数学第四章 几何图形初步综合与测试课堂检测

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专题05 高分突破-几何图形初步重难点题型分类（解析版）
题型一：正方体的展开图
1.（长郡）下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是( )
A. B. C. D.
【解答】解：A、属于“田”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
B、属于“7”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
C、属于“1+4+1”字型，是正方体的展开图，故选项正确；
D、属于“凹”字型，不是正方体的展开图，故选项错误．
故选：C．
2.（长梅）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是__________.

【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“的”与“害”是相对面，“了”与“厉”是相对面，“我”与“国”是相对面．

3.（中雅）如图所示，是一个正方体的平面展开图，当把它折成一个正方体时，与空白面相对的字应该是__________.

【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“京”与“你”相对，面“迎”与面“北”相对，“欢”与面“空白”相对．
故答案为：欢．
4.（西雅）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“爱”字所对应的面相对的面上标的字是( )
A.我 B.的 C.祖 D.国




【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“爱”与“的”是相对面；
故选：B．
题型二：立体图形的三视图
5.（雅礼）如图所示是由一些相同的小正方体构成的立体图形从正面、左面、上面看到的形状图，那么构成这个立体图形的小正方体的个数是 个。

从正面看 从左面看 从上面看
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【解答】解：由从上面看到的图形易得最底层有4个正方体，第二层有1个正方体，
那么共有4+1＝5（个）正方体．
故选：A．
6.（中雅）如图，是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个最少是( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个

【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；由左视图知共两行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行2个小正方体，第一列第二行2个小正方体，第二列第三行1个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：2+2+1＝5个．
故选：A．
7.（郡维）在下面的网格中，请分别画出图2所示的几何体从三个方向看到的平面图形.

【解答】解：如图所示：

8.(师大)立体几何的三视图
若干个棱长为2cm的正方体摆放成如图所示的形状，回答下列问题：
(1)画出该图形的三视图.
(2)它的表面积是多少？


【解答】解：（1）三视图如图所示：
（2）它的表面积为：（7+5+2+1）×2×（2×2）＝120 cm2

题型三：直线、射线、线段概念
9.（青竹湖）下列说法正确的是（ ）
A.画直线 B. 射线
C. 延长射线到，使 D. 延长线段到，使
【解答】解：A、直线不可以度量，故不符合题意；B、射线不可以度量，故不符合题意；
C、延长射线OA到B，使AB＝OA，射线没有长度，故不符合题意；
D、延长线段AB到C，使BC＝AB，故符合题意；
故选：D．
10.（广益）下列说法正确的是( )
A.两点之间，直线最短 B.永不相交的两条直线叫做平行线
C.若，则点为线段的中点 D.两点确定一条直线
【解答】解：A、两点之间，线段最短，故本选项说法错误；B、同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，故本选项说法错误；C、若AC＝BC且点A、B、C共线时，则点C为线段AB的中点，故本选项说法错误；D、两点确定一条直线，故本选项说法正确．
故选：D．
11.（明德）点在线段上，下列条件下不能确定点是线段中点的是( )
A. B. C. D.
【解答】解：A、AC＝BC，则点C是线段AB中点；B、AC+BC＝AB，则C可以是线段AB上任意一点；
C、AB＝2AC，则点C是线段AB中点；D、BC＝AB，则点C是线段AB中点．
故选：B．
12.（明德）下列说法：①经过两点有且只有一条直线；②两点之间，直线最短；③连接两点之间的线段，叫做这两点的距离；④等角的余角相等.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解：①经过两点有且只有一条直线，原说法正确；②两点之间，线段最短，原说法错误；
③连接两点间的线段的长度叫两点间的距离，原说法错误；④等角的余角相等，原说法正确．
所以正确的说法有2个．
故选：B．
13.（广益）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，沿线段________搭建最短，理由是________.

【解答】解PM，点到直线距离，垂线段长度最短．
题型四 算术方法求线段长度（★★★）
14.（师大）如图，已知线段，为的中点，点在线段上且，则线段的长为( )
A. B. C. D.
【解答】解：选：C．
15.（青竹湖）如图，已知点C在线段AB上，线段，线段BC的长是线段AC长的两倍，点D是线段AB的中点，则线段CD的长是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解：选：B．
16.（西雅）已知线段，是的中点，在线段上有一点，且，则的长是( )
A. B.或 C.或 D.或
【解答】解：∵AB＝12cm．C是AB的中点，∴AC＝＝6cm，
当点D在AC之间时，AD＝AC﹣CD＝6﹣2＝4cm；
当点D在BC之间时，AD＝AC+CD＝6+2＝8cm．
故AD的长为8cm或4cm．
故选：C．
17.（长梅）如图，已知M是线段AB的中点，N在AB上，，若，求AB的长.

