河北省衡水市部分学校2022届高三下学期3月联考数学试题-c
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这是一份河北省衡水市部分学校2022届高三下学期3月联考数学试题-c,共23页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上,若,,,则,已知,则,已知直线l,已知椭圆等内容,欢迎下载使用。
绝密★启用前河北省衡水市部分学校2022届高三下学期3月联考数学试题试卷副标题考试范围:xxx;考试时间:100分钟;命题人:xxx题号一二三四五总分得分 注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分 一、单选题1.若复数z满足(i为虚数单位),则( )A. B. C. D.2.已知集合,,则满足条件的集合C的个数为( )A.2 B.3 C.4 D.53.若,,,则( )A. B. C. D.4.进入2021年以来,国家提倡大学生毕业自主创业,根据已知的调查可知,大学生创业成功与失败的概率分别为a,b,且,则某高校四名大学生毕业后自主创业,其中至少有两名大学生创业成功的概率为( )A. B. C. D.5.已知,则( )A. B. C. D.6.已知单位向量与向量垂直,若向量满足,则的取值范围为( )A. B. C. D.7.已知直线l:与圆O:相交于不同的两点A,B,若∠AOB为锐角,则m的取值范围为( )A. B.C. D.8.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数;1637年笛卡尔开始使用指数运算;1770年,欧拉发现了指数与对数的互逆关系,指出:对数源于指数,对数的发明先于指数,称为数学史上的珍闻,对数函数与指数函数互为反函数,即对数函数(且)的反函数为(且).已知函数,,则对于任意的,有恒成立,则实数k的取值范围为( )A. B. C. D.评卷人得分 二、多选题9.已知椭圆:的离心率为,短轴长为4,,为的两个焦点,为上任意一点,则( )A.的方程为 B.的方程为C.内切圆半径最大值为 D.满足的点有且仅有四个10.为了迎接期末考试,某高中学校进行5次期末模拟考试,其中小胡的考试次数x与每次考试的成绩y统计如表所示,x(次数)12345y(分数)100110110115115 假如根据表中的数据可得考试的次数x与每次考试的成绩y可得回归直线方程为,则下面结论正确的为( )A.回归直线方程一定过点B.回归直线方程中的考试次数x与考试成绩y是正相关C.上述的表中表示的点都在回归直线上D.若把当作样本的数据,样本的方差11.若p:,则p成立的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.12.已知在平行四边形ABCD中,,,,把△ABD沿BD折起使得A点变为,则( )A.B.三棱锥体积的最大值为C.当时,三棱锥的外接球的半径为D.当时,第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分 三、填空题13.已知双曲线C的焦点在y轴上,渐近线方程为,则C的离心率为__________.14.把函数的图像向右平移个单位长度,得到的图像所对应的函数为偶函数,则的最小正值为__________.15.已知数列,满足,且,,则的前9项和__________.评卷人得分 四、双空题16.已知函数,,则__________,当,时,函数的极值点的个数为__________.评卷人得分 五、解答题17.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足,且.(1)证明:;(2)若,,求△ABC的面积.18.在多面体ABCDFE中,,,平面⊥平面,侧面为菱形,且,为棱的中点.(1)若为上一点,且满足平面,确定点的位置;(2)求平面与平面所成角的余弦值.19.已知正项数列的前n项和为,且满足,,,数列满足.(1)求出,的通项公式;(2)设数列的前n项和为,求证:.20.高考制度根据形式的发展不断的进行改革,新高考语数外三门学科是必考科目,然后再从物理、化学、历史、地理、生物政治中选3科,规定物理与历史必须二选一,但是两科不能同时选择,再从余下的4科中任选2科,把选择含有物理科目的分为“理科类”,把选择含有历史科目的分为“文史类”,现从全市高三学生中随机选择100名学生的选科情况进行调查,调查结果如表所示. 理科类文史类合计男性281644女性243256合计5248100 (1)根据以上的数据,分析是否有99.5%的把握认为选择“文史类”还是选择“理科类”与性别有关?(2)从选择的100名高三学生中,按性别利用分层抽样抽取25名学生进行学习经验的交流,从这25名学生中随机选取2名学生发言,其中发言的是男生的人数为,求出的分布列与数学期望.附:,0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828 21.已知动圆M恒过定点,且动圆M被y轴所截得的弦长为4.(1)求动圆圆心M的轨迹的方程;(2)过点的直线l与轨迹相交于不同的A,B两点.求证:存在定点,使得直线AT与BT关于直线对称.22.已知函数,.(1)若在点处的切线的斜率为,求的最值;(2)若在原点处取得极值,当时,的图像总在的图像的上方,求k的取值范围.
