2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【教学目标】

1.掌握一元二次方程一般式解集的方法.

2.掌握一元二次方程根与系数的关系.

3.会用整体代入法解一元二次方程.

4.学会用配方法推出一元二次方程的解集.

5.灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题.

【核心素养】

1.数学抽象：学会整体代入法解特殊一元二次方程思想方法。

2.逻辑推理: 由一般性地配方法解集推理出特殊性的方程解集，探索其过程。

3.数学建模：在实际情景中分析问题，构建一元二次方程模型，计算结果，检验结果实际性。

1.数学运算: 掌握解一元二次方程的运算法则，选择运算方法。

2.数据分析: 对特殊一元二次方程选择相关系数进行分析，得出简捷运算方法。

教学重点：

韦达定理的推理过程.

教学难点：

结合韦达定理，借助代换的思想求解代数式的值.

教学过程：

一、提出问题，解决问题：

间题1：我们知道，当一元二次方程ax2+bx +c=0(a ≠0)的解集不是空集时，这个方程的解可以记为x1 =,x2=.那么你能否通过你的计算，得到当一元二次方程ax2 +bx +c =0(a ≠0)的解集不是空集时两根和与两根积的值呢?

【学生活动1】

1.学生自主通过计算完成课本第110页上面的“尝试与发现”；

2.让学生对结论的结构特征进行分析；

问题2：我们得到的两根之和、两根之积都是由方程的系数确定的，这一结论对两根相等的情况也是适用的，那么能否结合它们与系数的关系，换一种方式得到两根和与两根积的值呢？

分析：除了对方程求解的传统做法，我们能否把方程的两根视为已知量，寻找它们与系数的关系呢？

解:设方程ax2+bx +c= o(a ≠0)有两根x1,x2，则原方程可改写为

a(x一x1)(x- x2)=0，

展开得: ax2 -a(x1+x2)x +ax1x2 = 0，

与原方程比较可知对应系数应该相等

即

所以

注.一元二次方程根与系数关系的关系也称为“韦达定理”.

弗朗索瓦·韦达（1540~1603），法国杰出数学家.年轻时当过律师，后来致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步.他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与系数的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”），在欧洲被尊称为“代数学之父”.在法国和西班牙的战争中，韦达利用精湛的数学方法，成功破译西班牙的军事密码，为他的祖国赢得战争主动权.

对于学有余力的学生，还可以引导他们尝试探索一元三次方程的根与系数的关系.

【设计意图】

根与系数关系的“尝试与发现”，是对学生以往所学一元二次方程相关知识的深化和小结.到此为止，总结了初中所学的一元二次方程的三种常用解法：十字相乘法、配方法、公式法.引入韦达定理，是面对求相关代数式值时不求解的经典做法，但要注意方程根的存在情况.对于理解能力相对较强的学生补充的比较系数法对韦达定理的推理，重点不是方法，而是对韦达定理结构特征的分析，正式基于这种分析，才顺理成章的去比较对应系数.

二、例题讲解，深化理解　　

例（课本50页例2）

已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值:

(1)+；

(2)

思考：我们都可以采用什么样的方法求出所求代数式的值?

解:由一元二次方程根与系数关系，得

，.

（1）由上有

（2）因为

所以 

【设计意图】前两问鼓励学生尝试求解求值，同时对比韦达定理的求解过程，注重比较不同解法的优劣.而在此基础上提出后两问，想必在前期比较的基础上，一个是问题的复杂程度有变化，学生不太可能选择求解后求值；一个是在比较后，学生会发现处理类似问题韦达定理会相对容易.这个时候，不但要关注结果的求解，而其中的整体代换的思想帮助孩子结合所求向已知靠拢就显得尤为的重要.

三、课堂练习，巩固所学

1.（课本P51页练习B第2题）

已知方程x2-2x+1=0的两根为x1与x2,，求下列各式的值：

(1)   

(2)   

参考笞案:(1) ; (2）

2.(课本P51页练习B第3题)

已知关于.x的方程x2-2x+m-1=0的两根同号，求实数m的取值范围。

参考答案: (1,2]。

四、归纳总结：

1.韦达定理的内容（为什么只给出两条？）

2.使用韦达定理要注重的细节.