同底数幂乘法，掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解题关键．
13．若能被整除，则________；________．
【答案】6 25
【分析】
将写成，再根据多项式的乘法法则展开，两边的系数进行比较即可得．
【详解】
解：由题意得：，其中为常数，
，
，
，
即，
则，且，
解得，，
故答案为：6，25．
【点睛】
本题考查了整式的乘除法、二元一次方程组，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
14．已知，．若，则的值为______．
【答案】
【分析】
根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可求出，再根据算术平方根的定义即可求出x 的值．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴，即：，
∵＞0，
∴=．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
15．观察各式：(x-1)(x＋1)＝x2-1，(x-1)(x2＋x＋1)＝x3-1，(x-1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4-1，…，根据规律可计算出(349＋348＋…＋32＋3＋1)＝_______．
【答案】（或或或）
【分析】
观察式子可得出规律（x−1）（xn−1+xn−2+xn−3…+x+1）=xn−1，然后根据规律直接写出即可
【详解】
解：∵ (x－1)(x＋1)＝x2－1；
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1.
…
∴（x−1）（xn−1+xn−2+xn−3…+x+1）=xn−1
∴(x－1)(x49＋x48＋…＋x＋1)=x50−1
当 x=3时(349＋348＋…＋32＋3＋1)＝（350-1）÷（3-1）=
故答案为（或或或）
【点睛】
本题考查探索规律，利用规律求值，观察式子找出规律是解题的关键，是中考的易考点.
16．如图，在长方形纸片内部裁剪出一个长方形，尺寸如图所示，用含有、、的代数式表示图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【分析】
先用，，的代数式表示出空白部分的长和宽，再求出空白部分的面积，最后用大长方形的面积减去空白部分的面积即可得阴影部分的面积；
【详解】
解：由图知：空白部分的长和宽分别为：，
空白部分的面积是：
阴影部分的面积是：．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了列代数式，解题的关键是找到数量间的关系．
三、解答题
17．我们规定一种新定义：若A﹣B＝6，则称A与B是关于6的“美妙数”．由2x＋1﹣（2x﹣5）＝2x＋1﹣2x＋5＝6，可知2x＋1与2x﹣5是关于6的“美妙数”．
（1）5与 是关于6的“美妙数”， 与x﹣10是关于6的“美妙数”，（x﹣1）（x＋2）与 是关于6的“美妙数”．
（2）若M＝x（2x﹣3）﹣1与N＝（x＋3）（2x﹣1）是关于6的“美妙数”，求x的值．
【答案】（1）﹣1，x﹣4，x2+x﹣8；（2）x＝﹣．
【分析】
（1）根据已知条件得出即可；
（2）根据已知条件得出M﹣N＝6，再求出方程的解即可．
【详解】
解：（1）∵5﹣6＝﹣1，
6＋（x﹣10）＝6＋x﹣10＝x﹣4，
（x﹣1）（x+2）﹣6＝x2+2x﹣x﹣2﹣6＝x2+x﹣8，
∴5与﹣1是关于6的“美妙数”，x﹣4与x﹣10是关于6的“美妙数”，（x﹣1）（x+2）与x2+x﹣8是关于6的“美妙数”，
故答案为：﹣1，x﹣4，x2+x﹣8；
（2）∵M＝x（2x﹣3）﹣1与N＝（x+3）（2x﹣1）是关于6的“美妙数”，
∴M﹣N＝6，
∴x（2x﹣3）﹣1﹣（x+3）（2x﹣1）＝6
∴2x2﹣3x﹣1﹣2x2+x﹣6x+3＝6
∴﹣8x+2＝6，
解得：x＝﹣．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，能灵活运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键，也考查了解一元一次方程的应用．
18．先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中，．
【答案】（1），；（2），．
【分析】
（1）先计算多项式乘多项式，再去括号合并同类项，然后将代入即可；
（2）先计算平方差、单项式乘多项式，再去括号合并同类项，然后将，代入即可；
【详解】
解：（1）（3a+1）（2a-3）-（4a-5）（a-4）
=6a2-9a+2a-3-（4a2-16a-5a+20）
=6a2-9a+2a-3-4a2+16a+5a-20
=2a2+14a-23；
当时，
原式=
（2），
当，时，
原式=
【点睛】
此题主要考查了整式的化简求值和整式的混合运算，正确运算法则和平方差公式是解题关键．
19．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能．
例如：规定：
那么，，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1；
