初中数学第八章 二元一次方程组综合与测试练习

专题13  《二元一次方程组》名校重难点题型分类

题型1：二元一次方程（组）的定义

1.（湘一芙蓉）若方程是二元一次方程，则，的值分别为（    ）

A．2，﹣1 B．﹣3，0 C．3，0 D．±3，0

【解答】解：由（m﹣3）x|m|﹣2＝3yn+1+4是二元一次方程，得，解得，故选：B．

2. （广益）下列方程：①；②；③；④；⑤．其中，二元一次方程有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：①2x﹣3y＝5是二元一次方程．故选：A．

3.（广益） 若是关于x、y的二元一次方程，则a、b的值分别是（　　）

A．a＝，b＝ B．a＝，b＝1 C．a＝2，b＝1 D．a＝2，b＝

【解答】解：根据题意，得|a|﹣1＝1，b2＝1，且a+2≠0，b﹣1≠0，解得，a＝2，b＝﹣1．故选：D．

题型2：告诉方程组的解，求参数

4.（长郡）已知是方程kx-y=3的一个解，那么k的值是(　　)

A.2     B.-2     C.1     D.-1

【解答】解：把代入方程kx﹣y＝3，得：2k﹣1＝3，解得k＝2．故选：A．

5.（中雅）关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值是(   )

A.    B.     C.     D.

【解答】解：把x＝1代入x﹣y＝3得：y＝﹣2，把x＝1，y＝﹣2代入x+my＝5得：1﹣2m＝5，

解得：m＝﹣2，故选：D．

6.已知是方程组的解，则代数式的值为__________.

【解答】解：把代入方程组得：，①+②得：a+b＝﹣3，①﹣②得：5a﹣5b＝11，即a﹣b＝，则原式＝﹣，故答案为：﹣

7.（中雅）已知方程组，由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为，

(1)求、的值；

(2)求原方程组的解.

【解答】解：（1）将x＝﹣1，y＝1代入方程组中的②得：﹣4﹣b＝﹣2，解得：b＝﹣2，

将x＝6，y＝﹣3代入方程组中的①得：6a﹣9＝9，解得：a＝3；

（2）方程组为，①×2﹣②×3得：﹣6x＝24，解得：x＝﹣4，将x＝﹣4代入①得：y＝7，则原方程组的解为．

8.（怡雅）解方程：时，甲由于粗心，看错了方程组中的，得到答案：；乙由于粗心看错了方程组中的得到解为：，求：

(1)、的值；

(2)、的正确答案.

【解答】解：（1）将代入3x﹣by＝6得b＝2，将代入ax+4y＝21得a＝5．故a＝5，b＝2；

（2）由（1）知，原方程组为：，①+②×2得：11x＝33，解得x＝3，将x＝3代入②得y＝1.5．所以原方程组的解为．

题型3：代入消元、加减消元法解二元一次方程组

9.（雅礼）已知二元一次方程，用含的式子表示的形式是__________.

【解答】解：把方程2x﹣3y＝﹣4移项得，﹣3y＝﹣4﹣2x，方程左右两边同时除以，得到y＝．

10.（长郡）解方程组

（1）      （2）

【解答】解：（1）①×3+②×2得：13x＝52，解得：x＝4，把x＝4代入①得：y＝3，则方程组的解为；

（2）原方程组整理得：，①+②得：4x＝12，解得：x＝3，把x＝3代入①中得：

3+4y＝14，解得：，∴原方程组的解为．

11．（雅礼）用适当的方法解下列方程组：

（1）                         （2）

【解答】解：（1），把①代入②，得7x﹣6x＝2，解得：x＝2，

把x＝2代入①，得y＝6，所以方程组的解是；

（2），①﹣②，得﹣y＝﹣2，解得：y＝2，把y＝2代入①，得3x﹣4＝2，解得：x＝2，

所以方程组的解是．

12.（中雅）解下列方程组：.

【解答】解：方程组整理得：，①+②得：6x＝48，解得：x＝8，把x＝8代入①得：y＝8，

则方程组的解为．

题型4：解含参数的二元一次方程组

13．（中雅）已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵关于x、y的方程组与有相同的解，∴将2x+y＝0和x﹣y＝3联立方程组，解得：，将ax+5y＝4和5x+by＝1联立方程组，把代入方程组得：，解得：，故选：D．

14.（长梅)已知关于x、y的二元一次方程组与的解相同，求a、b的值.

