2021-2022学年广东省深圳市罗湖外国语学校七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省深圳市罗湖外国语学校七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 新冠病毒的直径最小大约为米，这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列说法中正确的是(    )

A. 相等的角叫对顶角
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 三角形的一条中线将三角形面积平分
D. 两直线被第三条直线所截，则同位角相等

5. 下列说法中正确的是(    )

A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B. “两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是必然事件
C. “概率为的事件”是不可能事件
D. “长度分别是，，的三根木条能组成一个三角形”是必然事件

6. 如果是完全平方式，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升分钟，则油箱中剩余油量 升与流出时间分钟的关系式是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米秒，则当与全等时，的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 如图，在四边形中，若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：；；；；若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共14分）

11. 计算：______．
12. 已知一个角是，则这个角的余角的度数是______．
13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，那么的周长为______．

14. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．

15. 如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为______．

16. 某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户月份交水费元，则所用水为______ 方
     

17. 如图，在四边形中，，，在边，上分别找一点，使的周长最小，此时______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 计算：
    ；
    ．
19. 化简求值：，其中．
20. 在一个不透明的袋中装有个红球，个黄球和若干白球，它们除颜色外其他都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．
    若袋内有个白球，从中任意摸出一个球，是红球的概率为______，是黄球的概率为______，是白球的概率为______．
    如果任意摸出一个球是黄球的概率是，求袋中内有几个白球？
21. 如图，方格图中每个小正方形的边长为，点，，都是格点．
    画出关于直线的对称图形；
    直接写出线段的长度；
    直接写出的面积．

22. 如图，，，求证：在下面的括号中填上推理依据．
    证明： 已知 
    ______
    ______
     已知 
     等式的性质 
    ______
    ______
     已知 
     等量代换  
    ______ ．

23. 图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
    
    请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
    方法：______
    方法：______
    观察图请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系．______；
    根据题中的等量关系，解决如下问题：
    已知：，，求：的值；
    已知：，求：的值．
24. 小张和小王是同一单位在、两市的同事，已知、两市相距，周六上午小王从市出发，开车匀速前往市的公司开会，小时后小张从市的公司出发，沿同一路线开车匀速前往市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到市的公司开会，便立即加速返回公司折返的时间忽略不计已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快两人距市的距离与小张行驶时间间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
    小王的速度为______，的值为______；
    小张加速前的速度为______和的值为______；
    在小张从出发到回到市的公司过程中，当为______时，两人相距？

25. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
    问题发现：如图，若和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
    拓展探究：如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为______ ；线段与之间的数量关系是______ ；
    解决问题：如图，若和均为等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段、、之间的数量关系并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为与不是同类项，所以选项A不正确，故A选项不符合题意；
B.因为，所以选项B不正确，故B选项不符合题意；
C.因为，所以选项C正确，故C选项符合题意；
D.因为，所以选项D不正确，故D选项不符合题意．
故选：．
A.应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；
B.应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
C.应用幂的乘方法则进行计算即可得出答案；
D.应用同底数幂除法法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是，
故选：．
利用轴对称图形定义判断即可．
此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】
解：；
故选A．  

4.【答案】 

【解析】解：、有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，故A选项错误；
B、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故B选项错误；
C、三角形的中线将三角形分成两个等底等高的两个三角形，可得面积相等，故C选项正确．
D、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故D选项错误；
故选：．
根据对顶角的定义即可判断选项；
根据平行公理即可判断选项；
根据三角形中线的性质可得出两个三角形等底等高，即可判断选项；
根据平行线的性质即可判断选项．
本题考查三角形面积，对顶角的定义，平行公理，平行线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握对顶角的定义，平行公理，平行线的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误，不符合题意；
B、“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是必然事件，选项正确，符合题意；
C、“概率为的事件”是随机事件，选项错误，不符合题意；
D、不能构成三角形，选项错误，不符合题意．
故选：．
利用随机事件以及必然事件的定义对各选项进行判断得出答案．
此题主要考查了概率公式，等边三角形的性质，随机事件，正确把握相关事件的定义是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是和的平方，那么中间项为加上或减去和的乘积的倍．据此解答．
【解答】
解：是完全平方式，
，
解得：或．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】

解：由题意得是的平分线，过点作于，
所以，

又，
，
在和中，

≌，
，
的面积．
故选：．
【分析】
判断出是的平分线，过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了用关系式表示变量间的关系，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
根据等量关系：油箱中存油量升流出油量剩余油量，列出关系式即可．
【解答】
解：由题意得：流出的油量是升，油流完需要分钟，
则剩余油量：，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：当时，与全等，
点为的中点，
，
，
，
点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，
运动时间时，
≌，
，
；
当时，≌，
，，
，
，
，
运动时间为，
．
故的值为或．
故选：．
此题要分两种情况：当时，与全等，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求；当时，≌，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：、、、、．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
、分别是与的平分线，
，，
，
，
故小题正确；
如图，延长交延长线于，

