2021-2022学年山西省太原市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山西省太原市七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，已知两直线与被第三条直线所截，若，，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列各式能用平方差公式计算的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，小颖同学按图中的方式摆放一副三角板，画出依据是(    )

A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 平行于同一直线的两条直线平行
D. 同旁内角互补，两直线平行

5. 纳秒简称，为一秒的亿分之一，即，是极小的时间单位．纳秒脉冲技术使得肿瘤治疗有突破性进展．数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，，射线在内部，射线在内部，且，由此可得，其依据为(    )

A. 同角的余角相等 B. 同角的补角相等
C. 对顶角相等 D. 所有的直角都相等

9. 通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图可得等式，即为多项式乘法法则．利用图可得的乘法公式为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 新冠病毒抗原检测方便快捷，一般分钟可出结果．在年月太原新冠疫情防控中，小店区投入大量资金为居民发放抗原检测试剂盒进行抗原检测．小明用表格表示总价与试剂盒数量之间的关系，根据表格数据，下列说法不正确的是(    )

1. 在这个变化过程中，是自变量，是因变量
   B. 每增加盒，增加元
   C. 总价与试剂盒数量的关系式为
   D. 按照表格表示的规律，试剂盒数量为盒时，总价为元

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 计算的结果是______．
12. 如果一个角是，那么它的补角的度数为______．
13. 某村要硬化一条全长为米的道路，若工程队硬化道路的平均速度为米天，则道路未硬化长度米与施工时间天之间的关系式为______．
14. 若，，则的值为______．
15. 如图是小颖家到学校的公路示意图，小颖用点表示沿公路即线段，匀速骑自行车到学校，图是小颖在上学路上离出发点的距离即线段的长度米随时间分变化关系的图象，其中为曲线部分的最低点．
    
    请从下列，两题中任选一题作答．我选择______．
    A.根据图象，公路段的长为______米．
    B.根据图象，点到公路的距离为______米．

三．解答题（本题共8小题，共55分）

16. 计算
    ；
    ；
    ；
    用乘法公式．
17. 如图，已知，求作：，使．
    要求：在指定作图区域用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹

18. 下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

任务一：填空：
以上解题过程中，第一步用到的乘法公式用字母表示为______，第二步用到的乘法公式用字母表示为______．
第______开始出现错误，出现错误的原因是______，任务二：该整式化简的正确结果为______．

19. 周日的早晨，小宇从家出发，先到文具店购买学习用具，接着到新华书店取自己预定的书后马上回家．右图反映小宇从出门到回家过程中离家的距离千米与他从家出发所用的时间小时之间的关系．请根据图象解答下列问题：
    小宇家到文具店的距离是______千米，他在文具店停留了______小时．
    图中点表示的意义是：______．
    小宇从书店到家的平均速度为______千米小时．

20. 如图，已知与的边，，与相交于点若，求的度数．

21. 如图，已知线段的长为，点是线段上一动点点不与，重合，分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为变量，两正方形的面积和为变量，其中．
    两正方形的面积和与线段的长之间的关系式为______．
    根据中的关系式完成下表，并分析随变化的规律写出一个结论即可．

变化规律为：______．

22. 数学活动探究日历中的数字规律
    如图是年月份的日历，小宇在其中画出两个的方框，每个框均框住位置为

的四个数，计算“”的值，探索其运算结果的规律．

计算：______；
小宇通过特例分析，猜想所有日历中，方框里“”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整；
解：的值均为______理由如下：
设，则，，______．
因为______．
所以的值均为______．
同学们利用小宇的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究．
请从下列，两题中任选一题作答．我选择______．
A.在日历中用“十字框”框住位置为

的五个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由．
B.在日历中用“型框”框住位置为

的七个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由．

23. 综合与实践
    问题情境：
    数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．如图，已知，直角三角板中，，将其顶点放在直线上，并使边直线于点，与相交于点老师提出问题：试判断边与直线的位置关系并说明理由．
    
    请解答老师提出的问题：
    操作探究：
    如图，将图中三角板的直角顶点放在平行线之间，两直角边，分别与，相交于点，，得到和，试探究与的数量关系并说明理由．
    下面是小亮不完整的解答过程和解题反思，请你补充完整：
    解：过点作直线，如图：
    已知
    ______
    ______，____________
    ____________，
    
    解题反思：在图中“过点作直线”的作用是______．
    深入探究：
    受小亮启发，同学们续探究下列问题．
    请从下列，两题中任选一题作答．我选择______．
    A.在图中作线段和，使它们分别平分和的对顶角，如图直接写出的度数．
    B.在图中内部作射线，过点作射线交直线于点，得到，如图直接写出，与的数量关系．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据零指数幂：进而得出答案．
此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，．
故选：．
根据平行线的性质逐项判断即可求解．
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、中不存在互为相反数的项，所以不能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
B、中不存在相同的项和互为相反数的项，所以不能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
C、中不存在相同的项，所以不能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
D、符合平方差公式，故本选项符合题意；
故选：．
运用平方差公式时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
本题考查了平方差公式的应用，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
内错角相等，两直线平行，
故选：．
根据平行线的判定定理求解判断即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
根据垂直定义可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了垂线，邻补角、对顶角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
同角的余角相等，
故选：．
根据垂直定义可得，从而可得，根据已知可得，然后利用同角的余角相等，即可证明．
本题考查了垂线，余角和补角，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据图可得，，
故选：．
根据面积的两种表示方法即可得出．
本题主要考查完全平方公式的几何背景，熟练利用面积的两种表示方法得出完全平方公式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，在这个变化过程中，是自变量，是因变量；
每增加，增加；
总价与试剂盒数量的关系式为；
则当时，总价元，
选项A，，不符合题意，
选项D符合题意，
故选：．
根据表格中数据关系可确定辨别各个选项．
此题考查了确定实际问题中的函数的变量和解析式的能力，关键是能准确理解题目中的数量关系，并能列式表达．
 

