高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质教案

  第二章  等式与不等式

2.2.1 不等式及其性质教学设计

教学目标：

本节内容为不等式及其性质，教材给出了5个性质和5个推论，其中有3个性质初中已学习过。证明不等式，教材给出了配方法、作差法、综合法、反证法、分析法。

教学目标：

1.使学生能在实际问题中找到不等关系，并能列出不等式和不等式组，抽象成数学问题；

2.引导学生运用对比联想，得到不等式的简单性质，并学会用综合法证明不等式；

3.使学生掌握“作差法”比较两个数或两个代数式的大小；

4.让学生对不等式性质进行直观解释和逻辑证明，逐步提升学生的代数推理能力，发展直观想象和逻辑推理素养.

【教学重点】

1.掌握不等式5个性质与5个推论.

2.掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式.

3.熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式.

【教学难点】

1.正确选用性质推理和思想方法来证明不等式.

教学过程

【情境与问题】

在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具，我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式.

上述不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”.事实上，住意给定两个实数a，b，那么

a≥b⇔a＞b或a=b

a≤b⇔a＜b或a=b

【想一想】

怎样理解两个实数之间的大小呢？

我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P（x）.另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小、如下图所示的数轴中，A（a），B（b），不难看出

b>1>0>a.

此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数（即加上一个负数），相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离。由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a-b与0的相对大小就可以了，即         

初中的时候，我们就已经归纳出了不等式的三个性质：

性质1    如果a>b，那么a+c>b+c.

性质2    如果a>b，c>0，那么ac>bx.

性质3    如果a>b，c<0，那么ac<bc.

【尝试与发现】  

事实上，如下图所示，a>b是指点A在点B的右侧，a+c和b+c表示点A和点B在数轴上做了相同的平移，平移后得到的点A'和B'的相对位置，与A和B的相对位置是一样的，因此a+c>b+c.

性质1可以用如下方式证明：因为

（a+c）-（b+c）=a+c-b-c=a-b，

又因为a>b，所以a-b>0，从而

（a+c）-（b+c）>0.

因此a+c>b+c.

性质2可以用类似的方法证明：因为

ac-bc=（a-b）c，

又因为a>b，所以a-b>0，而c>0，因此

（a-b）c>0，

因此ac-bx>0，即ac>bx.

性质3的证明留作练习.

【尝试与发现】

在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质。

性质4     如果a>b，b>c，那么a>c.

直观上，如下图所示，点A在点B的右侧，点B在点C的右侧，因此点A必定在点C的右侧.

证明     因为

a-c=（a-b）+（b-c），

又因为a>b，所以a-b>0；且b>c，所以b-c>0，因此

（a-b）+（b-c）>0，

从而a-c>0，即a>c.

性质4通常称为不等关系的传递性.我们前面在判断x2>-1等类似命题的真假时就用过不等关系的传递性。

性质5   a>b⇔b<a.

这只要利用a-b=-（b-a）就可以证明，请读者自行尝试.

另外，值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母。

【典型例题】

例1   比较x2-x和x-2的大小.

解   因为

(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1,

又因为(x-1)2≥0，所以(x-1)2+1≥1>0，从而

(x2-x)-(x-2)>0，

因此x2-x>x-2.

 例1的证明中用了配方法，这种方法经常用于式子变形，大家应熟练掌握.

需要注意的是，前面我们证明不等式性质和解答例1的方法，其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法.在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等。从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.

推论1   如果a+b>c，那么a>c-b.

证明     a+b>c⇒a+b+（-b）>c+（-b）⇒a>c-b.

推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.推论1通常称为不等式的移项法则.

推论2  如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.

证明    根据性质1有

a>b⇒a+c>b+c，

b>d⇒b+c>b+d，

再根据性质4可知

a+c>b+d.

我们把a>b和c>d（或a<b和c<d）这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式.推论2说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.很明显，推论2可以推广为更一般的结论：

有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向。

推论3    如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.

证明    根据性质2有

a>b，c>0⇒ac>bc，

c>d，b>0⇒bc>bd，

再根据性质4可知

ac>bd.

很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：

几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.

推论4    如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n>1）.

这个结论的证明只要多次使用推论3的结论即可.

推论5    如果a>b>0，那么>.

证明   假设≤，即

<或=，

根据推论4和二次根式的性质，得

a<b或a=b.

这都与a>b矛盾，因此假设不成立，从而>.

【尝试与发现】

可以看出，推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立。这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法.

例2   （1）已知a>b，c<d，求证：a-c>b-d；

（2）已知a>b，ab>0，求证：

（3）已知a>b>0，0<c<d，求证：

证明（1）因为a>b，c<d，所以

a>b，-c>-d，

根据推论2，得

a-c>b-d.

（2）因为ab>0，所以

又因为a>b，所以

即，      ，因此    

（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得

又因为a>b>0，所以根据推论3可知

即

可以看出，例2中所使用的方法是综合法.综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论。

【尝试与发现】

直接证明并不容易，因此可以考虑用反证法，请同学们自行尝试。不过，为了方便起见，人们通常用下述方式来证明这个结论：

要证，只需证明

展开得10+2<20，即<5，这只需证明

即21<25.因为21<25成立，所以成立.

上述这种证明方法通常称为分析法.分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为pg，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.的证明过程也可简写为：因为

                <521<25，

又因为21<25成立，所以结论成立。

例3  已知m>0，求证：

证明  因为m>0，所以3+m>0，从而

又因为已知m>0，所以结论成立.

教学反思

 本节内容介绍了多个不等式性质和推论,还介绍了高中几种常用的解题思想方法,学生需多练习这方面的习题。