人教A版（2019）高中数学必修第一册期末测试卷（困难）（含答案解析）

这是一份人教A版（2019）高中数学必修第一册期末测试卷（困难）（含答案解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版（2019）高中数学必修第一册期末测试卷考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）下列表示错误的是(    )A.  B.
C.  D. 无理数下列各小题中，是的充分必要条件的是(    )，，是偶函数或有两个不同的零点．A.  B.  C.  D. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值是(    )A.  B.  C.  D. 下列说法正确的是(    )A. 的最小值为，
B. 的最小值为，
C. 的最小值为
D. 的最大值为，设函数 则下列结论错误的是A. 函数的值域为 B. 函数为偶函数
C. 函数为奇函数 D. 函数是定义域上的单调函数已知定义域为的奇函数满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 已知，，，则，，的大小关系为  (    )A.  B.  C.  D. 已知函数，则下列说法正确的是(    )A. 是函数的对称轴
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的最大值为，最小值为
D. 函数在区间上恰有个零点，则 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）由无理数引发的数学危机一直延续到世纪直到年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项可能成立的是(    )A. 没有最大元素，有一个最小元素
B. 没有最大元素，也没有最小元素
C. 有一个最大元素，有一个最小元素
D. 有一个最大元素，没有最小元素已知函数，关于的不等式的解集为，则(    )A.
B. 设，则的最小值一定为
C. 不等式的解集为
D. 若，且，则的取值范围是已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，当时，都有；则下列选项成立的是(    )A.
B. 若，则
C. 若，则
D. ，，使得已知函数的零点为，函数的零点为，则．(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知的边，且，则的面积的最大值为____．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________．已知函数，为偶函数，且当时，记给出下列关于函数的说法：当时，；函数为奇函数；函数在上为增函数；函数的最小值为，无最大值．其中正确的是_________．已知，且满足，则的最小值是          ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知集合中的元素有个且均为正整数，将集合分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合，，，即，，，，其中，，若集合，，中元素满足，，，，，，则称集合为“完美集合”．
若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”并说明理由．
若集合为“完美集合”，求正整数的值．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．设．若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；在的条件下，求的最小值；解关于的不等式．已知是定义在上的奇函数，且当时，求函数的解析式；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量可由函数模型给出，其中真是指改良工艺的次数．试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？参考数据：取已知向量，函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为
求的解析式；若且，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了空集、子集和并集及其运算，属基础题．
根据的定义，可以判断的真假；根据元素与集合的关系可知真假，根据的性质可以判断的真假；实数集，有理数集和无理数集，可以判断的真假，进而得到答案．
【解答】
解：对于，空集是任何集合的子集，故A正确；
对于，集合可以看成是一个元素，是由集合组成的一个集合，所以，故B正确；
对于， 由空集是任何集合的子集，所以，故C正确，
对于，有理数集在实数集中的补集应为无理数集，而不是无理数，故D错误，
故选D．  2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了充要条件，属于基础题．
先对命题进行化简分析，再研究它们之间的逻辑关系，从而判断是否互为充要条件，得到本题结论．
【解答】
解：当：，成立，
取，，，
；
故命题：不成立，不符合题意；
当：是偶函数，成立
取，，无意义，故：不成立，
故不合题意；
当：成立，
，
A.
：A.符合题意，
有两个不同的零点