【解答】解：∵MN＝AM，MN＝2m，∴AM＝5cm，∵M是线段AB的中点，∴AB＝2AM＝10cm，
即AB的长是10cm
18.(郡维)已知：如图，两点把线段分成三部分，是的中点，若，求：线段的长；

【解答】解：∵B、C两点把线段AD分成2：4：3的三部分，2+4+3＝9，∴AB＝AD，BC＝AD，CD＝AD，又∵CD＝6，∴AD＝18，∵M是AD的中点，∴MD＝AD＝9，
∴MC＝MD﹣CD＝9﹣6＝3．
19. （青竹湖）如图，已知点为上一点，，，、分别是、的中点，求的长.

【解答】解：∵AC＝18cm，CB＝AC，∴BC＝×18＝12cm，则AB＝AC+BC＝30cm，
∵D、E分别为AC、AB的中点，∴AD＝AC＝9cm，AE＝AB＝15cm，
∴DE＝AE﹣AD＝15﹣9＝6cm，答：DE的长是6cm．
20.（雅礼）在直线l上取 A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度。
【解答】解：∵AB＝10厘米，AC＝2厘米，点M、点N分别是AB、AC中点，∴AM＝×10＝5厘米，
AN＝×2＝1厘米，
①点C在线段AB上时，MN＝AM﹣AN＝5﹣1＝4厘米，
②点C不在线段AB上时，MN＝AM+AN＝5+1＝6厘米，
综上所述，MN的长度为4厘米或6厘米．
21.（青竹湖）如图，已知，点是线段的中点，点为线段上的一点，点为线段的中点，。
（1）求线段的长；
（2）求线段的长。

【解答】解：（1）∵点E为线段DB的中点，EB＝6．∴DE＝EB＝6；
（2）∵AB＝40，C是AB的中点，∴BC＝AB＝20，又∵E为BD的中点，EB＝6，
∴BD＝2EB＝12，∴CD＝BC﹣BD＝20﹣12＝8．
22.（周南）如图，、是线段上两点，已知，、分别为、的中点，且，
（1）求线段的长；
（2）求线段的长．

【解答】解：（1）∵AC：CD：DB＝1：2：3,AC+CD+DB＝AB＝12cm，∴CD＝AB＝4cm；
（2）解：∵AC：CD：DB＝1：2：3，AB＝12cm，∴AC＝2cm，CD＝4cm，DB＝6cm，
∵M、N分别为AC、DB的中点，∴MC＝AC＝1cm，DN＝BD＝3cm，
∴MN＝MC+CD+DN＝8cm．
23.（青竹湖）如图，已知线段上有两点C、D，且，M、N分别是线段AC、AD的中点，若，，且a、b满足.
(1)求AB，AC的长度；
(2)求线段MN的长度.

【解答】解：（1）由题意可知：（a﹣10）2+|b﹣6|＝0，∴a＝10，b＝6，
∴AB＝10cm，AC＝6cm；

（2）∵BD＝AC＝6cm，∴AD＝AB﹣BD＝4cm，又∵M、N是AC、AD的中点，
∴AM＝3cm，AN＝2cm．∴MN＝AM﹣AN＝1cm．
题型四 方程方法求线段长度（★★★★）
24.（中雅）如图，点C是线段AB上一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，如果MC比NC长2cm，则AC比BC长( )

A.2cm B.4c m C.1cm D.6cm
【解答】解：选：B．
25.（长郡）如图，点，在线段上，且满足．点，分别为线段，的中点，如果，求线段的长度．

【解答】解：∵CD＝AD＝BC，∴AD＝4CD，BC＝6CD，
设CD为，则AD＝4，BC＝6，∵点E、F分别为线段AC，BD的中点，
∴EC＝AC＝，DF＝BD＝；∵EF＝5cm，∴EF＝EC+CD+DF＝++＝10，
∴＝2，∴AB＝9CD＝9×2＝18（cm）．
26.（广益）如图，已知线段AB的长度是x cm，线段BC的长度比线段AB的长度的2倍多1cm，线段AD的长度比线段BC长度的2倍少1cm，若图形中所有线段之和为50cm，求线段BC，AD和CD的长.