参考答案:1.C【解析】【分析】先用复数的除法求得,再用求解即可【详解】由题意,,所以故选:C.2.C【解析】【分析】根据题意可得,,可知集合C必包含,可能有,列举或根据子集理解.【详解】由知.又,则集合.又,则满足条件的集合C可以为,,,,共4个,故选:C.3.D【解析】【分析】根据指数特点比较大小,再根据指数的运算分析即可【详解】由题得,,.又,所以,且,则,所以,故选:D.4.B【解析】【分析】先根据概率和求得,再用1减去对立事件的概率计算即可【详解】由题意,解得,则四名大学生至少有两名创业成功的概率故选:B.5.C【解析】【分析】由诱导公式求得,利用诱导公式、二倍角的余弦公式,同角间的三角函数关系变形求值式为关于的代数式,代入计算可得.【详解】因为,所以,故选:C.6.C【解析】【分析】由题意不妨设,设,由模的坐标表示得点在圆上,由的几何意义,只要求得圆心到原点的距离后可得结论.【详解】由题意不妨设,设,则.∵,∴,即表示圆心为,半径为1的圆,设圆心为P,∴.∵表示圆P上的点到坐标原点的距离,,∴的取值范围为,故选:C.7.A【解析】【分析】以∠AOB为直角时为临界,此时圆心O到直线l的距离,根据题意可得,代入求解.【详解】因为直线l:经过定点,圆O:的半径为,当∠AOB为直角时,此时圆心O到直线l的距离,解得,则当∠AOB为锐角时,.又直线与圆相交于A,B两点,则,即,所以或,故选:A.8.D【解析】【分析】依据题意构造函数为增函数,并利用导数得到关于实数k的不等式,进而求得实数k的取值范围【详解】由题意,的反函数.对于任意的,有,即,可转化为,则函数在上单调递增.设,则在上恒成立即在上恒成立又,则,故选:D.9.BCD【解析】【分析】由离心率与短轴长即可求得椭圆方程,从而判断出选项A、B的正误;对于选项C:因为椭圆焦点三角形的周长为定值,所以找到面积的最大值,即可求得其内切圆半径的最大值;对于选项D:首先找到的最大角,即当点与椭圆的短轴端点重合时的角的情况,再结合椭圆的对称性,即可判断出满足的点的个数.【详解】由题意得,解得,则椭圆的方程为,所以选项A错误,选项B正确;当点与椭圆的短轴端点重合时,的面积最大,且最大值为.设的内切圆半径为,则的面积,解得,所以选项C正确;若,即.当点与椭圆的短轴端点重合时,最大,由余弦定理可得,,即的最大值为,所以满足条件的点有且仅有四个,所以选项D正确.故选:BCD.【点睛】综合性考查落实,试题以椭圆为背景,考查椭圆的标准方程及几何性质、平面向量的数量积,考查运算求解能力,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.10.ABD【解析】【分析】求出判断A;由表中数据得出与的变化间的关系可判断B;由回归直线的定义判断C;根据方差的定义计算方差后判断D.【详解】由已知,,所以回归直线一定过点,故选项A正确;由表格可得回归直线方程中的考试次数x与考试成绩y是正相关,故选项B正确;易知表中所表示的点不一定都在回归直线上,故选项C错误;由题意得,故选项D正确,故选:ABD.11.CD【解析】【分析】解不等式得命题的等价条件,然后根据充分不必要条件的定义判断.【详解】由p:得且,解得或,故选项C,D是命题p的充分不必要条件,故选:CD.12.ACD【解析】【分析】A选项,利用余弦定理进行求解;B选项,先得到当平面平面BCD时,三棱锥的体积最大,利用等体积法求出点到平面BCD的距离,从而求出最大体积;C选项,对棱相等的三棱锥可补形为长方体,求出长方体的体对角线的一半即为外接球半径,设出长方体的长宽高,列出方程组,进行求解;D选项,由余弦定理进行求解.【详解】对于选项A,由余弦定理得,∴,故选项A正确;对于选项B,当平面平面BCD时,三棱锥的体积最大,设此时点到平面BCD的距离为h,则,解得:∴三棱锥体积的最大值,故选项B错误;对于选项C,当时,把三棱锥补成一个长方体,三棱锥的外接球就是长方体的外接球,设长方体的三条棱长分别为x,y,z,外接球的半径为R,则,∴,解得,故选项C正确;对于选项D,由,且,得,故选项D正确.故选:ACD【点睛】对于对棱相等的三棱锥的外接球问题,要将此三棱锥的棱长对应某一个长方体的面对角线,此时长方体的外接球即为次三棱锥的外接球.13.【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程得出的值,再根据可得出答案.【详解】由题意,设双曲线C的方程为(,).因为渐近线方程为,所以,所以双曲线C的离心率.故答案为:14.【解析】【分析】先化简的解析式,再由平移得出的解析式,由为偶函数,所以,,从而可得出答案.【详解】由函数 把函数的图象向右平移个单位长度,得到函数 即的图象.因为为偶函数,所以,,解得,,当时,取得最小正值,最小正值为.故答案为:15.或【解析】【分析】先证明列为等差数列,再设公差,利用基本量的方法求解首项和公差,进而得到通项公式,再根据等差数列的求和公式求解即可【详解】由题意得,则数列为等差数列,设数列的公差为d,因为,即,化简得,代入,解得或,所以或,则或.故答案为:或16. 