11.【答案】 

【解析】解：故答案为．
此题考查的是负整数指数幂的计算方法，按照负指数为正指数的倒数进行计算即可．
此题主要考查的是负整数指数幂，幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
这个角的补角的度数为．
故答案为：．
根据互补的概念进行计算即可．
本题考查的是补角的概念，若两个角的和等于，则这两个角互补．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
，
，
道路未硬化长度米与施工时间天之间的关系式为．
故答案为：．
根据题意可列关系式，则自变量的取值范围为，即可得出答案．
本题主要考查了函数关系式，根据题意列出关系式进行求解是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

15.【答案】A、     

【解析】解：选项A，有题意可知米；
选项B，根据“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，可得点到公路的距离为米．
故答案为：、；；．
A.根据函数图象，结合图可得公路段的长；
B.根据“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”可得结果．
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
 

16.【答案】解：原式；
原式
；
原式
；
原式

． 

【解析】直接利用多项式除以单项式法则计算即可；
先利用完全平方公式计算，再合并同类项即可；
先利用平方差公式和多项式乘多项式法则计算，再计算加减即可；
原式变形为，再进一步计算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
 

17.【答案】解：如图，即为所求．
 

【解析】作射线，作即可．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

18.【答案】    三步  去括号时，括号内的各项都要改变符号   

【解析】解：第一步用到的乘法公式用字母表示为，
第二步用到的乘法公式用字母表示为，
故答案为：，；
第三步开始出现错误，出现错误的原因是去括号时，括号内的各项都要改变符号，
原式

．
故答案为：三步，去括号时，括号内的各项都要改变符号，．
任务一：第一步用的是平方差公式，第二步用的是完全平方公式；
第三步去括号时出现错误；
任务二：正确去括号，合并同类项即可得出答案．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握，是解题的关键．
 

19.【答案】    小宇出发小时后到达离家千米的新华书店   

【解析】解：由图象可知：
小宇家到文具店的距离是千米，他在文具店停留了小时；
故答案为：；；
图中点表示的意义是：小宇出发小时后到达离家千米的新华书店；
故答案为：小宇出发小时后到达离家千米的新华书店；
小宇从书店到家的平均速度为：千米小时，
故答案为：．
根据题意和函数图象中的数据，可得小宇家到文具店的距离是千米，他在文具店停留了小时；
根据函数图象结合题意可得点表示的意义；
根据“速度距离时间”计算即可．
此题主要考查了函数图象与实际问题，根据已知图象获取正确信息是解题关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质可得，进而可求解．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
 

21.【答案】      当时，随的增大而减小 

【解析】解：由题意得，
，
整理得，
故答案为：；
当时，



，
当时，


，
由表中数据可得，当时，随的增大而减小，
故答案为：，，当时，随的增大而减小．
分别用表示出两个正方形的面积，再写出此题结果；
按照结果代入的值进行计算，并找出其中的变化规律．
此题考查了应用函数概念解决实际问题的能力，关键是能根据题意准确列出函数解析式，并能进行相关的计算、归纳．
 

22.【答案】          或 

【解析】解：计算：，
故答案为：；
小宇通过特例分析，猜想所有日历中，方框里“”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整；
解：的值均为理由如下：
设，则，，．
因为．
所以的值均为．
故答案为：，，，；
同学们利用小宇的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究．
请从下列，两题中任选一题作答．我选择或．
A.在日历中用“十字框”框住位置为

结论：，
理由．设中间为，则，，，，
，

B.在日历中用“型框”框住位置为

结论：．
理由：设中间为，则，，，，，
．
根据有理数混合运算的法则计算求解；
代入化简求值即可；
：结论：，设中间为，则，，，，可得；
：结论：设中间为，则，，，，，可得．
本题考查作图应用与设计作图，有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会模仿例题解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】平行于同一直线的两直线平行      两直线平行，同位角相等      利用平行线的性质得到角相等   

【解析】解：，理由如下：
直线于点，
，
，
，
；
，理由如下：过点作直线，如图，
已知，
平行于同一直线的两直线平行，
，两直线平行，同位角相等，
，，
．
解题反思：在图中“过点作直线”的作用是“利用平行线的性质得到角相等”
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；；；两直线平行，同位角相等；；；利用平行线的性质得到角相等；
；，理由如下：
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意得到，即可判定；
过点作直线，根据平行线的判定与性质求解即可；
结合并根据三角形外角性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．