【解答】解：根据题意得，BC＝（2x+1）cm，AD＝2BC﹣1＝2（2x+1）﹣1＝（4x+1）cm，
CD＝DA+AB+BC＝（4x+1）+x+（2x+1）＝（7x+2）cm，
∵图形中所有线段之和为50cm，
∴AD+BD+CD+AB+AC+BC＝AD+AD+AB+CD+AB+AB+BC+BC＝2AD+3AB+2BC+CD＝2（4x+1）+3x+2（2x+1）+7x+2＝50，解得：x＝2，
∴BC＝5，AD＝9，CD＝16．
题型五:角的概念与单位换算
27.（雅礼）下列四个图中。使用、、三种方法表示同一个角的是（ ）.

A. B． C． D．
【解答】解：选：D．
28.（广益）某轮船在O处，测得灯塔A在北偏东40°的方向上，测得灯塔B在南偏东60°的方向上，则_________°.
【解答】解：如图，∵灯塔A在北偏东40°的方向上，灯塔B在南偏东60°的方向上，
∴∠MOA＝40°，∠BON＝60°，∴∠AOB＝180°﹣∠MOA﹣∠BON＝80°．
故答案是：80°．

29.（中雅）如图所示，，则∠β与关系为( )
A.互补 B.互余 C.和为45° D.和为22.5°

【解答】解：选：B．
30.（广益）下午5：30时，时针与分针所成的夹角为__________度.
【解答】解：5：30时，时针与分针相距0.5份，时针与分针所成的夹角0.5×30°＝15°，
故答案为：15°．
31.（明德）钟表在3点30分时，它的时针和分针所成的角是( )
A.90° B.75° C.60° D.45°
【解答】解：钟表在3点30分时，它的时针和分针所成的角是30°×2.5＝75°，故选：B．
32.（广益）已知，则的余角________。
【解答】解：∵∠A＝46°28′，∴∠A的余角＝90°﹣46°28′＝43°32′．
故答案为：43°32′．
33.（青竹湖）计算：
【解答】解：答案为：27.24°．
34.（广益）一个锐角是，它的余角是__________度.
【解答】解：答案为：69.74．
35.（长郡）用度、分、秒表示为( )
A. B. C. D.
【解答】解：21.24°＝21°+0.24×60′＝21°+14′+0.4×60″＝21°14′24″，
故选：A．
36.（中雅）计算
(1) (2)
【解答】解：(1)答案为：;(2))答案为：．
题型六：折叠中的角度计算
37.（广益）如图1拿一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕，如果，则______.

【解答】解:答案为：110°．
38.（中雅）如图所示，将长方体ABCD的一角沿AE折叠，若，那么__________.

【解答】解:答案为：29°．
39.（广益）有一条长方形纸带，按如图所示沿折叠，若，则纸带重叠部分中________度.

【解答】解：∵长方形纸带，∴BE∥AF，∴∠1＝∠CAF＝40°，
由于折叠可得：∠CAB＝，
故答案为：70
40.（青竹湖）如图，将三角形ABC纸片沿MN折叠，使点A落在点处，若，则的度数是(　　)
A. B. C. D.

【解答】解：∵将三角形ABC纸片沿MN折叠，使点A落在点A′处，∴∠A′MN＝∠AMN＝50°，
∴∠A′MB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
故选：D．
题型七 算术方法求角度
41.（雅礼）如图，已知直线，相交于点，如果，平分，那么__________度.

【解答】解:答案为：100°．
42.（南雅）已知，，则______.
【解答】解：当OC在∠AOB内部，因为∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，所以∠AOC为20°；
当OC在∠AOB外部，因为∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，所以∠AOC为80°；
故∠AOC为20°或80°．
43.（周南）如图，，，则的度数为（　　）
A. B. C. D.

【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝140°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝50°，
∵∠BOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣50°＝40°．
故选：D．
44.（一中）如图，若将三个同样大小的正方形的一个顶点重合放置，则的度数为（ ）
A. B. C. D.

【解答】解：∵∠BOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°,∠EOC＝90°﹣∠EOF＝90°﹣40°＝50°
又∵∠1＝∠BOD+EOC﹣∠BOE,∴∠1＝60°+50°﹣90°＝20°
故选：B．
46.（广益）如图，已知，，OE为∠BOD的平分线，，求∠AOC的度数.

【解答】解：∵OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝17°，∴∠BOD＝2∠BOE＝34°．
∴∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣∠BOD＝360°﹣90°﹣90°﹣34°＝146°．
47.（青竹湖）如图，已知为直线上一点，，平分，.
(1)求的度数；
(2)是否平分？说明你的理由.

【解答】解：（1）∵∠AOC＝50°，OD平分AOC，∴∠DOA＝∠DOC＝∠AOC＝25°，
∴∠BOD＝180°﹣∠DOA＝180°﹣25°＝155°；
（2）OE是∠BOC的平分线．理由如下：∵∠DOE＝90°，∠DOC＝25°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠DOC＝90°﹣25°＝65°，∵∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，
∴∠COE＝∠BOE，∴OE是∠BOC的平分线；
48.（中雅）如图，，平分，平分，，求的度数.

