2021学年14.1.1 同底数幂的乘法当堂检测题

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14.1.1同底数幂的乘法 培优卷


一、单选题
1．下列说法：①如果，则；②；③若，，则；④若，则；⑤若关于x的方程只有一个解，则m的值为3．其中，正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据幂的运算法则判断①是否正确，根据分数的定义判断②是否正确，根据绝对值的性质判断③和④是否正确，根据解绝对值方程判断⑤是否正确．
【详解】
解：∵，
∴，故①错误；
，故②正确；
∵，
∴是非正数，
∵，
∴是非负数，
∴，则，
∴，故③正确；
∵，
∴a和b异号，
∴，故④正确；
若，则，解得，
若，则，解得，
若，则，解得，
若，解得，那么方程的解是，成立，
若，解得，那么方程的解是，成立，故⑤错误，
正确的命题有3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查分数的定义，绝对值的性质，幂的运算法则，解绝对值方程，解题的关键是熟练掌握这些知识点．
2．一辆汽车沿一条公路上山，速度是，从原路下山，速度是，这辆汽车上、下山的平均速度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设上山的路程为akm，用上山、下山的总路程除以上山、下山的总时间得到平均速度．
【详解】
设上山的路程为akm，
平均速度为：．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平均速度的计算公式以及同底数幂的除法运算，熟记平均速度的计算公式是解题关键，需要注意的是求平均速度不能用上山、下山速度之和除以2．
3．(－×103) 2×(1．5×104) 2的值是 ( )
A．－1．5×1011 B．1014 C．－4×1014 D．－1014
【答案】B
【解析】
试题分析：根据积的乘方和同底数幂乘法，先把1.5化为分数，然后直接计算可知(－×103) 2×(1．5×104) 2=1014.
故选B
4．观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：这组数据的和为：





∵，
∴原式=,
故选：A．
【点睛】
本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
5．下列运算正确的是 ( )
A．23=6 B．(－y2) 3=y6 C．(m2n) 3=m5n3 D．－2x2+5x2=3x2
【答案】D
【解析】
试题分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可知23=5，故不正确；
根据幂的乘方，可知(－y2) 3=-y6，故不正确；
根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可知(m2n) 3=m6n3，故不正确；
根据合并同类项法则，可知－2x2+5x2=3x2，故正确.
故选D
6．已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当a＝5时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，a＝20；③当时，a＝18；④不存在一个实数a使得x=y．
A．①②④ B．②③④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】
①把代入方程组求出解，即可做出判断；
②根据题意得到，代入方程组求出的值，即可做出判断；
③根据题中等式得到，代入方程组求出的值，即可做出判断；
④假如，得到无解，本选项正确．
【详解】
解：①把代入方程组得：，
解得：，本选项错误；
②由与互为相反数，得到，即，
代入方程组得：，
解得：，本选项正确；
③方程组解得：，
，
，
，解得：，本选项正确；
④若，则有，可得，矛盾，故不存在一个实数使得，本选项正确．
综上所述：正确的选项有②③④．
故选：．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组解法，注意方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，有根必代是解题关键．
7．计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用乘方及同底数幂的乘法运算法则化简求出答案即可．
【详解】
解：= =
【点睛】
此题主要考查了乘方及同底数幂的乘法运算法则，正确掌握运算法则是解题的关键．
8．中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为；现把式子表示为，请你用来表示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据观察式子23=8可以变形为3=log28，2=log525也可以变形为52=25，可发现规律，根据同底数幂的乘法，可得答案．
【详解】
解：由y=log318，得3y=18,
3x=2，32=9,
32×3x=32+x=18,
3y=18=32+x 所以y=2+x．故选B.
【点睛】
本题考查了幂的运算逆运用，解决本题的关键是要理解题意,发现规律.


