2021-2022学年重庆市綦江区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年重庆市綦江区七年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 下列各图中，与是对顶角的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列实数中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 要调查某区七年级名学生对“双减”政策的了解情况，下列调查方式最合适的是(    )

A. 在某校七年级学生中随机选取名学生
B. 在全区名七年级学生中随机选取名学生
C. 在全区名七年级学生中随机选取名男生
D. 在全区名七年级学生中随机选取名女生

4. 举世瞩目的北京冬季奥运会已成功举行，特别是河北省张家口市凭借自己的实力和北京市联合举办本届冰雪盛会，以下表述能够准确表示张家口市地理位置的是(    )

A. 距离北京市千米 B. 位于中华人民共和国境内河北省
C. 位于东经，北纬 D. 西南与山西省接壤

5. 下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 九章算术卷八方程第七题原文为：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五直金八两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：现有只牛、只羊，共价值两．只牛、只羊，共价值两．那么每只牛、羊各价值多少？设每只牛、羊价值分别为，，则可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 下列命题中
   相等的角是对顶角；无理数就是开方开不尽的数；同旁内角互补；数轴上的点与实数一一对应．是真命题的有(    )

A.  个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 某商场购进商品后，加价作为销售价，商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖决定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款元，两种商品原售价之和为元，设两种商品的进价分别为、元，根据题意所列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，数轴上有，，，四点，则这四点中所表示的数最接近的是(    )
    

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

10. 如图，在平面直角坐标系中，，，，根据这个规律，探究可得点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，，与相交于点，且，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如果关于、的方程组中，且关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共4小题，共16分）

13. 某校随机抽查若干名学生，测试了分钟仰卧起坐的次数，把所得数据绘制成频数分布直方图如图，则仰卧起坐次数不小于次且小于次的频数等于______．

14. 如图，将直角三角板与直尺贴在一起，直尺边沿，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数为______．

15. 按如图的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算．若某运算进行了次就停止了，则的取值范围是______．

16. 为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了支钢笔，本笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包裹进行发放，一个甲类包裹里有支钢笔，本笔记本和套尺规套装，一个乙类包裹里有支钢笔，本笔记本和套尺规套装，一个丙类包裹里有支钢笔，本笔记本和套尺规套装．已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数，并且甲类的个数低于个，乙类个数低于个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为______．

三．解答题（本题共9小题，共86分）

17. 计算．
    计算：；
    ．
18. 解方程组：．
    解不等式组，并把解集在数轴上表示．
19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
    分别写出下列各点的坐标： ______； ______； ______；
    请将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，请画出平移后的．
    若点是内部一点，则内部的对应点的坐标为______；
    求的面积．

20. 在平面直角坐标系中，已知，．
    若点在轴上，且，求满足条件的点的坐标；
    若点在轴上，且，求满足条件的点的坐标；
    若点在坐标轴上，且，直接写出点的坐标．
21. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间单位：小时进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图：
    
    根据图中提供的信息，解答下列问题：
    ______，组对应的圆心角度数为______；
    补全频数分布直方图；
    请估计该校名学生中每周的课外阅读时间不小于小时的人数．
22. 对于任意一个实数，我们用表示小于的最大整数．
    例如：，；．
    填空：______，______，______；
    若，都是整数，且，，求的平方根；
    如果，求的取值范围．
23. 一个三位正整数，其各位数字均不为零且互不相等．若将的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为的“友好数”，如：的“友好数”为“”；若从的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为的“和睦数”，如：的“和睦数”为．
    求证：与其“友好数”的差能被整除；
    若一个三位正整数，其百位数字为，十位数字为、个位数字为，且各位数字互不相等，若的“和睦数”与之差为，求的值．
24. 某零食店销售牛轧糖、雪花酥种糖果，如果用元可购买千克牛轧糖和千克雪花酥，用元可购买千克牛轧糖和千克雪花酥．
    求牛轧糖、雪花酥每千克的价格分别为多少元？
    已知该零食店在月共售出牛轧糖千克、雪花酥千克．春节将近，月份超市将牛轧糖每千克的售价提升元，雪花酥的价格不变，结果与月相比牛轧糖只销售了千克，雪花酥销量上升千克，销售总额超过了月份销售总额，求的取值范围．
25. 已知：，一块直角三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．
    如图，若，，则______；
    若的平分线交边于点，
    如图，当，且时，试说明：；
    如图，当保持不变时，试求出与之间的数量关系．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据对顶角的定义具有共同顶点，两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，选项C符合题意．
故选：．
根据对顶角的定义解决此题．
本题主要考查对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

