九年级数学上册专题十二+概率与代数、几何知识的综合同步测试+新人教版
展开概率与代数、几何知识的综合
[见B本P56]
(教材P141习题25.2第9题)
盒中有x枚黑棋和y枚白棋,这些棋除颜色外无其他差别.
(1)从盒中随机取出一枚棋子,如果它是黑棋的概率是,写出表示x和y关系的表达式.
(2)往盒中再放进10枚黑棋,取得黑棋的概率变为,求x和y的值.
解:(1)∵从盒中随机地取出一个棋子是黑色棋子的概率是,∴=,y=x.①
(2)∵如果往盒中再放进10颗黑色棋子,则取得黑色棋子的概率变为,∴=.②
由①②解得
【思想方法】 概率与代数、几何的综合运用其本质还是求概率,只不过应用代数和几何的方法确定某些限制条件的事件数.一般的方法是利用列表或树状图求出所有等可能的情形,再求出满足所涉及知识的情形,进一步求概率,此类问题能很好地考查学生对概率与其他知识的综合运用.
一 概率与代数的综合
有三张正面分别写有数字-2,-1,1的卡片,它们的背面完全相同,将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张,以其正面数字作为x的值,放回卡片洗匀,再从三张卡片中随机抽取一张,以其正面数字作为y的值,两次结果记作(x,y).
(1)用树状图或列表法表示(x,y)所有可能出现的结果;
(2)求使分式+有意义的(x,y)出现的概率;
(3)化简分式+,并求使分式的值为整数的(x,y)出现的概率.
解:(1)画树状图如下:
或列表如下:
第一次 第二次 | -2 | -1 | 1 |
-2 | (-2,-2) | (-1,-2) | (1,-2) |
-1 | (-2,-1) | (-1,-1) | (1,-1) |
1 | (-2,1) | (-1,1) | (1,1) |
∴所有可能出现的结果为(-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(1,-2),(1,-1),(1,1).
(2)要使分式+有意义,则有(x+y)(x-y)≠0,只有(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(1,-2)符合条件,
∴使分式+有意义的(x,y)出现的概率为.
(3)+=+=+====,将符合条件的(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(1,-2)分别代入上式计算可得原式=,3,-,-3,∴使分式的值为整数的(x,y)出现的概率为.
二 概率与几何的综合
如图1,直线a//b,直线c与a,b都相交,从所标识的∠1,∠2,∠3,∠4,∠5这五个角中任意选取两个角,则所选取的两个角是互为补角的概率是( A )
图1
A. B. C. D.
小江玩投掷飞镖的游戏,他设计了一个如图2所示的靶子,点E,F分别是矩形ABCD的两边AD,BC上的点,且EF∥AB,点M,N是EF上任意两点,则投掷一次,飞镖落在阴影部分的概率是( C )
A. B. C. D.
图2
如图3,4张背面完全相同的纸牌(用①,②,③,④表示),在纸牌的正面分别写有四个不同的条件,小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后,先随机摸出一张(不放回),再随机摸出一张.
(1)用树状图或列表法表示两次摸牌出现的所有可能结果;
(2)以两次摸出牌上的结果为条件,求能判断四边形ABCD是平行四边形的概率.
图3
解:(1)解法一:画树状图如图:
解法二:列表如下:
| ① | ② | ③ | ④ |
① |
| ①② | ①③ | ①④ |
② | ②① |
| ②③学科 | ②④ |
③ | ③① | ③② |
| ③④ |
④ | ④① | ④② | ④③ |
|
(2)由(1)可知共12种可能性相等的情况,其中能使四边形ABCD是平行四边形的有8种,即①②,②①,①③,③①,②④,④②,③④,④③,∴P(能判断四边形ABCD是平行四边形)==.
如图4,在方格纸中,△ABC的三个顶点及D,E,F,G,H五个点分别位于小正方形的顶点上.
(1)现以D,E,F,G,H中的三个点为顶点画三角形,在所画的三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形是______(只需要填一个三角形);
(2)先从D,E两个点中任意取一个点,再从F,G,H三个点中任意取两个不同的点,以所取的这三个点为顶点画三角形,求所画三角形与△ABC面积相等的概率(用画树状图或列表的方法求解).
图4
解:(1)△DFG或△DHF;
(2)画树状图:
由树状图可知共有6种等可能结果.其中与△ABC面积相等的有3种,即△DHF,△DGF和△EGF.
所以所画三角形与△ABC面积相等的概率为P==.
答:所画三角形与△ABC面积相等的概率为.
三 概率与方程(或不等式)的综合
从3,0,-1,-2,-3这五个数中,随机抽取一个数,作为函数y=(5-m2)x和关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值,恰好使所得函数的图象经过第一、三象限,且方程有实数根的概率为____.
四 概率与坐标系的综合
如图5,在平面直角坐标系中,A(-2,2),B(-3,-2).
(1)若点C与点A关于原点O对称,则点C的坐标为__(2,-2)__;
(2)将点A向右平移5个单位得到点D,则点D的坐标为__(3,2)__;
(3)由点A,B,C,D组成的四边形ABCD内(不包括边界)任取一个横、纵坐标均为整数的点,求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率.
图5
解:(3)四边形ABCD内(不包括边界)任取一个横、纵坐标均为整数的点有15个,如图
其中横、纵坐标之和恰好为零的有3个,所以所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率是=.
五 概率与一次函数的综合
甲、乙两个袋中均装有三张除所标数字外完全相同的卡片,甲袋中的三张卡片上所标的数字分别为-7,-1,3,乙袋中的三张卡片上所标的数字分别为-2,1,6.先从甲袋中随机取出一张卡片,用x表示取出的卡片上标的数字,再从乙袋中随机取出一张卡片,用y表示取出的卡片上标的数字,把x,y分别作为点A的横坐标、纵坐标.
(1)用适当的方法写出点A(x,y)的所有情况;
(2)求点A落在第三象限的概率.
解:(1)画树状图如图:
所以点A的所有坐标为(-7,-2),(-7,1),(-7,6),(-1,-2),(-1,1),(-1,6),(3,-2),(3,1),(3,6);
(2)由树状图可知,所有等可能的情况共有9种,点A落在第三象限的情况有2种,所以P(点A落在第三象限)=.
在一个不透明的布袋里装有4个标有1,2,3,4的小球,它们的形状、大小完全相同,小明从布袋里随机取出一个小球,记下数字为x,小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球,记下数字为y.
(1)计算由x,y确定的点(x,y)在函数y=-x+5的图象上的概率.
(2)小明和小红约定做一个游戏,其规则为:若x,y满足xy>6,则小明胜,若x,y满足xy<6,则小红胜,这个游戏公平吗?说明理由.若不公平,请写出公平的游戏规则.
解: (1)列表如下:
y x | 1 | 2 | 3 | 4 |
1 |
| (1,2) | (1,3) | (1,4) |
2 | (2,1) |
| (2,3) | (2,4) |
3 | (3,1) | (3,2) |
| (3,4) |
4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) |
|
由上表可知共有12种等可能的情况,点(x,y)在函数y=-x+5的图象上的有4种,所以所求的概率为=.
(2)由(1)可知,xy>6的概率为=,xy<6的概率为=,因为>,所以游戏不公平.
公平的游戏规则为:若x,y满足xy≥6,则小明胜,若x,y满足xy<6,则小红胜.
六 概率与二次函数的综合
[2013·内江]同时抛掷A,B两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),设两立方体朝上的数字分别记为x,y,并以此确定点P(x,y),那么点P落在抛物线y=-x2+3x上的概率为( A )
A. B. C. D.
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