2021-2022学年北京市朝阳区七年级（下）期中数学试卷(含解析 )

2021-2022学年北京市朝阳区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列是一元一次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 若是关于、的方程的一个解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列运用等式性质进行的变形中，正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

4. 如图是某机器零件的设计图纸，在数轴上表示该零件长度合格尺寸，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知方程组，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 由方程组可得与的关系式是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若关于的不等式的解集如图所示，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 年月的月历如图所示，用一个方框任意框出个数、、、若的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 如果是关于的方程的解，那么______．
10. 如果把方程写成用含的代数式表示的形式，那么______．
11. 不等式的最小整数解为______．
12. 若方程组的解为，则______．
13. 关于，的二元一次方程组的解满足，则的范围为______．
14. 若关于的不等式组有且只有三个整数解，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 解方程组：．
16. 解不等式：．
17. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

18. 已知方程组和的解相同，求和的值．
19. 列方程组解应用问题：
    “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：

求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．

20. 若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值，并写出方程的解．
21. 定义一种新运算“”，其规则为例如再如：．
    计算值为______．
    若，求的值．
    有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即，，“”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
22. 【教材呈现】如下是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．

写出这道题完整的解题过程．
【拓展】若关于、的方程组的解满足，求的最小整数值．

23. 长春市为了更好地保护环境，污水处理厂决定购买最先进的污水处理设备，这种污水处理设备有型和型．已知购买一台型设备比购买一台型设备多万元，购买台型设备比购买台型设备少万元．
    分别求购买一台型和型设备的钱数．
    若污水处理厂决定购买污水处理设备台，购买污水处理设备的总金额不超过万元，请你为该污水处理厂设计购买方案，并说明理由．
    若型设备每月处理污水吨，型设备每月处理污水吨，按照中的购买方案，直接写出该污水处理厂每月最多能处理污水的吨数．
24. 如图，在数轴上点、、表示的数分别是、、动点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．
    
    的长为______；
    当点与点相遇时，求的值．
    当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值．
    若，直接写出点表示的数．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项是一元一次方程，故该选项符合题意；
选项中含有两个未知数，故该选项不符合题意；
选项中最高次数是次，故该选项不符合题意；
选项最高次数是次，故该选项不符合题意；
故选：．
根据一元一次方程的定义判断即可．
本题考查了一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数元，且未知数的次数是，这样的整式方程叫一元一次方程是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是关于、的方程的一个解，
，
解得：．
故选：．
首先把代入关于、的方程，然后根据解一元一次方程的方法，求出的值即可．
此题主要考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、，
，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、，
，原变形正确，故此选项符合题意；
D、，
，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据等式的性质逐个判断即可．
本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，等式的性质：等式的两边都加或减同一个数或式子，等式仍成立，等式的性质：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于的数，等式仍成立．
 

4.【答案】 

【解析】解：表示长度大于，并且小于的范围内的零件都是合格的．
故选C．
表示的意思是零件的长度与标准值的差距在或以内都是合格的．
本题考查一元一次不等式组的应用，读懂数轴即可求解．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据方程组两个方程相减得到，即可得到答案．
本题主要考查解二元一次方程组，两方程相减是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
得：，
故选：．
方程组消去即可得到与的关系式．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

7.【答案】 

【解析】解：由数轴知，
则，
解得：，
故选：．
由不等式，结合数轴知，从而得出不等式，解之可得．
本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得到关于的方程是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设的值为，则，，，
的值为，
，
解得，
即的值为，
故选：．
根据表格中的数据，可以得到与、、的关系，然后设为，根据的值为，即可列出相应的方程，然后求解即可．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把代入方程计算即可求出的值．
【解答】
解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：方程，
解得：．
故答案为：．
把看作已知数表示出即可．
此题考查了解二元一次方程，掌握等式的基本性质是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
最小整数解是，
故答案为：．
先求出不等式的解集，再求出整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能求出不等式的解集是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：将代入方程组，
得，
解得，
．
故答案为；．
将代入方程组求出、的值，再代入所求所占计算即可．
本题考查了二元一次方程的解，要熟练掌握二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．
 