，或；
：，或；：有两个不同的零点，
是的充分必要条件，符合题意；
故选：．  3.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了基本不等式性质的运用能力和计算能力．
根据不等式的解集为，利用韦达定理求出，，利用基本不等式的性质求解．【解答】解：不等式的解集为，
故，为对应方程的两个根，
根据韦达定理，可得：，，
那么：，
，
，
即，当且仅当时等号成立，
故的最大值为．
故选：．  4.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查不等式性质及其解法，属于基础题．
利用基本不定式的性质，逐项分析即可得出答案．
【解答】
解：由基本不等式的性质可知，当且仅在处取得最小值，故错误．
B.由基本不等式的性质可知，当且仅在处取得最小值，故错误．
C.当时，取得最小值，而非，故错误
D.，当且仅当时，取得最大值正确，
故选D．  5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了分段函数的单调性、奇偶性及值域，属中档题．
根据分段函数的解析式，逐一判断其单调性，奇偶性即可得．
【解答】
解：时，单调递增，所以；
时，单调递增，所以，
故的值域为，故A错误；
因为，且定义域关于原点对称，所以为偶函数，故B正确；
当时，，，
；
当时，，，
，
时，恒有，即为奇函数，故C正确；
时，单调递增，时，单调递增，且，所以函数是定义域上的单调增函数，故D正确．
故选A．  6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识，属于较难题．
由题意可得为周期为的函数，且是奇函数在函数定义域内，故，得，先得到内的关系式，根据题意得到以为对称轴，且当时单调递增，当时单调递减，求出一个周期内使成立的的范围，从而推出的范围，再分的范围讨论即可．
【解答】
解：由题意，，
，
为周期为的函数，
是奇函数，在函数定义域内，
故，得，即，
所以当时，，
当时，，
此时，
又因为，
所以以为对称轴，且当时单调递增，当时单调递减．
当时，令，得或，
所以在内当时，，
设，
若对于都有，
因为
故
当时，在上单调递减，故
得，无解．
时，，此时最大，最小，即
得．
当时，即，此时最小，最大，即
得
当时，在上单调递增，故
解得
综上．
故选B．  7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查函数值大小的比较、对数运算、指数运算，考查转化与化归思想，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养．
【解答】
解：，，，
．
故选D．  8.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查的是三角函数的图象与性质，同角三角函数间的基本关系，二倍角公式，函数的对称性，函数的最值，复合函数的单调性，诱导公式，属于难题．
用函数的对称性判断其对称轴即可判断，去绝对值并利用三角函数的基本关系转化为利用复合函数的单调性即可判断，求出的周期为，分与两种情况，去绝对值，利用复合函数的性质求其最值即可判断，先判断函数在上的零点情况，进而判断在上的零点情况得到结论．
【解答】
解：对于，因为，所以不是函数的对称轴，故A错误；
对于，当时，
令，则
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以，且在上单调递增，
综上，在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
对于，
所以函数的周期
当时，
令，则，，
易知在区间上单调递减，所以，的最大值为，最小值为，
当时，，
令，则，，
易知在区间上单调递增，所以，的最大值为，最小值为，
综合可知：函数的最大值为，最小值为，故C错误；
对于，因为是以为周期的函数，可以先研究函数在上的零点个数，易知，
当时，令，解得或，
在上无解，在上仅有一解，
当时，令，解得或，
在上无解，在上也无解，
综合可知函数在上有两个零点，分别为和，
又因为是以为周期的函数，所以，若，则在上恰有个零点，
又已知函数在上恰有个零点，所以，故D正确．
故选D．  9.【答案】 【解析】【分析】本题是以集合为背景的创新题型，考查集合中交集和并集的定义，属于拔高题．
由题意知，作为有理数集的两个子集：集合与集合，易判断它们中有无最大元素和最小元素，举例逐一分析即可．【解答】解：令，，显然集合中没有最大元素，集合中有一个最小元素，即选项A可能
令，，显然集合中没有最大元素，集合中也没有最小元素，即选项B可能
令，，显然集合中有一个最大元素，集合中没有最小元素，即选项D可能
同时，假设答案C可能，即集合、中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，
故选ABD．  10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式与相应函数和方程的关系，二次不等式的解法，分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的单调性与单调区间，利用基本不等式求最值，涉及知识点较多，属于较难题．
先根据题意，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求出，，再根据选项利用相关知识点逐一判断即可．
【解答】
解：对于，，不等式的解集为，即的解集为，
，，即，故A正确；
对于，由可得，设，
当时，，当且仅当时，取等号，即，
当时，，，当且仅当时，取等号，
时，，故无最大值，也无最小值，故B错误；
对于，由不等式的解集为，则不等式，
得或，即或，
解得解集为，故C正确；
对于，知，即
当时，是常函数，当时，单调递增，
若，则或，
解得或，
的取值范围是，故D正确．
故选ACD．  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查了抽象函数，不等式求解，函数的最值，函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性和数形结合思想．
结合题目条件得函数为偶函数，在上单调递减，利用偶函数在上单调递减对进行判断，利用偶函数在上单调递减，结合题目条件得，再利用不等式求解，对进行判断，利用题目条件作出函数的图象，再利用数形结合和不等式求解，对进行判断，利用的图象，结合函数的最值，对进行判断，从而得结论．【解答】解：因为函数定义在上的函数，
所以由：，得函数为偶函数．
又因为由知：，，当时，都有，
因此，，不妨设 ，有，即，
所以函数在上单调递减．
对于、因为函数为偶函数，所以，
而函数在上单调递减，因此，
即，因此A正确；
对于、因为定义在上的偶函数在上单调递减且连续，且，
所以，解得或，因此不正确；
对于、因为，函数为偶函数，所以．
因为函数为偶函数，在单调递减，
所以作函数的草图如下：

