破解球的接切问题-2021年高中数学技巧方法突破

破解球的接切问题

球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．特别是与其它几何体构成的内切球与外接球类组合体问题，是近几年全国卷命题的热点，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往以填空或选择的形式单独成题，或者在解答题中以小问的形式呈现．

1.与球有关的切、接问题中常见的组合模型：

(1)正方体与球：

①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a，则|OJ|＝r＝(r为内切球半径)．

②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO|＝R＝a.

③正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1的外接圆，则|A1O|＝R′＝a.

(2)三条侧棱互相垂直（墙角模型）的三棱锥的外接球：

①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A1­AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD­A1B1C1D1的外接球的球心重合．如图，设AA1＝a，则R＝a.

②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝＝(l为长方体的体对角线长)．

(3)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝ a，CE＝a，则有R＋r＝ a，R2－r2＝|CE|2＝，解得R＝a，r＝a.

注:正四面体的内切球, 棱切球,外接球,三个球心合一, 半径之比为：.

2. 与球相关的“切”“接”问题的处理策略

①“切”的处理

解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．

②“接”的处理

把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．

类型一  内切球的问题

例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．

例2．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．

1)如图,ABCD为过球心的对角面, ,，

设两球半径为R、r,则有,所以.

(2)设两球的体积之和为V,则,

所以当时,V有最小值.

【点评】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，一般作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图中，观察与和棱长间的关系即可．

例2.在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则V的最大值是(    )

（A）4π      （B）      （C）6π      （D）

【解析】若球与直三棱柱的三个侧面都相切，球的半径为，若与直三棱柱的上下底面相切，球的半径为．所以球的半径的最大值是，此时球的体积是,故选B.

【点评】该直三棱柱内有一个体积为V的球，且要求体积最大，则该球与直三棱柱的三个侧面都相切、或与直三棱柱的上下底面相切（不一定是内切球），这两种情况的球半径的最小者．

例3.如图3，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝a，PA＝PC＝a，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是____________．

 解析：设放入的球的半径为r，球心为O，连接OP、OA、OB、OC、OD，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r，底面分别为原四棱锥的侧面和底面，则VP—ABCD＝r(S△PAB＋S△PBC＋S△PCD＋S△PAD＋S正方形ABCD)＝r(2＋)a2.

由题意知PD⊥底面ABCD，∴VP—ABCD＝S正方形ABCD·PD＝a3.

由体积相等，得r(2＋)a2＝a3，解得r＝(2－)a.

【点评】根据题意,把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥,小棱锥的高都是r，底面分别为原四棱锥的侧面和底面,根据体积公式求解.四棱锥内切球中，当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大．

类型二  外接球的问题

1.无需确定球心，补形构造垂直模型

构造或找三条两两垂直的线段（如图所示）的特征几何体（墙角），直接用公式，即，求出，由于三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径.

例4.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为(　 )

A．29π　　　　　　　　　　B．28π

C．25π                    D．26π

　（2）如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为       .

（3）正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为        .

解析：(1)由三视图得直观图如图，三棱锥O－ABC中OA，OB，OC两两垂直，OA＝3，OC＝4，OB＝2，可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长，长方体的对角线，即为球的直径，长为，故外接球半径为，外接球的表面积S球＝4π＝29π,故选A.

(2）设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长、宽、高分别为，，，，.

（3）这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，，，.

【点评】对称几何体的外接球、三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球等特殊几何体的外接球问题常补成长（正）方体来理解, 如正四面体就是正方体内几条面对角线构成的特殊棱锥，

长方体的对角线即为球的直径.使问题更直观,更便于运算。

例5.（1）在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为（  ）           

（2）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是        .

【解析】（1）在中，，

，的外接球直径为，

，，选D.

（2）如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，，，，，平面，

，同理：，，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， ，，

，，平面，

，，，，

平面，，

故三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，

，即，

正三棱锥外接球的表面积是.

[点评]若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．

2.确定球心位置，构造中心

构造中心三角形的方法:如图6，7，8，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.

方法步骤:

首先确定球心的位置，取的外心，则三点共线；然后先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；最后应用勾股定理：，解出.

例6．(2020·唐山统考)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(　　)

A．2　　　　　　　　　B．1C.   D.

　 解析：由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中心．设正方形BCC1B1的边长为x，Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1(R为球的半径)，∴2＋2＝1，即x＝，则AB＝AC＝1，∴S矩形ABB1A1＝×1＝.

【点评】利用半球的内接三棱柱结合截面圆性质求解，利用直角三角形的边长关系建立等量关系求解.

例7.（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为，则该球的表面积为      .

（2）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为            .

【解析】（1）由正弦定理或找球心都可得，.

（2）方法一：找球心的位置，易知，，，故球心在正方形的中心处，，.

方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，，，.

【点评】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.．

例8.（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为       .

【解析】设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则，

底面积为，，，

，，球的体积为.

（2）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于          .

【解析】，，，，.

【点评】如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）的解题步骤:

第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；

第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；

第三步：勾股定理：，解出

例9.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O,D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.

【解析】由题，连接，交与点，由题，，，即的长度与的长度或成正比，设，则，，三棱锥的高，，则

，

令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，

令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，

则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3.

故答案为：4cm3.

【点评】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.

解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.

【跟踪演练】

1.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为(  )

A．     B．      C．      D．以上都不对 

【解析】,, ,,，故选C.

2.表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(   )

A．    B．    C．      D． 

【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，，则此球的直径为，故选A。

3.已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)

A.      B．2 

C.       D．3

解析：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ ＝.故选C.　

4.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于          .         

【解析】在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.     

5.【武汉市2020届二月测试】三棱锥是半径为3的球内接正三棱锥，则三棱锥体积的最大值为         ．

【解析】由球的几何性质可设四棱锥高为，从而，有，可知当时，体积最大．

6.【2020长春市三模理16】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥．已知正四棱锥内接于半径为的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为___________．

【解析】正四棱锥内接于半径为1的球, 由球的几何性质可设正四棱锥的高为h, 

则正四棱锥的体积: ,

，

当此正四棱锥的体积最大时,其高为.

7.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱都垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为________．

解析：六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1，底面周长为3，底面边长为.设六棱柱高为h，则V＝×2×6h＝，∴h＝.球心O在高O1O2的中点上，如图所示，在直角在三角形OC1O1中，O1O＝，O1C1＝，∴OC1＝R＝1.

∴球的体积为×13＝.答案：

8.已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________．

解析：设该几何体的外接球的半径为R.依题意知，该几何体是如图所示的三棱锥A­BCD，其中AB⊥平面BCD，AB＝2，BC＝CD＝，BD＝2，BC⊥DC，因此可将该三棱锥补形为一个长方体，于是有(2R)2＝22＋()2＋()2＝8，即4R2＝8，则该几何体的外接球的表面积为4πR2＝8π.答案：8π

9．球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比为     ．

[来源:学科网]

10.把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．

【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为．