【解答】解：25°．
49.（明德）如图，已知和都是的余角，、分别为和的角平分线，如果，
(1)求的度数； (2)求的度数.

【解答】解：∵∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，∴∠AOB+∠BOC＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，
∴（∠AOB+∠BOC）+（∠COD+∠BOC）＝180°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣130°＝50°；
（2）解：∵∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角，∠BOC＝50°，
∴∠AOB＝90°﹣50°＝40°，∠COD＝90°﹣50°＝40°，
∵OE、OF分别是∠AOB、∠COD的平分线，∴∠AOE＝∠AOB＝×40°＝20°，
∠DOF＝∠COD＝×40°＝20°，∴∠EOF＝∠AOD﹣∠AOE﹣∠DOF＝130°﹣20°﹣20°＝90°．
50.（雅礼）如图，，，OA平分，OB平分.
(1)求的度数；
(2)求的度数.

【解答】解：（1）∵∠AOE+∠FOB＝∠EOF﹣∠AOB，∠AOB＝115°，∠EOF＝155°
∴∠AOE+∠FOB＝155°﹣115°＝40°故∠AOE+∠FOB度数为40°
（2）∵OA平分∠EOC，OB平分∠DOF,∴∠AOE＝∠AOC，∠DOB＝∠FOB，∴∠AOE+∠FOB＝∠AOC+∠DOB，∵∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠DOB）＝∠AOB﹣（∠AOE+∠FOB），由（1）知∠AOE+∠FOB度数为40°，∴∠COD＝115°﹣40°＝75°，故∠COD度数为75°
51.（雅礼）如图1所示已知，，平分，平分；
（1） 求，
（2）如图2，，将绕点向下旋转，使，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数，若能，求出其值；若不能，试说明理由.
（3）如图3若，，分别作，，的平分线，，能否求出的度数，若能，求的度数；若不能，试说明理由.

【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝×120°＝60°，
∠NOC＝∠BOC＝×30°＝15°，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝60°﹣15°＝45°；（3分）
（2）能．∵∠AOB＝90°，∠BOC＝2x°，∴∠AOC＝90°+2x°，（4分）
∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝（90°+2x°）＝45°+x，
∴∠CON＝∠BOC＝x，（5分）∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝45°+x﹣x＝45°；（6分）
（3）能．∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝α+β，（7分）∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝（α+β），∠CON＝∠BOC＝β，（8分）
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α，即∠MON＝α．（9分）
题型八 方程方法求角度
52.（雅实）是平角，射线平分，射线平分，且.则的度数为______.

【解答】解：∵，∴设＝x°，＝4x°,则2x+4x=180,∴x＝30，∴°,平分，∴°,∴°.
53.（广益）一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠2的度数为( )
A.20° B.22.5°
C.25° D.67.5°

【解答】解：根据图形得出：∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，∵∠1的度数是∠2的3倍，∴设∠2＝x°，∠1＝3x°,则x+3x=90,∴x＝22.5，
故选：B．
54.（中雅）如图所示，已知，∠AOC的余角比∠BOC小30°.
(1)求∠AOB的度数；
(2)过点O作射线OD，使得，请你求出∠COD的度数.

【解答】解：（1）设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，依题意列方程90°﹣2x＝x﹣30°，
解得：x＝40°，即∠AOB＝40°．
（2）由（1）得，∠AOC＝80°，①当射线OD在∠AOC内部时，∠AOD＝20°，
则∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝60°；
②当射线OD在∠AOC外部时，∠AOD＝20°，则∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
55.（长郡）角度计算题：如图，已知O为AD上一点，与互补，ON平分，OM平分，若是，求与的度数.





【解答】解：设∠AOB＝x°，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC＝180°﹣x°．
由题意，得﹣＝42．∴180﹣x﹣x＝84，∴﹣2x＝﹣96，解得x＝48，
故∠AOB＝48°，∠AOC＝132°．
56.(长郡)已知：如图，被分成，平分，平分，且，求的度数.

【解答】解：设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，
则∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，
∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，又∵∠MON＝90°，∴6x＝90°，∴x＝15°，
∴∠AOB＝135°．
57.（雅礼）如图，直线、相交于点，.
(1)若，证明：；
(2)若，求的度数.

【解答】证明：（1）∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∴∠1+∠AOC＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°，∴ON⊥CD；
（2）∵∠1＝∠BOC，∴∠BOM＝2∠1＝90°，解得：∠1＝45°，∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°．