九年级数学上册专题九+圆周角定理的综合运用同步测试+新人教版

这是一份九年级数学上册专题九+圆周角定理的综合运用同步测试+新人教版，共8页。
圆周角定理的综合运用一　巧作辅助线求角度(教材P89习题24.1第7题)求证：圆内接平行四边形是矩形．已知：如图1，已知平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：平行四边形ABCD是矩形．图1证明：∠A＋∠C＝180 °(圆内接四边形对角互补)又∠A＝∠C(平行四边形对角相等)∴∠A＝∠C＝90 °所以圆内接平行四边形是矩形．　如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(　A　)A．40°　　B．45°　　C．50°　　D．60°图2　　　变形1答图【解析】 如图，连接OB，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°.∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠OBC＝＝40°.　如图3，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝__60°__．图3　　　变形2答图【解析】 如图，连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC.∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠B＝2∠ADC.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝120°.∵∠1＝∠OAD＋∠ADO，∠2＝∠OCD＋∠CDO，∴∠OAD＋∠OCD＝(∠1＋∠2)－(∠ADO＋∠CDO)＝∠AOC－∠ADC＝120°－60°＝60°.　[2012·青岛]如图4，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是__150°__．【解析】 在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠AOC＝30 °.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝180°－30°＝150°.故答案为150°.图4图5　如图5，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为(　A　)A．35°  B．45°  C．55°  D．75°　如图6，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.解：(1)在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°，又∵∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等边三角形；(2)如图，连接OB，OC，则∠BOC＝2∠BAC＝120°.∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠OBC＝∠OCB＝(180°－∠BOC)＝30°.在Rt△BOD中，∠ODB＝90°，∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝×8＝4.图6变形5答图  二　圆周角定理与垂径定理的综合(教材P89习题24.1第5题)如图7，OA⊥BC，∠AOB＝50°，试确定∠ADC的大小．图7解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠ADC＝∠AOB＝25°.【思想方法】 垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，利用垂径定理求解．　如图8，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝3 cm，则弦AB的长为(　A　)图8A．9 cm　　　　　　B．3 cmC. cm  D. cm解：∵∠CBA＝30°，∴∠AOC＝2∠CBA＝60°，∵AB⊥OC，∴∠ADO＝90°，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA＝×3＝(cm)，由勾股定理得：AD＝＝4.5 cm，∵AB⊥OC，OC过O，∴AB＝2AD＝9(cm)，故选A.　如图9，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为(　D　)图9　　　　　　　　变形2答图A．2    B．8C．2  D．2【解析】 ∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝BC＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r－2，在Rt△AOC中，∵AC＝4，OC＝r－2，∴OA2＝AC2＋OC2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，∴BE＝＝＝6，在Rt△BCE中，∵BE＝6，BC＝4，∴CE＝＝＝2.故选D.　如图10，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6 cm，AD平分∠BAC，则AD的长为(　A　)图10　　　　　　变形3答图A．4 cm  B．3 cm  C．5 cm  D．4 cm【解析】 连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD(角平分线的性质)，∴＝，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△OED，∴OE＝AF＝AC＝3 cm，在Rt△DOE中，，DE＝＝4 cm，在Rt△ADE中，AD＝＝4  cm，故选A.　如图11，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为7，则GE＋FH的最大值为__10.5__．图11　　　　　　　变形4答图【解析】 如图，当GH为⊙O的直径时，GE＋FH有最大值．∵⊙O的半径为7，∴GH＝14.连接OA，OB.∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝7，∵点E，F分别是AC，BC的中点，∴EF＝AB＝3.5，∴GE＋FH＝GH－EF＝14－3.5＝10.5.故答案为10.5.　如图12，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°.(1)求∠B的大小；(2)已知AD＝6，求圆心O到BD的距离．图12　　　变形5答图解：(1)∵∠APD＝∠C＋∠CAB，∴∠C＝∠APD－∠CAB＝65°－40°＝25°.∴∠B＝∠C＝25°.(2)如图，过点O作OE⊥BD于点E，则DE＝BE.又∵AO＝BO，∴OE＝AD＝×6＝3.∴圆心O到BD的距离为3.　如图13所示，AB是⊙O的一条弦，E在⊙O上，设⊙O的半径为4 cm，AB＝4 cm，(1)求圆心O到弦AB的距离OD；(2)求∠AEB的度数．解：(1)连接OA，OB.∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝2 cm.在Rt△ODA中，OA＝4 cm，∴OD＝＝＝2 (cm)；(2)Rt△ODA中，OA＝4 cm，OD＝2 cm，∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°.∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOB＝2∠AEB＝120°，∴∠AEB＝∠AOB＝60°.图13　　　图14　如图14，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°，求BD及OF的长．解：∵AB＝4，AC⊥BD于F，∠A＝30°，∴BF＝AB ＝4×＝2，AF＝＝＝6.∵AC是⊙O的直径，∴BD＝2BF＝2×2＝4.设OF＝x，则OB＝AF－OF＝6－x，在Rt△OBF中，OB2＝BF2＋OF2，即(6－x)2＝(2)2＋x2，解得x＝2，即OF＝2.答：BD的长是4，OF的长是2.    　如图15，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E.(1)若AC＝16，求AE的长．(2)若C点在⊙O上运动(不包括A，B两点)，则在运动的过程中AC与AE有何特殊的数量关系？请把你探究得到的结论填写在横线上____________________________________________________________________．图15变形8答图解：(1)如图，连接OE，∵AO是⊙D的直径，∴∠OEA＝90°，∴OE⊥AC.∵OE过⊙O的圆心O，∴AE＝CE＝AC＝×16＝8.(2)若C点在⊙O上运动(不包括A，B两点)，则在运动的过程中AE＝AC.