，
，
平分，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，故小题正确；
≌，
，即点为的中点，
与不一定相等
与不一定相等，故小题错误；
若，则是斜边上的中线，则，
与不一定相等，
与不一定相等，故小题错误；
，，
的取值范围为，故小题正确．
综上所述，正确的有．
故选：．
根据两直线平行，同旁内角互补可得，又、都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长交的延长线于点，先证明与全等，再根据全等三角形对应边相等得到，然后证明与全等，从而可以证明正确，与不一定相等，所以不正确．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高．
 

11.【答案】 

【解析】解：



．
根据平方差公式解决此题．
本题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：一个角是，
这个角的余角的度数是，
故答案为：．
根据互余的两个角和为解答即可．
本题考查了余角，掌握互余的两个角和为是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线交于点，
，
的周长，
的周长，
而，，
的周长．
故答案为．
根据线段的垂直平分线的性质得到，而的周长，得到的周长，然后把，代入计算即可．
本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．也考查了三角形周长的定义．
 

14.【答案】 

【解析】解：随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是．
故答案为：．
击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比．
此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用．注意面积之比几何概率．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，

过点作，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：
先利用平行线的性质得出，进而利用三角板的特征求出，最后利用平行线的性质即可．
此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是作出辅助线，是一道基础题目．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
主要考查了用待定系数法求函数的解析式和根据自变量的值求函数值．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值．根据题意可知：先判断出该用户用的水与方的关系，再设用水方，水费为元，继而求得关系式为；将时，代入上式即可求得所用水的方数．
【解答】

解：，
用户月份交水费元可知月用水超过了方，
设用水方，水费为元，则关系式为．
当时，，
即用水方．
故答案为：．

17.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则点，即为所求．

四边形中，，，
，
由轴对称知，，，
在中，


，



故答案为：．
如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则点，即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．
本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
 

18.【答案】解：


；



． 

【解析】先算负整数指数幂，零指数幂，积的乘方，绝对值，再算加减即可；
先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后合并同类项即可．
本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】解：


，
，
，，
，，
当，时，原式． 

【解析】先利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式计算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，绝对值和偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：；；；

设袋中内有个白球，
根据题意得，
解得，
即袋中内有个白球． 

【解析】解：从中任意摸出一个球，是红球的概率，是黄球的概率，是白球的概率；
袋中内有个白球，利用概率公式得到，然后利用比例性质求出即可．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

21.【答案】解：如图：
由图可求；
； 

【解析】由轴对称的性质，直接可作图；
由作出的图，直接可求；
的面积长方形面积减去三个直角三角形面积．
本题考查轴对称作图；能够准确的作出轴对称图形是解题的关键．
 

22.【答案】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行 

【解析】证明：已知，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补．
已知，
等式的性质，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，同位角相等．
已知，
等量代换，
同位角相等，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行．
根据平行线的判定定理的证明步骤，补充完整题中确实的推理依据即可．
本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟悉平行线的性质．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的证明过程，补充完缺失的推理依据是关键．
 

23.【答案】；；

解：，，
；
解：由已知得：，
，，
． 

【解析】

解：方法：；
方法：；
；
故答案为：；；；
见答案；
【分析】
表示出阴影部分的边长，然后利用正方形的面积公式列式；
利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；
根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答；
根据的结论代入进行计算即可得解．
本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．  

24.【答案】       或或 

【解析】解：由图象可得，
小王的速度为：，
，
故答案为：，；
设小张加速前的速度为，
由题意得：，
解得，，
，
即小张加速前的速度为，的值是，
故答案为：，；
由题意可得，
相遇前：
解得，，
相遇后到小张返回前：
解得，，
小张返回后到小王到达市前：，
解得，舍去，
小王到达市到小张返回到市前，
，
解得，，
由上可得，在小张从出发到回到市的公司过程中，当为或或时，两人相距．
故答案为：或或．
根据函数图象中的数据，可以计算出小王的速度和的值；
根据题意和中的结果，可以计算出小张加速前的速度和的值；
根据函数图象中的数据和题意，利用分类讨论的方法可以求得的值．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

25.【答案】解：和均是顶角为的等腰三角形，
，，，
，
，
≌，
；

和均是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；

，理由：
同的方法得，≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
．
． 

【解析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出≌是解本题的关键．
先判断出，进而利用判断出≌，即可得出结论；
同的方法判断出≌，得出，，最后用角的差，即可得出结论；
同的方法，即可得出结论．