二、填空题
9．已知，求的值为________.
【答案】15．
【分析】
逆用同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
【详解】
解：∵2a=5，2b=3，
∴2a+b=2a×2b=5×3=15．
故答案为：15．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．
10．如图，正方形的边长为，将此正方形按照下面的方法进行剪贴：第一次操作，先沿正方形的对边中点连线剪开，然后粘贴为一个长方形，其中叠合部分长为1，则此长方形的周长为_______，第二次操作，再沿所得长方形的对边（长方形的宽）中点连线剪开，然后粘贴为一个新的长方形，其中叠合部分长为l，……如此继续下去，第n次操作后得到的长方形的周长为________．


【答案】
【分析】
先求出长方形的长与宽，再根据长方形的周长公式即可得；然后利用同样的方法求出第二次、第三次操作后得到的长方形的周长，归纳类推出一般规律即可得．
【详解】
解：第一次操作后得到的长方形的宽为，长为，
则第一次得到的长方形的周长为，
第二次操作后得到的长方形的宽为，长为，
第三次操作后得到的长方形的宽为，长为，
归纳类推得：第次操作后得到的长方形的宽为，
观察发现，第一次操作后得到的长方形的长为，
第二次操作后得到的长方形的长为，
第三次操作后得到的长方形的长为，
归纳类推得：第次操作后得到的长方形的长为，
则第次操作后得到的长方形的周长为，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了图形规律探索、同底数幂的乘法，正确归纳类推出长与宽的一般规律是解题关键．
11．已知5a=2b=10，那么 的值为________.
【答案】1
【解析】
【分析】
将题目中所给的式子进行化简和构造，根据同底数幂的乘法以及积的乘方证明ab=a+b即可.
【详解】
∵5a=10，2b=10
∴（5a）b=10b ， （2b）a=10a；
即5ab=10b ， 2ab=10a
∴5ab×2ab=10ab=10b×10a=10a+b
即a+b=ab
∴=1
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，有理数的乘方，积的乘方.
12．为了求1+2+22+23+…+22014的值，可令S=1+2+22+23+…+22014，则2S=2+22+23+24+…+22015，因此2S﹣S=22015﹣1，所以1+2+22+23+…+22014=22015﹣1，仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52018=_____．
【答案】
【分析】
根据题目所给计算方法，令S=1+5+52+53+…+52012，再两边同时乘以5，求出5S，用5S﹣S，求出4S的值，进而求出S的值．
【详解】
解：令S=1+5+52+53+…+52018，
则5S=5+52+53+…+52018+52019，
5S﹣S=﹣1+52019，
4S=52019﹣1，
则S= ．
故答案为．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．
13．在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案（如图（3））．下列步骤：

（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为_______；
（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），此图形的周长为_________；
（3）重复上述的作法，图（1）经过第_________次分形后得到图（3）的图形；
（4）观察探究：上述分形过程中，经过n次分形得到的图形周长是____，面积是____．
【答案】 2
【分析】
（1）根据正方形的面积公式即可求解；
（2）观察图形，发现对正方形每进行1次变化，周长增加1倍，故可求解；
（3）根据正方形雪花图案的形成过程，观察图形，可知对正方形每进行1次分形，周长增加1倍，由图（3）的图形，得出图（1）经过第2次分形后即可得到；
（4）观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变．
【详解】
（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为；
（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），原图形的周长为4a，
观察图形，发现对正方形每进行1次变化，周长增加1倍，故此时图形的周长为；
（3）重复上述的作法，图（1）经过第2次分形后得到图（3）的图形；
（4）观察探究：上述分形过程中，对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变．
∴经过n次分形得到的图形周长是4a×2n=，面积是．
故答案为；；2；；．
【点睛】
此题考查了规律型：图形的变化类，主要培养学生的观察能力和概括能力，观察出后一个图形的周长比它的前一个增加1倍是解题的关键，本题有一定难度．
14．观察等式：；；按一定规律排列的一组数：，若，则用含a的代数式表示下列这组数的和_________．
【答案】
【分析】
观察发现规律，并利用规律完成问题．
【详解】
观察、发现
∴
=
=
=（把代入）
=
=．
故答案为：．
【点睛】
此题考查乘方运算，其关键是要归纳出规律并运用之．
15．我们知道同底数幂的乘法法则为：（其中为正整数），类似地我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算填空：若，那么①___________；②__________（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）．
【答案】1 kn+2019
【分析】
（1）将f（1）变形为f（1+0），再根据定义新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）计算即可求解；
（2）根据f（1）＝k（k≠0），以及定义新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）将原式变形为kn•k2019，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解．
【详解】
解：①∵f（m+n）＝f（m）•f（n），
∴f（1+0）＝f（1）•f（0），
即：f（1）＝f（1）•f（0），
∵f（1）＝k（k≠0），
∴k＝k•f（0），
∴f（0）＝1，
②∵f（1）＝k（k≠0），f（m+n）＝f（m）•f（n），
∴f（n）＝
＝
＝kn
∴f（n）•f（2019）＝kn•k2019＝kn+2019．
故答案为：1；kn+2019．
【点睛】
考查了同底数幂的乘法，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
16．已知，，则______．
【答案】10
【分析】
先根据同底数幂的乘法法则变形，再代入求出即可．
【详解】
解：，，
，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法法则的应用，能熟记同底数幂的乘法法则是解此题的关键，注意：，用了整体代入思想．

