2.2.4 均值不等式及其应用第1课时 教案

【教学目标】

1.学会推导并掌握均值不等式定理.

2.能够简单应用定理求最值.

【核心素养】

1.数学抽象：通过对均值不等式不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想

3.直观想象：了解均值不等式的几何意义。

4.数学运算: 教材用作差配方法证明均值不等式，并用定理求最值问题。

5.数据分析：掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件：当且仅当这两个数相等。

教学重点：

学生对均值不等式的推导、理解及初步应用。

教学难点：

学生对均值不等式的理解。

教学过程：

一、新课讲解：　　

（一）相关概念： 　　

1.给定两个正数a， b，数称为a， b的算术平均数，数称为a，b的几何平均数。

2.多个正数的算术平均值和几何平均值的定义。

【设计意图】

学好本节内容的预备知识。

（二）学生活动1：

完成教材P72“尝试与发现” ，解决下列问题：

1.算术平均数的几何意义？几何平均值的几何意义？

2.它们的大小关系如何呢？

【设计意图】

从具体事例理解和掌握算术平均值和几何平均值的几何意义以及大小关系。　　

（三）均值不等式： 　　

1.语言表述:两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。

2.数学表达:如果a,b都是正数，那么，当且仅当a = b时，等号成立。

证明：教材P73页。

（四）深度分析：

【均值不等式】——又称基本不等式

1.基本不等式中的 还可以是零，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值。　　

2.均值不等式有什么几何意义呢？ 　　

研究: 将均值不等式两边平方得，,可以得出:均值不等式的一个几何意义:

所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大。

3.【拓展】：请回答教材P73页的“想一想”。

【设计意图】

让学生从多角度来理解和掌握均值不等式。

（五）学生活动2：

师生一起研究教材P73 —“探索与研究”中的问题，可以和你的同桌交流，给出相应的结论。

【设计意图】

让学生看到均值不等式的“美”，感受到数学的几何之美。　　

二、典型例题：

例1已知x >0，求y = x+的最小值，并说明x为何值时y取得最小值。

解:因为x >0，所以根据均值不等式有，其中等号成立当且仅当,

即x2= 1，解得x = 1或x = -1（舍)。

因此x = 1时, y取得最小值2。

【设计意图】引导学生注意使用均值不等式的条件以及解题的规范性培养。

例2已知ab >0，求证:，并推导等号成立的条件.

证明:因为ab > 0，所以，.根据均值不等式，得

，即。

当且仅当，即a2= b2时，等号成立.因为ab >0，所以等号成立的条件是a = b。

【设计意图】让学生习得均值不等式在证明题中的应用。

三、归纳总结：

1.算术平均值和几何平均值

2.均值不等式（又称基本不等式）以及均值不等式的几何意义

3.用均值不等式解题的格式要求

四、课后作业

1.完成教材P76上“探索与研究”，每位同学将总结出来的规律整理好，下节课交流。　　

2.教材P76，练习A 1、2；练习B 2、3。