3.【答案】 

【解析】解：要调查某区九年级名学生对“双减”政策的了解情况，
只抽取某学校的学生不能够反应出全区的学生，而只抽取男生或者女生都具有片面性，
故B选项在全区名七年级学生中随机选取名学生最合适，
故选：．
根据样本抽取的原则判断即可．
本题主要考查全面调查和抽样调查的知识，熟练掌握抽样原则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：能够准确表示张家口市这个地点位置的是：东经，北纬．
故选：．
根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．
本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解坐标的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项符合题意；
B.不妨设，
则，故本选项不符合题意；
C.不妨设，
则，故本选项不符合题意；
D.不妨设，
则，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质判定即可．
本题主要考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于进行分类讨论．
 

6.【答案】 

【解析】解：只牛、只羊，共价值两，
；
只牛、只羊，共价值两，
．
可列方程组为．
故选：．
利用总价单价数量，结合“只牛、只羊，共价值两；只牛、只羊，共价值两”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：相等的角不一定是对顶角，本小题说法是假命题；
无理数是无限不循环小数，本小题说法是假命题；
两直线平行，同旁内角互补，本小题说法是假命题；
数轴上的点与实数一一对应，本小题说法是真命题；
故选：．
根据对顶角、无理数的概念、平行线的性质、实数与数轴判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
故选：．
设两种商品的进价分别为、元，结合“购进商品后加价作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款元，两种商品原售价之和为元”列出方程组．
本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意找出题目中所蕴含的等量关系是列出方程组．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
点比较合适，
故选：．
根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，
点的横坐标依次是、、、、、、，纵坐标依次是、、、、、、、、，四个一循环，
，
故点坐标是．
故选：．
由图形得出点的横坐标依次是、、、、、、，纵坐标依次是、、、、、、、、，四个一循环，继而求得答案．
本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形得出规律．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，
，
，
，，，
，
，，
，
．
故选：．
过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，，依此即可求解．
本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
 

12.【答案】 

【解析】解：解方程组得，
，
，
，
不等式组整理得，
关于的不等式组有且只有个整数解，
，
，
，
整数为和，
则符合条件的整数的和是，
故选：．
解方程组求得、的值，根据得到关于的不等式，解不等式求得其解集为；解不等式组，结合有且只有个整数解得出，从而得出，得出整数的值为、，进一步即可得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组的能力，并据此得出的最终取值．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
仰卧起坐次数不小于次且小于次的频数等于．
故答案为：．
应用频数率分布直方图中的信息进行判定即可得出答案．
本题主要考查了频数率分布直方图，根据频数率分布直方图中的信息进行求解是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：直尺的两边平行，，
，
，
．
故答案为：．
根据平行线的性质和，可以计算出的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据运算程序进行了次就停止了，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设甲类包裹有个，乙类包裹有个，丙类包裹有个，根据题意，得：
，
，得，
解得：，
将代入，得：
，
解得：，
，
，，
，
解得：，
为正整数，
的取值范围为：的整数，
又，，、均为整数，
既为的倍数，又为的倍数，
，
当时，
，
，
所有包裹里尺规套装的总套数为：
套．
故答案为：．
设甲类包裹有个，乙类包裹有个，丙类包裹有个，根据题意列出、、的三元一次方程组，用表示、，进而由、的取值范围列出的不等式组，求的取值范围，再根据、与的关系式和、为整数求得的整数值，从而求出、的值，再进行计算即可．
本题主要考查了一元一次不等式组及三元一次方程组的应用，关键是正确列出不等式组和方程组，正确求不定方程的特殊解．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及算术平方根、立方根定义计算即可求出值；
原式利用算术平方根、立方根定义，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，算术平方根、立方根，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：整理，得：，
，得：，
解得，
将代入，得：，
解得，
方程组的解为；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
将不等式组的解集表示数轴上如下：