所以由，得或，因此C正确；
对于、由知：是函数的最大值，
因此，，使得，因此D正确，
故选ACD．  12.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了函数零点与方程的根，指数函数和对数函数的性质，基本不等式，考查了数形结合能力与计算能力，属于较难题．
依题意可得，，根据反函数的性质可得，再利用基本不等式判断，利用零点存在性定理得到、，再利用作差法及函数的单调性判断、．【解答】解：函数的零点为，函数的零点为，可得，，由与其反函数关于直线对称，与直线的交点为，
与直线的交点为，可得，即，故A正确；由基本不等式得，，而，等号不成立，故，故正确；因为，
，
所以，所以，
所以，故B错误；又，
，
所以则，
因为在上单调递增，
所以，故D正确；故选：．  13.【答案】 【解析】【分析】
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，三角函数的恒等变形，三角函数的最值，属于难题．
将已知条件合理变形是解题的关键．
【解答】
解：由题意，设中角，，所对应的边长度分别为，，，则有，
由可得，
整理得，
，
，
，
，
由正弦定理可得，
，则有．
故的面积



．
，，
当时，的面积取得最大值．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了不等式的恒成立问题，利用导数研究闭区间上函数的最值，掌握导数的意义是解题的关键由题意可得，设，求出导数和单调区间、极小值点和最小值，可令最小值为，解方程可得，，进而得到所求最小值．
【解答】
解：实数，对任意的，不等式恒成立，
即为，
设，，则，
令，可得，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，
可得和有且只有一个交点，
设交点为，
当时，，递增；
当时，，递减，
即有在处取得极小值，且为最小值，
即有，令的最小值，
可得，，
则当时，不等式恒成立，
则的最小值为．
故答案为．  15.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了函数的图象与性质、考查函数的单调性和奇偶性以及函数最值，考查分段函数解析式的求法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
根据题意得到，画出图象，数形结合即可得出答案．
【解答】
解：根据题意可得


画出的大致图象，

由图象可得：当时，，，正确；
由图象可得：函数不为奇函数，错误；
由图象知函数在上是增函数，因此函数在上为增函数，正确；
由图象易知函数的最小值为，无最大值．错误， 
其中正确的是．
故答案为．  16.【答案】 【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，注意条件的适当变形是关键，属于较难题．
对已知等式变形可得；则，利用基本不等式求得解析式的最小值即可．【解答】解：，，且满足，
整理得，，即，
；
则
，
根据基本不等式得，
，
当且仅当，即时取等号；
故的最小值为：．
故答案为：．  17.【答案】解：集合为“完美集合”，
令，，．
则集合、、中的元素满足，
集合不是完美集合，
对于集合：
设中元素之和为，中元素之和为，中元素之和为，
所以，
由题意：，
所以，，不是整数，
所以集合不是“完美集合”
由可知：，且，
由题意可得：为中最大元素，则，
中元素之和为，
所以，中元素之和为，必是，，，，中去掉某个元素后余下个元素的和，
共有五种情况：、、、、，
对应的值为：、、、、，
当时，，，集合，
当时，，，集合，
当时，，，集合，
或时，不符合题意，
所以正整数的值为或或． 【解析】本题考查集合的新概念型的问题，关键是读懂题意，考查分析推理与计算能力，属于较难题．
讨论集合和集合，根据完美集合的概念知集合，根据，可依次判断集合和集合是否为“完美集合”；
根据完美集合的概念求出的可能取值，然后逐一验证从而得到的值
 18.【答案】解：由题意，时，不等式等价于，显然恒成立．
当时，该不等式为一元二次不等式，又对恒成立，
根据其对应一元二次函数的图像性质可知，其开口必向下且对应一元二次方程无解，于是有

