高中人教B版 (2019)1.1.1 集合及其表示方法教案及反思

第一章 集合与常用逻辑用语

1.1.1集合及其表示方法第2课时

教材分析

集合是是高中数学的基础，集合作为一种数学思想在其它一些章节中也都有渗透，因此学好这一章内容是十分关键的。本章又是高中数学课程的起始章，内容有一定的抽象性，因此设计好这一章内容的教学不但对学生的知识掌握情况而且对学生能否入门高中数学都是很重要的。 本节内容主要学习集合的概念，集合的表示方法，同时培养学生用区间来表示集合，通过学习使学生感受到用集合来表示数学内容时的简洁性、准确性，并使学生能用集合语言简洁、准确地表示数学对象，同时它也是后续学习集合运算的知识储备，因此有着至关重要的作用。

教学目标

1.掌握用列举法和描述法表示集合；

2.能够用区间表示集合．

3.在理解集合表示方法的过程中，列举法的理解，以及区间可以用数轴形象地表示，提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的直观想象素养；对描述法的理解，提升学生的数学抽象素养．对给出的集合进行化简运算后用区间表示，提升学生的数学运算素养．

教学重难点

教学重点：集合的表示、区间．

教学难点：对集合的特征性质的理解及运用特征性质描述法来表示集合．

教学过程

【新课导入】

  前面提到的集合都是用自然语言描述的，但在数学中，我们经常要使用符号来表示集合．

 设计意图：承上启下，自然过渡到本节课的内容．

【探究新知】

  知识点1  列举法

　问题1：（1）由两个元素0，1组成的集合如何用符号语言表示？

（2）24的所有正因数1，2，3，4，6，8，12，24组成的集合如何用符号语言表示？

（3）中国古典长篇小说四大名著组成的集合如何用符号语言表示？

师生活动：阅读教科书第5页，给出列举法的定义：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号要隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．根据列举法的定义，学生回答，教师分析指导．

预设的答案：（1）{0，1}；（2）{1，2，3，4，6，8，12，24}；（3）{《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》，《西游记》｝.

设计意图：从学生熟悉的具体实例出发，说明可用列举法表示一类集合.

追问1：用列举法表示集合时，要考虑元素的顺序吗？（ 一般不考虑元素的顺序）

追问2：如何用列举法表示：“不大于100的自然数组成的集合”？（ {0，1，2，3，...，100}）

教师点评：{1，2}与{2，1}表示同一个集合．但是，如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.例如，不大于100的自然数组成的集合，可表示为{0，1，2，3，...，100}.

追问3：是不是只有有限集才可以用列举法表示呢？（不是）

教师点评：无限集有时也可用列举法表示.例如，自然数集N可表示为{0，1，2，3，...，n，...} .

追问4：{a}与a相同吗？（不同）

教师点评：{a}是只含一个元素的集合，这一个元素是a，要将{a}与它的元素a加以区别，事实上，a∈{a}.

知识点2  描述法

问题2：以下集合用列举法表示方便吗？如果不万便，你觉得可以怎样表示？

（1）满足x>3的所有数组成的集合A；

（2）所有有理数组成的集合Q.

师生活动：与学生一起探讨：显然，用列举法表示上述集合并不方便，但因为集合A中的元素x都具有性质“x是大于3的数”，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，因此可以把集合A表示为{x|x是大于3的数}或{x|x>3），

即A={x|x是大于3的数}或A={x|x>3}.类似地，Q中的每一个元素都具有性质“是两个整数的商”，而不属于Q的元素都不具有这个性质，因此可以把Q表示为Q={x|x是两个整数的商}或.

教师总结：上述表示集合的方法中，大括号内竖线的左边是元素的形式，竖线的右边是只有这个集合中的元素才满足的性质.

一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p（x）称为集合A的一个特征性质.此时，集合A可以用它的特征性质p（x）表示为{x|p（x）}.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.

设计意图：以问题为切入口，通过解决问题来引入新知，有助于培养学生的学习兴趣，提高分析问题解决问题的能力．

追问1：集合{ x> 3} 与{x|x>3}是相同的集合吗？（不是）

教师点评：根据集合的表示方法，集合{ x> 3} 与{x|x>3} 是有区别的：前者表示的是由不等式x> 3组成的集合，其只包含一个元素，它是有限集；后者是满足不等式x> 3的所有数组成的集合，包含无穷多个元素，它是无限集．

【做一做】试用描述法表示下列集合：

（1）所有平行四边形组成的集合（{x|x是一组对边平行且相等的四边形}）

（2）所有能被3整除的整数组成的集合（{x|x=3n，n∈Z}）

（3）所有被3除余1的自然数组成的集合（{x|x=3n+1，n∈N}）

【想一想】集合{x∈N|x=3n+1，n∈Z）是不是表示“所有被3除余1的自然数组成的集合”？

教师点评：集合{x|p（x）}中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p（x）}.