不等式组无解． 

【解析】整理成一般式，再利用加减消元法求解即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：      ；
如图，为所作；

；
的面积． 

【解析】解：，，；
故答案为，，；
见答案；
点对应点的坐标为；
故答案为；
见答案。
根据第二象限和第三象限内点的坐标特征写出、、的坐标；
利用点的坐标变换规律写出点、、的坐标，然后描点即可；
利用中的平移规律求解；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 

20.【答案】解：点在轴上，
，
解得，
点的坐标为或，
点在轴上，
，
解得，
点的坐标为或，
若点在轴上，则，
解得，
所以，点的坐标为或，
若点在轴上，则，
解得，
点的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或或． 

【解析】利用三角形的面积公式求出的长度，即可求得坐标；
利用三角形的面积公式求出的长度，即可求得坐标；
分点在轴上和轴上两种情况利用三角形的面积公式求出的长度，再分两种情况讨论求解．
本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点位于不同的位置分类讨论是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：本次调查的人数为：，
，
，
组对应的圆心角度数为：，
故答案为：，；
组的频数为：，
补全的频数分布直方图如右图所示；
人，
答：估计该校名学生中每周的课外阅读时间不小于小时的有人．
根据组的频数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出的值，以及组对应的圆心角度数；
根据组所占的百分比和中的结果，可以计算出组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
根据直方图中的数据，可以计算出该校名学生中每周的课外阅读时间不小于小时的人数．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：表示小于的最大整数，所以：，
表示小于的最大整数，所以：，
表示小于的最大整数，所以：，
故答案为：，，；
，都是整数，且，
，
又，都是整数，且，
，
解得，，
，
的平方根为，
的平方根为；
，
，
即．
根据所表示的意义结合整数解可得答案；
根据所表示的意义，结合，都是整数，且，，可求出、的值，再求出的平方根；
由的意义可得的取值范围，进而确定的取值范围．
本题考查估算无理数的大小、平方根，理解平方根以及所表示的意义是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：设百位上的数字为，十位上的数字为，个位数字为，其“友好数”为．
则，
．
．
能被整除．
与其“友好数”的差能被整除．
设的“和睦数”为，
由题意得，，

．
．
．
整理得，
，且，均取整数．
，．
的值为． 

【解析】把各位上的数字表示出来，根据题意把的“友好数”也表示出来，作差进行判断即可；
把的“和睦数”表示出来，与作差后，得到关于，的方程，然后根据，的取值进行讨论．
本题考查了新定义的问题，解答这类题目的关键是正确理解新定义的含义，并根据新定义意义进行解答．
 

24.【答案】解：设每千克牛轧糖的价格为元，雪花酥的价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：每千克牛轧糖的价格为元，雪花酥的价格为元．
由题意得，，
解得，，
的取值范围是． 

【解析】设每千克牛轧糖的价格为元，雪花酥的价格为元，根据“用元可购买千克牛轧糖和千克雪花酥，用元可购买千克牛轧糖和千克雪花酥”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可求出牛轧糖、雪花酥每千克的价格；
根据销售总额销售单价销售数量，由题意列出一元一次不等式，则可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准不等关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，

，
，
，
，
，
，
，
，
则，
故答案为：；
，，
，
，
，
，
，
平分，
，
在直角三角形中，，
，
，
，
；
当保持不变时，总有，
在直角三角形中，，
，
，
，且，
平分，
，
．
过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得；
根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；
当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线定义，即可求出与之间的数量关系．
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．