【解答】解：解方程组得，则有，解得．

故a的值为1，b的值为﹣2．

15.（明德）若关于，的方程组的解互为相反数，则的值为(   )

A.    B.     C.     D.

【解答】解：解方程组，得：，因为关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，可得：2k+3﹣2﹣k＝0，解得：k＝﹣1．故选：A．

16．（长郡）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值是（　　）

A．﹣ B． C． D．﹣

【解答】解：解方程组得：，∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，∴代入得：14k﹣6k＝6，解得：k＝，故选：B．

17．（南雅）若关于，的二元一次方程组的解满足。

（1）求 a 的值；

（2）m 为任意实数，当 m 为何值时，有最小值？求出这个最小值．

【解答】解：(1)，两式相加得：，则，∴；

(2)∵，∴，当时，，∴当时，有最小值为2。

18.（雅礼）已知关于x，y的二元一次方程组的解x与y的值满足x+3y＝2，试求m的值和方程组的解．

【解答】解：，两式相加得，x+3y＝4﹣m，∵x+3y＝2，∴4﹣m＝2，∴m＝2，解，

①+②×2得，7x＝11，解得x＝，把x＝代入②得，﹣y＝3，解得，y＝，

方程组的解为．

19.（广益） 已知关于，的方程组

(1)试用含的式子表示方程组的解；

(2)若该方程组的解也是方程的解，求的值。

【解答】解：（1）解方程组，①﹣2×②得：5y＝﹣5m+5，解得y＝﹣m+1，

把y＝﹣m+1代入②得：x﹣（﹣m+1）＝4m+1，解得x＝3m+2，∴方程组的解为：，

（2）把代入x+y＝6，得3m+2﹣m+1＝6，解得．

题型5：含参数的方程组的唯一解、无数解、无解问题

20．（明德）方程组的解的情况是（　　）

A．一组解 B．二组解 C．无解 D．无数组解

【解答】解：观察方程组，发现第二个方程可以变形为x+2y＝1.5，显然该方程组无解．

故选：C．

21．（广益）若关于x，y的二元一次方程组无解，则a的值为（　　）

A． B．1 C．﹣1 D．3

【解答】解：由②得：x＝3+3y，③把③代入①得：a（3+3y）﹣y＝4，

整理得：（3a﹣1）y＝4﹣3a，∵方程组无解，∴3a﹣1＝0，∴a＝．故选：A．

2.（雅礼）选取一组a、c值,使方程组

①有无数解；②无解；③有唯一解。

【解答】解：①当＝＝时，方程组有无数个解．∴a＝10，c＝14．

②当＝≠时，方程组无解，此时a＝10，c≠14，∴a＝10，c＝9．

③当≠≠，∴a≠10，c≠14即可，∴a＝8，c＝8

题型6：二元一次方程组的应用题

23.（明德）通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟．假设通讯员到达某地的路程是x千米，规定的时间为y小时，则可列出方程组（　　）

A．  B．  C． D．

【解答】解：设通讯员到达某地的路程是x千米，规定的时间为y小时，由题意得：

，故选：B．

24.（长郡）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具设生产甲种玩具零件x天，乙种玩具零件y天，则有（　　）

A．     B．    C．   D．

【解答】解：根据总天数是60天，可得x+y＝60；根据乙种零件应是甲种零件的2倍，可列方程为2×24x＝12y．则可列方程组为．故选：C．

25．（广益）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：设每只雀有x两，每只燕有y两，由题意得，．故选：C．

26.（明德）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：设绳长x尺，木长为y尺，依题意得，故选：B．

27．（广益）一艘船有一漏洞，水以均匀的速度进入船内，船员发现漏洞时船内已经积水，如果9个人掏水，4小时掏完，如果6个人掏水，10小时才能掏完，假定每个人向外掏水速度一样，现要在1个小时内完成，需要（　　）人？