三、解答题
17．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+
【分析】
（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；
（2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果；
（3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果；
（4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解．
【详解】
解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
（2）设s＝①，
s＝②，
②−①得，s−s＝-s＝-1，
∴s＝2-，
故答案为：2-；
（3）设s＝①
-2s＝②
②−①得，-2s−s＝-3s＝+2
∴s＝；
（4）设s＝①，
as＝②，
②-①得：as-s=-a-，
设m=-a-③，
am=-④，
④-③得：am-m=a-，
∴m=，
∴as-s=+，
∴s=+．
【点睛】
本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．
18．(1)你发现了吗？，，由上述计算，我们发现；
(2)请你通过计算，判断与之间的关系；
(3)我们可以发现：____
(4)利用以上的发现计算：.
【答案】（1）=；（2）=；（3）=；（4）.
【分析】
（1）类比题干中乘方的运算即可得；
（2）类比题干中分数的乘方计算方法计算后即可得；
（3）根据（1）、（2）的规律即可得；
（4）逆用积的乘方将原式变形为=，再利用同底数幂进行计算可得．
【详解】
（1）我们发现 =
（2）计算得，
∴
（3）我们可以发现： = （）.
（4）利用以上的发现计算：=
19．(1)若，，求的值； (2)计算的值.
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）逆用同底数幂的除法的运算法则解答即可；（2）设S=，则2S=， 把这两个式子相减即可求解．
【详解】
(1)∵，，
∴；
(2) 设S=，
则2S=，
∴S=2S-S=．
【点睛】
本题考查了同底数幂的除法及同底数幂的乘法的应用，熟练运用法则是解决问题的关键.
20．阅读下面的文字,回答后面的问题：
求5+52+53+…+5100的值.
解：令S=5+52+53+…+5100①，
将等式两边同时乘以5得到:5S=52+53+54+…+5101②，
②-①得:4S=5101−5
∴S=5101−54即5+52+53+…+5100=5101−54.
问题:(1)求2+22+23+…+2100的值；
(2)求4+12+36+…+4×340的值.
【答案】（1）2101−2.（2）2×341−1.
【分析】
（1）根据已知材料的方法解答即可（2）先把式子化简成与题干中的式子一致的形式再解答.
【详解】
解：（1）令S=2+22+23+…+2100①，
将等式两边同时乘以2得到:2S=22+23+24+…+2101②，
②-①得:S=2101−2
∴即2+22+23+…+2100=2101−2.
（2）4+12+36+…+4×340=41+3+32+33+…+340
令S=41+3+32+33+…+340①，
将等式两边同时乘以3得到:3S=43+32+33+…+341②，
②-①得:2S=4341−1
S=2×341−1.
【点睛】
此题重点考察学生对同底数幂的乘法的应用，能根据材料正确找到做题方法是解题关键.
21．阅读材料:
一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.
例如，因为54=625，所以log5625=4；因为32=9，所以log39=2.
对数有如下性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么loga(MN)=logaM+logaN.
完成下列各题：
(1)因为________，所以log28=______.