2【解析】【分析】(1)代入得到,进而代入化简计算即可;(2)易得,再将题意转换为与的图象交点个数分析即可【详解】由得,所以.由题知,则.作出与的大致图象如图所示.由图可知,的解即为两函数图象交点的横坐标,记为,,且.当时,,则;当时,,则;当时,,则,所以为函数的极大值点,为函数的极小值点,所以函数的极值点的个数是2.【点睛】试题考查函数的图象与性质、利用导数研究函数的极值,考查运算求解能力.属于中档题17.(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据诱导公式及正弦定理,将已知条件的“边”转化成“角”,再利用三角恒等变换进行化简,即可证明;(2)根据已知条件结合(1)的结论,可求得角C的值,再利用余弦定理得到关于a,b的方程,再结合已知可求得a,b的值,利用三角形面积公式,即可求得△ABC的面积.(1)因为,则有所以由正弦定理得,所以,整理得,因为,所以,又因为,所以.(2)因为,由(1)得.又,所以C为锐角,则.则,即.又,解得,所以△ABC的面积为.18.(1)为的中点;(2).【解析】【分析】(1)当为中点时,平面,根据线面平行的判定定理即可证明结论;(2)取的中点,以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系,分别求得平面 和平面的一个法向量,再利用空间向量的夹角公式即可求解.(1)连接,,取的中点,连接.在中,为中位线,所以.又平面,平面,所以平面,所以为的中点.(2)取的中点,连接.因为侧面为菱形,且,所以.又因为平面⊥平面,平面平面,所以⊥平面.在平面内,过作的垂线交于点,以为坐标原点,以,,所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系,设,则,所以,,,,,,则.设平面的法向量为,则,即,令,则,,即.设平面的法向量为,则,即,令,则, ,即,所以,所以平面与平面所成角的余弦值为.19.(1),;(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据已知条件可得数列是等比数列,求出其通项公式,再利用累加法求出数列的通项公式;先求出,再求出当时,数列满足的等式,即可求出数列的通项公式;(2)写出数列的通项公式,利用裂项相消法求出数列的和,即可求证.(1)由,得.又,则数列是首项为2,公比为2的等比数列,∴,∴,,…,,累加得,∴.数列满足,①当时,;当时,,②由①-②可得,当时,也符合上式,故数列的通项公式为.(2)由(1)可得,则,故成立.20.(1)没有99.5%的把握认为选择“文史类”还是选择“理科类”与性别有关;(2)分布列见解析,数学期望为【解析】【分析】(1)根据2×2列联表计算出观测值,并与临界值表中的数据进行比较即可作出判断;(2)根据已知条件确定随机变量的所有可能的取值,并求出相应的概率即可求出离散型随机变量的分布列与数学期望.(1)根据题意可得,.因为4.2624<7.879,所以没有99.5%的把握认为选择“文史类”还是选择“理科类”与性别有关.(2)根据分层抽样可知从男生中抽取11人,从女生中抽取14人,故的所有可能的取值为0,1,2,则,,,所以随机变量的分布列为012P 所以.21.(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)设点,结合已知条件即可求解;(2)设出直线l的方程,并与抛物线方程联立,结合已知条件及韦达定理即可证明.(1)由题意,设点,则,整理得,所以动圆圆心M的轨迹的方程为.(2)由题易知,直线l的斜率不为0,设直线l的方程为,,设点,,联立,消去x并整理得,恒成立,所以,.因为直线AT与BT关于直线对称,且,若直线AT与BT关于x轴对称,则,即,所以当时,存在定点,使得直线AT与BT关于直线对称.22.(1)有最小值,且最小值为,无最大值;(2).【解析】【分析】(1)先利用导数的几何意义求出a的值,再利用导数研究函数的单调性、最值即可求解;(2)结合已知条件求出a的值,构造新函数,利用导数研究新函数的单调性、最值即可求解.(1)由题意得,函数的定义域为,.因为,所以,解得,所以,则.令,解得或(舍),所以当时,,则单调递减;当时,,则单调递增,所以函数有最小值,且最小值,无最大值.(2)因为,,所以,解得,所以,若,则,单调递减,若,则,单调递增.因为当时,函数的图像总在函数的图像的上方,即恒成立,所以,即.设,,则,令,则,所以函数在上单调递增,所以,当,即时,,所以函数在上单调递增,所以恒成立,符合题意;当,即时,,,所以存在,使得,所以函数在上单调递减,在上单调递增.又,所以不恒成立,故不符合题意.综上所述,k的取值范围为.【点睛】本题第(2)问较为复杂,首先需要想到问题应当转化为求解函数的最值问题;其次,在探索函数的单调性时紧紧抓住求导的方法,如果导函数的符号不好确定,那么可以对导函数再次求导,平常注意总结归纳.
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