A．21 B．22 C．23 D．24

【解答】解：设每个人每小时掏水量为1，漏洞每小时进水量为x，原有积水量为y，

依题意得：，解得：，∴＝24．故选：D．

28.（广益）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（　　）

A．                           B． 

C．                           D．

【解答】解：由题意可得，，故选：B．

29.（明德）为了防范新型冠状病毒的传播，小唐的爸爸用1200元资金为全家在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩两种口罩共300个，该大型药店的普通医用口罩、N95口罩成本价和销售价如表所示：

（1）小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩各多少个？

（2）销售完这300个普通医用口罩、N95口罩，该大型药店共获得多少利润？

【解答】解：（1）设小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩x个，N95口罩y个，

依题意，得：，解得：．

答：小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩200个，N95口罩100个；

（2）200×（2﹣0.8）+100×（8﹣4）＝640（元），答：该超市共获利润640元．

30.（麓山）某电器商场销售进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，如下表所示是近二周的销售情况(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)：

(1)求、两种型号的电风扇的销售单价；

(2)若商场再购进这两种型号的电风扇共台，并且全部销售完，该商场能否实现这两批电风扇的总利润恰好为元的目标？若能，请给出相应的采购方案：若不能，请说明理由.

【解答】解：（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，

依题意，得：，解得：．

答：A种型号的电风扇的销售单价为150元，B种型号的电风扇的销售单价为260元．

（2）设再次购进A种型号的电风扇m台，B种型号的电风扇n台，

依题意，得：，解得：．

答：该商场能实现这批电风扇的总利润恰好为8040元的目标，采购方案为：购进9台A种型号的电风扇、111台B种型号的电风扇．

31．（广益）已知某物流公司租用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；租用1辆A型车和

2辆B型车载满货物一次可运货11吨．该物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，每辆

车都载满货物，且恰好一次运完．

（1）问租用1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？

（2）为完成运输任务，且同时租用A型与B型两种车辆，请你帮该物流公司设计租车方案．

【解答】解：（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨，

由题意得：，解得：x＝3，y＝4．

答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨．

（2）由题意和（1）得：3a+4b＝26，∵a、b均为非负整数，∴或，

∴共有2种租车方案：①租A型车6辆，B型车2辆，②租A型车2辆，B型车5辆．

答：租A型车6辆，B型车2辆，或租A型车2辆，B型车5辆．

32．（一中新华都）武汉新冠肺炎疫情发生后，全国人民众志成城抗疫救灾．某公司筹集了抗疫物资120吨打算运往武汉疫区，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）

（1）全部物资一次性运送可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 　4　辆；

（2）若全部物资仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费9600元，求甲、乙两种车型各需多少辆？

（3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为14辆，且一次性运完所有物资，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的总运费为多少元？

【解答】解：（1）（120﹣5×8﹣5×8）÷10＝4（辆）．答：丙型车4辆．

（2）设甲种车型需x辆，乙种车型需y辆，根据题意得：，解得．

答：甲种车型需8辆，乙种车型需10辆．

（3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，由题意得5a+8b+10（14﹣a﹣b）＝120，

即a＝4﹣b，∵a、b、14﹣a﹣b均为正整数，∴b只能等于5，∴a＝2，14﹣a﹣b＝7，∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，则需运费450×2+600×5+700×7＝8800（元），

答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元．

33．（南雅）某工厂现有货物 35 吨，要全部运往灾区支援灾区重建工作．计划要同时租用 A、B 两种型号的货车，一次运送完全部货物，且每辆车均为满载．已知在货车满载的情况下，3 辆 A 型货车和1辆B型货车一次共运货13吨；2辆A型货车和3辆B 型货车一次共运货18吨．根据以下信息回答下列问题：

（1）一辆 A 型车和一辆 B 型车各能满载货物多少吨？

（2）为了按计划完成本次货物运送，该工厂要同时租用 A、B 两种型号的货车各几辆？请列出所有的租车方案。

【解答】解：(1)设一辆A型车和一辆B型车各能满载货物x，y吨，，解得：

答：一辆A型车和一辆B型车各能满载货物3，4吨

(2)按计划完成本次货物运送，该工厂要同时租用A、B两种型号的货车各a，b辆，

∵a，b均为正整数，，，

方案1：A车1辆，B车8辆；方案2：A车5辆，B车5辆；方案3：A车9辆，B车2辆。