(2)因为_________，所以log216=______.
(3)计算:log2(8×16)=______ +______=_______.
【答案】(1)23=8；3；(2)24=16；4；(3)log28；log216；7.
【分析】
根据题目信息：（1）8是2的3次方，对数为3；（2）16是2的4次方，对数是4；（3）8与16的积，先分解成以2为底8的对数和以2为底16的对数，再求解．
【详解】
(1)因为23=8，所以log28=3.
(2)因为24=16，所以log216=4.
(3)log2(8×16)=log28+log216=3+4=7.
故答案：(1)23=8；3；(2)24=16；4；(3)log28；log216；7.
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘法的性质，读懂题目信息并熟练掌握运算性质是解题的关键．
22．已知ax=5，ax+y=30，求ax+ay的值．
【答案】11.
【详解】
分析：首先根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，求出的值是多少；然后把、的值相加，求出+的值是多少即可．
本题解析：∵ax=5，ax+y=30，
∴ay=ax+y﹣x=30÷5=6，
∴ax+ay
=5+6
=11，
即ax+ay的值是11．
23．空气的质量约为，的空气质量是多少？
【答案】1.293×109g
【解析】
试题分析：根据单位换算关系换算，然后再用乘法求解即可.
试题解析：=1000000，
1000000×=
24．如果，那么我们规定.例如：因为，所以.
（1）根据上述规定，填空：
， ， .
（2）若记，，.求证：.
【答案】（1）3；0；-2（2）
【解析】
试题分析：（1）根据示例要求，直接可求解；
（2）根据同底数幂相乘的逆用可求解.
试题解析：（1）3；0；-2
（2）依题意则
∵
∴
25．已知：2x=3,2y=6,2z=12，试确定x，y，z之间的关系
【答案】x＋z＝2y
【解析】
试题分析：
变形2y＝2×3＝2x＋1，得到y＝x＋1，变形2z＝12＝2×6＝2×2y＝2y＋1，得到z＝y＋1，从而得到x，y，z之间的关系．
试题解析：
因为2x＝3，
所以2y＝6＝2×3＝2×2x＝2x＋1，
2z＝12＝2×6＝2×2y＝2y＋1.
所以y＝x＋1，z＝y＋1.
两式相减，得
y－z＝x－y，
所以x＋z＝2y.
点睛：本题主要考查了同底数幂的乘法法则的逆用，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an=am+n(m，n是正整数)，逆用同底数幂的乘法法则，即am+n=am·an(m，n是正整数)；如果几个幂的底数相等，且幂也相等，则它们的指数也相等.
26．阅读材料：
求l+2+22+23+24+…+22019的值．
解：设S=l+2+22+23+24+…+22018+22019…①
则2S=2+22+23+24+25+…+22019+22020…②
②-①，得2S﹣S=22020-l
即S=22020-l
∴1+2+22+23+24+…+22019=22020-l
仿照此法计算：
(1)计算：1+3+32+33+34+…+3100.
(2)计算：1++++…++=________(直接写答案)
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)设S=1+3+32+33+34+…+3100，两边乘以3得到关系式，与已知等式相减，变形即可求得所求式子的值；
(2)设S=1++++…++，两边乘以，然后按照阅读材料的方法进行求解即可.
【详解】
(1)设S=1+3+32+33+34+…+3100，①
两边同时乘以3，得3S=3+32+33+34+…+3101，②
②-①，得3S﹣S=3101-1，
∴S=，
∴1+3+32+33+34+…+3100=；
(2)设S=1++++…++，①
两边同时乘以，得S=+++…++，②
①-②，得S-S=1-，
∴S=1-，
∴S=2-，
∴1++++…++=2-.
【点睛】
本题是阅读材料题，主要考查了同底数幂的乘法，弄懂材料中的解题方法是解题的关键.