，它有三项，系数分别1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
根据以上规律，展开式共有________项，系数分别为________……
根据以上规律，写出的展开式：=________
【答案】五；1，4，6，4，1；
【分析】
由图可知，从第三行开始，除去首项和最后一项，其余项应该等于上一行与其列数相同的数+上一行前一列的数．那么第五行的五个数就应该是1，4，6，4，1．即可得到答案．
【详解】
解：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1；
（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
所以（a+b）4的展开式有五项，系数分别为：1，4，6，4，1．
故答案为：五；1，4，6，4，1．
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查完全平方公式的推广，读懂题目信息，准确找出规律是解题的关键，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
20．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．
（1）请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积．
（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？
（3）若铁盒的全面积是底面积的倍，求此时的值（用含的代数式表示）．是否存在一个整数，使得铁盒的全面积是底面积的整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）12a2＋420a＋3600；（2）600a＋21000；（3）35或7或5或1
【分析】
（1）根据图形表示出原长方形铁皮的长和宽，进而表示出原长方形铁皮的面积即可；
（2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；
（3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可．
【详解】
解：（1）原铁皮的面积是（4a＋60）（3a＋60）＝12a2＋420a＋3600，
（2）油漆这个铁盒的表面积是：12a2＋2×30×4a＋2×30×3a＝12a2＋420a，
则油漆这个铁盒需要的钱数是：（12a2＋420a）÷＝（12a2＋420a）×＝600a＋21000（元），
答：涂完这个铁盒需要(600a＋21000)元；
（3）铁盒的全面积是4a×3a＋4a×30×2＋3a×30×2＝12a2＋420a，
底面积是4a×3a＝12a2，
假设存在正整数，使12a2＋420a＝n·12a2
整理得（n－1）a＝35，
则a＝35，n＝2或a＝7，n＝6或a＝5，n＝8或a＝1，n＝36
所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a＝35或7或5或1．
【点睛】
此题考查整式的混合运算，正确掌握无盖铁盒的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键．
21．化简求值
，其中，．
【答案】，-12
【分析】
原式中含有括号，则化简时先去括号，然后合并同类项得到最简式，将x，y的值代入最简式即可得到原式的值．
【详解】
解：
当，时
原式
【点睛】
本题考查了去括号法则，合并同类项的法则，去括号时要注意符号的变化，也是容易出错的地方．
22．计算下列各题
（1）﹣14+（﹣2）3+（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2；
（2）（﹣x2）3•（﹣x3）2÷x4+（2x4）3•x﹣4﹣x3÷x﹣5；
（3）2（a﹣1）2﹣（2a﹣3）（2a+3）；
（4）先化简再求值（x﹣2y）2﹣（x﹣2y）（x+y）﹣2x（2x﹣y）其中x＝﹣1，y＝﹣1．
【答案】（1）1；（2）6x8；（3）﹣2a2﹣4a+11；（4）6y2﹣xy﹣4x2，1
【分析】
（1）先化简有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后再计算；
（2）先利用幂的乘方，积的乘方运算法则计算乘方，然后利用同底数幂的乘方和同底数幂的除法运算法则计算乘除，最后算加减；
（3）先利用乘法公式计算乘方，乘法，然后再算加减；
（4）先利用乘法公式，单项式乘多项式的运算法则计算乘方，乘法，然后再算加减，最后代入求值．
【详解】
解：（1）原式＝﹣1﹣8+1+9
＝1；
（2）原式＝﹣x6•x6÷x4+8x12•x﹣4﹣x3÷x﹣5
＝﹣x6+6﹣4+8x12﹣4﹣x3﹣（﹣5）
＝﹣x8+8x8﹣x8
＝6x8；
（3）原式＝2（a2﹣2a+1）﹣[（2a）2﹣32]
＝2a2﹣4a+2﹣4a2+9
＝﹣2a2﹣4a+11；
（4）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣（x2+xy﹣2xy﹣2y2）﹣4x2+2xy
＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣xy+2xy+2y2﹣4x2+2xy
＝6y2﹣xy﹣4x2；
当x＝﹣1，y＝﹣1时，
