3.1.1 函数及其表示方法（第2课时）

【教学目标】

1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域。

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。

3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

【核心素养】

1.数学抽象：两个变量关系中提出函数概念.

2.直观想象：用图像法表示函数

2.数学运算: 对函数的定义域、值域的计算。

数据分析：函数定义域和应用数据的有效性。

教学重点：

函数的三种表示方法、分段函数；

教学难点：

选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；对分段函数的理解。

教学过程:

一、问题引入

初中学习函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法，大家还记得上节课一开始的四个实际问题吗？我们分别使用了三种不同方法刻画两个变量之间的对应关系，其中问题1、问题2采用的是解析法，问题3采用的是列表法,问题4采用的是图象法。

引例：某种笔记本的单价是５元，买x（x∈｛1，2，3，4，5｝）个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数 y＝f（x）。

解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝。

用解析法可将函数 y＝f（x）表示为f (x)＝５x，x∈｛1，2，3，4，5｝。

用列表法可将函数 y＝f（x）表示为

用图象法可将函数y＝f（x）表示为

师：请你说出函数这三种不同表示方法各自的特点是什么？

预设答案：

解析法有两个优点：一是精确，全面的概括了变量之间的关系；二是通过解析式，可以求出自变量取特殊值时所对应的函数值，缺点在于抽象。

列表法的优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值对应的函数值，同时也可以非常直观的看到函数的定义域、值域。不过列表法所能列出的值毕竟是有限的。

图象法的优点：能够直观形象的表示与自变量的变化相对应的函数值的变化情况，可以利用图像来研究函数的性质。此外，图像法在生产和生活中应用非常广泛。缺点：手工绘制函数的图象并不容易。

因此我们在研究函数时通常是几种表示方法同时使用，其中以解析法与图象法为主，以便全面、准确、直观地理解函数。

【设计意图】函数的三种表示方法在初中就已学过，但学生印象比较深刻的是解析法，引例的解答虽然很简单，但它的作用不仅仅是让学生动笔回顾知识；更重要的是引发学生对函数三种表示方法各自特点的理性思考，让学生从函数学习一开始就要重视函数图象的学习与掌握，养成画图的好习惯。

二、例题讲授

例1 ：（课本第90页例5）设x为任意一个实数，y是不超过x的最大整数，判断这种对应关系是否是函数。如果是，作出这个函数的图象；如果不是，说明理由。

思考:1．判断对应关系是否为函数的依据是什么?

2．在理解题意的基础上填写下列表格，然后判断对应关系是否是函数.

3．当 x [1,2) 时，y的取值是多少?

解:是函数，详解见课本第90、91页，函数图象如下图

定义几个特殊函数

1．取整函数：像例1这样的函数通常称为取整函数y=[x]，其定义域为R，值域为Z。

2．常数函数：值域只有一个元素的函数通常称为常数函数。如f(x)=7，x∈R，它的值域为{7}，图象是一条平行于x轴的直线。

【设计意图】取整函数又称高斯函数，在数学研究和生活实际中有广泛应用。但学生初次接触理解起来还是有一定的困难，为此搭设了三个台阶。值得一提的是，学生在理解函数概念时会出现认为“x、y必须都是变量”，“构成函数关系时，x要变，y也要变”，这些都是错误的，错误的原因都是没有抓住函数的概念的本质．倒是应该强调“x定，y也定”，这里的定，是指“唯一确定”。这样的话，常值函数就不难理解了。

例2．（课本第89页例4)北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量不超过180 m3的部分，水价为5元/ m3；超过180m3但不超过260 m3的部分，水价为7元/ m3。如果北京市一居民年用水量为水价为x m3，其要缴纳的水费为f(x)元．假设0≤x≤260，试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图象．

思考:1.如果居民用水量是50 m3，100 m3需要缴费多少? 200 m3、230 m3呢?

从中你能发现计算的规律吗?

解:

思考：2．如果题目的已知条件再补充一条“年用水量超过260 m3的部分，水价为9元/ m3.”你能写出函数f(x)的解析式吗?通过问题的解答请你说说阶梯水价制定的意义是什么?

思考：3．如果某居民一年交纳了水费1040元，你知道他使用了多少吨水吗?

定义几个特殊函数：

3．分段函数：如果一个函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数。

【设计意图】分段函数是中学阶段常见的一类特殊函数，通常需要分类讨论，最后还要有一个统一的结论，因此学生会感觉比较困难．在分析题意时，让学生先计算几个具体值有助于理解分类，画出函数的图象可以使学生更好地理解分段函数是“一个函数”而不是“几个函数”。思考2的设置一方面是问题的深化，另一方面是引发学生关注社会生活实际问题。思考3的设置是为了引发学生注意由函数值求自变量的值时要关注自变量的取值范围。

例3:函数,称为狄利克雷函数，请你说出这个函数的定义域、值域，并思考能否做出这个函数的图象?

解：狄利克雷函数的定义域为R，值域为{0，1}，但它的图象不能形象地展示出来．

【设计意图】狄利克雷函数是一个非常典型的分段函数。由于在数轴上无法明显地界定出无理数，因此无法画出函数图象。但这也恰恰说明引入用集合与对应关系的观点来定义函数的必要性，同时也可借此说明函数的三种表示方法都有各自的局限性。

例4已知：f(x)=x2，求f(0)，f(2)，f(a)和f(x-1)

解：f(0)=0，f(2)=4，f(a)=a2，f(x-1)=(x-1)2=x2-2x+1；

思考： 1．你能说出f(a)与f(x)有什么关系吗？

2．如果已知：f(x-1)=x2，你能求出f(x)的解析式吗？

【设计意图】本例题主要是帮助学生理解函数概念中“对应关系f ”的作用。

已知函数解析式求自变量取某些特殊值的函数值，这个内容对于学生来说应该不难。但如何正确理解f(a)与f(x)的关系是有一定难度的。其中f(a)与f(x)既有区别又有联系：f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下它是一个变量，即f(a)是f(x)在x=a时的函数值。

函数f(x)=x2，即x→x2，表示自变量通过“平方运算”得到它的函数值，与我们选择什么符号表达自变量没有关系。函数y→y2，t→t2，u→u2，…都表示同一个函数关系．同样自变量换成一个代数式，如x-1，平方后对应的函数值就是(x-1)2。这里f(x-1)表示自变量变换后得到的新函数。

由此可见f(x)与f(x-1)这两个表达式，字母f表示的是同一对应关系，f(x)中对应关系f作用的对象是x；f(x-1)中对应关系f作用的对象是x-1；两个都是变量，没有什么联系。但只有学生搞清上述关系后，在解答思考2时就会自然想到要找出x-1所为一个整体所对应的表达式从而得到所求函数解析式。

三、课堂小结

1．函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法；

2．分段函数的研究方法．

四．课后作业

1．课本第93页练习A第7、8题，练习B第3、6、8、9题；

2．调查一下出租车是怎么计费的，并试着写出分段计费的解析式，下节课进行交流。