13.【答案】 

【解析】解：将两个方程相加可得，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
两个方程相加，再两边除以得到，根据得到关于的不等式，解之可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
解得：，
不等式组有且仅有三个整数解，即，，，
，
解得：．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，根据解集有且只有三个整数解，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

15.【答案】解：，
，得，
把代入，得．
原方程组的解为：． 

【解析】由于两个方程中的系数相同，可以选择用加减消元法来解．
解二元一次方程组体现了数学的转化思想，即二元方程一元化，本题也可以利用代入消元法求解，但是不如加减消元法简单，同学们不妨一试．
 

16.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为得：． 

【解析】根据去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为解答即可．
此题考查解一元一次不等式，关键是根据去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为解答．
 

17.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：因为方程组和的解相同，
可得：，
解得：，
把，代入方程中，
可得：，
解得：，
所以和的值是；． 

【解析】因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有，的两个方程联立，组成新的方程组，求出和的值，再代入含有，的两个方程中，解关于，的方程组即可得出，的值．
本题考查了方程组的解的定义，正确根据定义转化成解方程组的问题是关键，考查了学生对方程组有公共解定义的理解能力及应用能力，是一道好题．
 

19.【答案】解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元． 

【解析】设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，利用总价单价数量，结合表格内的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
由题意得：
，
解得：，
，
字母的值为，方程的解为． 

【解析】先分别解两个方程，再根据同解方程的意义可得，从而求出的值，再把的值代入或，进行计算即可解答．
本题考查了同解方程，熟练掌握同解方程的意义是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：根据题中的新定义得：
原式

；
故答案为：；
根据题中的新定义化简得：
，
解得：；
“”运算不满足交换律，
例如：，，即．
原式利用题中的新定义计算即可求出值；
已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值；
“”不满足交换律，举例即可．
此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

22.【答案】解：【教材呈现】，
，
，
关于的方程的解是非负数，
，
解不等式得：，
的取值范围是．
【拓展】，
得，
把代入得，
解得．
根据题意得，
解得．
的最小整数值是． 

【解析】【教材呈现】求出方程的解，根据题意得出关于的不等式，求出不等式的解集即可．
【拓展】首先解不等式利用表示出和的值，然后根据列不等式求得的范围．
本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组，能根据已知得出不等式是解此题的关键．
 

23.【答案】解：设购买一台型设备需要万元，购买一台型设备需要万元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一台型设备需要万元，购买一台型设备需要万元．
设购买型设备台，则购买型设备台，
依题意得：，
解得：．
又为自然数，
可以为，，，
该污水处理厂共有种购买方案，
方案：购买型设备台；
方案：购买型设备台，型设备台；
方案：购买型设备台，型设备台．
选择方案每月可处理污水吨，
选择方案每月可处理污水吨，
选择方案每月可处理污水吨．
，
按照中的购买方案，该污水处理厂每月最多能处理污水吨． 

【解析】设购买一台型设备需要万元，购买一台型设备需要万元，根据“购买一台型设备比购买一台型设备多万元，购买台型设备比购买台型设备少万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买型设备台，则购买型设备台，利用总价单价数量，结合总价不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合为自然数，即可得出各购买方案；
利用该污水处理厂每月处理污水的吨数每台设备每月处理污水的吨数购买数量，可分别求出选项各方案该污水处理厂每月处理污水的吨数，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；根据各数量之间的关系，求出选项各方案该污水处理厂每月处理污水的吨数．
 

24.【答案】 

【解析】解：的长为．
故答案为：；
依题意有：，
解得．
故的值是；
相遇前：，
解得；
相遇后：，
解得．
故的值为或；
当时，，
解得不符合题意，舍去；
当时，，
解得，
．
故点表示的数为．
根据两点间的距离公式计算即可求解；
根据速度和时间路程和，列出方程计算即可求解；
分相遇前或相遇后两种情况进行讨论即可求解；
分或，根据，列出方程计算即可求解．
此题考查一元一次方程的应用、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离．