知识点3  区间及其表示

阅读教科书第7、8页：区间及其表示

师生活动：学生阅读后总结用区间表示集合：如果a<b，则集合{x|a≤x≤b}可简写为[a，b]，并称为闭区间；集合{x|a<x<b}可简写为（a，b），并称为开区间；集合{x|a≤x<b}可简写为[a，b），集合{x|a<x≤b}可简写为（a，b]，并都称为半开半闭区间.

【想一想】我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，那么区间可以用数轴形象地表示吗？

师生活动：学生探讨，教师总结：区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的长度.区间可以用数轴形象地表示.例如，区间[-2，1）可用下图表示，注意图中一2处的点是实心点，而1处的点是空心点.在用数轴表示区间时，实心点代表取得到，空心点代表取不到．

【做一做】如果用“+∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则：

实数集R可表示为区间__________；

集合{x|x≥a}可表示为区间__________；

集合{x|x>a}可表示为区间__________；集合{ x |x≤a}可表示为区间__________；

集合{x |x<a}可表示为区间__________；将区间[7， +∞）用数轴表示为__________．

预设的答案：（－∞，+∞） [a，+∞）（a，+∞）（－∞，a] （－∞，a）

【巩固练习】

例1用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集.

（1）方程x（x一1）=0的所有解组成的集合A；

（2）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.

 (3)由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.

(4)不等式3x+4≥x的解集.

师生活动：学生完成，教师点评，并思考选用哪种表示方法合适．

预设的答案:(1)因为0和1是方程x（x-1）=0的解，而且这个方程只有两个解，所以

A={0，1）.

(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此

B={（x，y）|x>0，y>0}.

(3)用描述法表示该集合为M={(x，y)|y=-x+4，x∈N，y∈N}，或用列举法表示该集合为{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}.有限集.

(4)由3x+4≥x得2x≥-4，所以x≥-2，所以不等式3x+4≥x的解集是[-2，+∞).无限集.

设计意图：锻炼学生分析问题、解决问题的能力．在这里可以引导学生总结和归纳集合的两种不同的表示方法的优缺点。事实上，列举法表示的集合，其所包含的元素大多都是能直接看出来的；描述法虽然更加简洁，但是判断一个对象是否是个集合的元素，有时候并不容易。

例2 用区间表示不等式的所有解组成的集合A．

师生活动：学生完成，教师点评．

预设的答案：由可知，所以A= ．

设计意图：本题是为了让学生熟悉区间的记号而设置的．教学过程中可以让学生画出对应解集的数轴表示，这样可以让学生巩固区间与数轴的关系。另外，本例的讲解也是为后续不等式解集的呈现做好铺垫．

【课堂小结】

1．板书设计：

1．1．1集合及其表示方法（2）

（1）集合的表示方法         （2）区间及其表示

例1         例2

如果 则

练习：教科书第9页练习A 3，4，5题．

作业：

1．（2020·章丘区校级模拟）用列举法可表示集合，则_______．

2．教科书第9页练习B 2，3题．

2．总结概括：

回顾本节课，你有什么收获？

师生活动：学生可以从以下两点分别回答：

1. 集合的表示方法  2.区间及其表示（完成上面两个表格）

本节课学习了集合的两种表示方法：列举法和描述法，要能够根据集合本身的特点选择适当的表示方法；同时学习了区间及其表示，会用区间表示集合，会用数轴表示区间，需要注意的是区间的左端点小于右端点．这一节的教学中，要注重新旧知识的联系与过渡，关注学生已有的对集合的认识，从原有的经验出发，从实例引出概念，再结合实例让学生进一步理解概念，由具体到抽象，再由抽象到具体，提高学生的表达、化归、理解和处理问题的能力。

练习：教科书第9页练习A 3，4，5题．

师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．

布置作业：1．（2020·章丘区校级模拟）用列举法可表示集合，则_______．

参考答案： ．故答案为{0，1，2}．

2．教科书第9页练习B 2，3题．