原式＝6×（﹣1）2﹣（﹣1）×（﹣1）﹣4×（﹣1）2
＝6﹣1﹣4
＝1．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，负整数指数幂，零指数幂，掌握积的乘法运算法则、幂的乘法运算法则以及完全平方公式和平方差公式的结构是解题的关键．
23．有理数x，y满足条件，求（﹣2x2y）3+8（x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3的值．
【答案】-2
【分析】
先根据，求出 x＝，y＝2，化简代数式（﹣2x2y）3+8（x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3=﹣16x6y3，赋值把x＝，y＝2代入上式得计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴x＝，y＝2，
∴（﹣2x2y）3+8（x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3
＝﹣8x6y3﹣8x4•x2•y3
＝﹣8x6y3﹣8x6y3
＝﹣16x6y3，
把x＝，y＝2代入上式得：
原式＝﹣16×（）6×23＝﹣2．
即（﹣2x2y）3+8（x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3的值是﹣2．
【点睛】
本题考查非负数的性质求值，代数式化简求值，赋值计算是解题关键．
24．如果，那么我们规定．例如：因为，所以
（1）根据上述规定填空：__________，__________，__________；
（2）记，，．判断a，b，c之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）3，0，−2；a＋b＝c．理由见详解
【分析】
（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；
（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】
解：（1）∵33＝27，
∴（3，27）＝3，
∵40＝1，
∴（4，1）＝0，
∵2−2＝0.25，
∴（2，0.25）＝−2．
故答案为：3，0，−2；
（2）a＋b＝c．理由：
∵（2，5）＝a，（2，6）＝b，（2，30）＝c，
∴2a＝5，2b＝6，2c＝30，
∴2a×2b＝5×6＝30，
∴2a×2b＝2c，
∴a＋b＝c．
【点睛】
题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法则及其逆运用是解题关键．
25．先化简，再求值
（1） ，其中
（2），实数x满足
【答案】（1）4x2－3，－2；（2），0
【分析】
（1）利用完全平方公式、平方差公式和多项式除单项式的法则进行计算化简，再代数求值；
（2）利用完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式的法则进行化简，再代数求值.
【详解】
解：（1）原式
＝，
当时，原式 ；
（2）原式
∵
∴原式.
【点睛】
本题考查代数式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式、多项式除单项式的法则，属于基础题型.
26．观察下面各式的规律：
12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2；
…
（1）写出第2021个式子；
（2）写出第n个式子，并验证你的结论．
【答案】（1）第2021个式子为20212+（2021×2022）2+20222＝（2021×2022+1）2；（2）第n行式子为n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2．验证见解析．
【分析】
（1）根据已知的几个式子得出各数之间的关系，从而得出第2021个式子；
（2）根据给出的几个式子得出一般性的规律，然后利用多项式的乘法计算法则分别求出等式左边和右边的值，从而验证规律的正确性．
【详解】
（1）根据题意得：
当n=1时，12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
当n=2时，22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；
当n=3时，32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；
……
第2021个式子为20212+（2021×2022）2+20222＝（2021×2022+1）2；
（2）以此类推，第n行式子为n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2．
理由：左边＝n2+（n2+n）2+（n+1）2
＝n4+2n3+3 n2+2n+1，
右边＝（n2+n+1）2
＝n4+2n3+3 n2+2n+1，
∴n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2．
【点睛】
本题考查了根据式子找规律，多项式的乘法计算，找到第个式子的规律是解题的关键．
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