解得．
综上，根据分析可知实数的取值范围是．
由时，不等式等价于，显然对恒成立．
 下面对分两种情况考虑：
当时，
即考虑不等式对一切恒成立，
不等式可变形为，即，
解得．
 当时，
即考虑不等式对一切恒成立，
不等式可变形为，即，
解得．
综上所述，若不等式 对一切恒成立，
必有，
即． 【解析】本题考查了含参不等式恒成立问题，含参不等式对参数所在区间的恒成立问题属于较难题．
对参数分类讨论，并利用一元二次函数图像性质与其对应一元二次方程根的判别式可计算参数取值范围．
同考虑的情况，另外当时对不等式进行变形，将参数不等式化为常见的一元二次不等式，分类进行求解对这几种情况实数所在范围取交集运算，得到不等式对参数所在区间恒成立时实数的取值范围．
 19.【答案】解：对一切实数恒成立，．
故对一切实数恒成立，
当时，，不满足题意；
当时，则
综上所述，实数的取值范围为．
由可知，
，当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值．
．
当时，，解集为，
当时，，
方程的两个根为，
不等式的解集为．
当时，，
方程的两个根为，
当时，解集为
当时，解集为
当时，解集为．
综上所述，当时，不等式的解集为
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为． 【解析】本题考查了含有参数的不等式求解以及不等式恒成立问题，涉及利用基本不等式求最值，需要注意的是要对二次项系数进行讨论，属于较难题．
由题意可对进行讨论：当时，，不满足题意；
当时，则，即可求解．
先对原式进行化简分离参数，再利用基本不等式求最值；
讨论不等式是否为二次不等式，分和两种情况当时，再分和两种情况求解集．
 20.【答案】解：当时，，由已知，
又是奇函数，，
故，
当时，，
故
由，可得．
是奇函数，．
又是减函数，所以对恒成立．
令，则，
对恒成立．
方法一：令， ，
，解得．
实数的取值范围为．
方法二分离参数法对恒成立．
记，函数在区间上单调递减，
所以 ，
实数的取值范围为． 【解析】本题考查函数的奇偶性及函数解析式的求解，同时考查不等式恒成立问题及二次函数，属于拔高题．
当时，，再由，求解当时，，故可得答案；
由已知可得可得恒成立．令，，则，得对恒成立．
方法一：利用二次函数性质可得，解出即可；
方法二：分离参数可得对恒成立，记，由函数的单调性即可求出答案．
 21.【答案】解：由题意得
所以当时，，即，
解得，
所以，
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型．
由题意可得，
整理得，
两边同时取常用对数，得，
整理得，
将代入可得，
又因为，所以，
综上，至少进行次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标． 【解析】本题主要考查了指数函数的性质，函数模型的应用，考查学生数学应用意识，属于中档题．
将代入得，即可求解；
由题意，列不等式，求解即可．
 22.【答案】解：


，
，
即


，




． 【解析】本题考查两角和与差的三角函数及二倍角公式，同时考查数量积的运算及正弦函数的性质．
由图象相邻两条对称轴之间的距离为可得，利用两个向量的数量积公式，可求得函数的解析式．
利用中的函数解析式得到时，利用两角和与差的余弦公式解答即可．