2021-2022学年江苏省苏州市工业园区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省苏州市工业园区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 下列宣传疫情防控的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 经过路口，恰好遇到红灯 B. 人中至少有人的生日相同
C. 打开电视，正在播放动画片 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上

3. 在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是(    )

A. 抽取乙校初二年级学生进行调查
B. 在丙校随机抽取名学生进行调查
C. 随机抽取名老师进行调查
D. 在四个学校各随机抽取名学生进行调査

4. 如图，与位似，点是它们的位似中心，其中：：，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 若，则的取值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 正比例函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则点所在的象限是(    )

A. 四
B. 三
C. 二
D. 一

7. 我国南宋数学家杨辉所著田亩比类乘除算法中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为平方步，宽比长少步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，交于点，若，的周长等于，则平行四边形的周长等于(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足一个条件，是(    )

A. 四边形是梯形 B. 四边形是菱形
C. 对角线 D.

10. 如图，在中，，，，两顶点、分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点在第一象限内，连接，则的长的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. 化简的结果为______．
12. 一个不透明的布袋里装有个红球，个白球，个黑球，它们除颜色外其余相同从袋中任意摸出个球，恰好是白球的概率为______ ．
13. 已知，则______．
14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是______．
15. 如图，菱形的周长是，，则的长为______．

16. 如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，，测得，，，则该古城墙的高度是______

17. 如图，，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且，两点的横坐标分别是和，，则的值为______．

18. 如图，在矩形中，，，为的三等分点，是从出发，以每秒个单位的速度沿方向运动的动点，点运动秒后沿所在直线，将矩形纸片进行翻折，若点恰好落在边上，则的值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共64分）

19. 解方程：
    ；
    ．
20. 先化简再求值：，其中．
21. 某中学决定开展课后服务活动，学校就“你最想开展哪种课后服务项目”问题进行了随机问卷调查，调查分为四个类别：舞蹈；绘画与书法；球类；不想参加．现根据调查结果整理并绘制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图：
    
    请结合图中所给信息解答下列问题
    这次统计共抽查了______名学生；
    请补全条形统计图．
    该校共有名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中想参加类活动的人数．
22. 年月日“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲了，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富又上了一堂精彩的太空科普课．某学校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，将举办航天知识讲座．现决定从，，，四名志愿者中随机选取两名志愿者担任引导员．
    “志愿者被选中”是______事件填“随机”或“不可能”或“必然”；
    请用列表或画树状图的方法求出抽到，两名志愿者的概率．
23. 已知如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求四边形的面积．

24. 为支持“抗疫防病”工作，某口罩厂由甲、乙两车间承制防护型口罩．已知乙车间每天生产口罩数量是甲车间每天生产口罩数量的倍．如果两车间各自生产万只防护型口罩，乙车间比甲车间少用天．求甲车间每天生产这种防护型口罩的数量．
25. 如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
    分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
    过点作轴，垂足为点，连接，求的面积．
    直接写出时，的取值范围．

26. 如图，一盏路灯点距地面，身高的小明从距离路灯的底部点的处，沿所在的直线行走到点处时，小明在路灯下的影子长度缩短了，求小明行走的距离．

27. 已知，如图，在长方形中，，延长到点，使，连接．
    动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，求当为何值时，和全等？
    若动点从点出发，以每秒个单位的速度仅沿着向终点运动，连接设点运动的时间为秒，是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；否则，说明理由．

28. 【基础回顾】如图，是正方形中边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转后得到，若连接，则的形状为______；
    【类比探究】如图，在的条件下，设与相交于点，在上取点，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明；
    【联想拓展】如图，在中，，点在上，求，，之间存在的数量关系．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、经过路口，恰好遇到红灯，是随机事件，不合题意；
B、人中至少有人的生日相同，是必然事件，符合题意；
C、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，不合题意；
D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，在四个学校各随机抽取名学生进行调査最具有具体性和代表性．
故选：．
根据抽样调查的具体性和代表性解答即可．
此题考查抽样调查，关键是理解抽样调查的具体性和代表性．
 

4.【答案】 

【解析】解：与位似，
，
∽，
：：：，
，
，
故选：．
根据位似图形的概念得到，得到∽，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是位似变换，掌握位似的两个图形对应边平行是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：且，
．
故选：．
根据分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据函数的图象得：，．
所以在第四象限．
故选：．
利用函数得图象确定字母的正负号，再根据正负号确定点所在象限．
本题考查了函数得图象和系数的关系，掌握函数的图象和性质是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：矩形的宽为步，且宽比长少步，
矩形的长为步．
依题意，得：．
故选：．
由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
是的中位线，
，，
的周长等于，
，
，
，
▱的周长；
故选：．
由平行四边形的性质得，，，再证是的中位线，则，，求出，则，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理，求出是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，
；
同理，，
四边形是平行四边形；
A、若四边形是梯形时，且，则，这与四边形为菱形时邻边相矛盾；故本选项错误；
B、若四边形是菱形时，点四点共线；故本选项错误；
C、若对角线时，四边形可能是等腰梯形，证明同选项；故本选项错误；
D、当时，；所以平行四边形是菱形；故本选项正确；
故选：．
利用三角形中位线定理可以证得四边形是平行四边形；然后由菱形的判定定理进行解答．
本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
定义；
四边相等；
对角线互相垂直平分．
 

10.【答案】 

【解析】解：取中点，连接、，
则，
由勾股定理得，，
利用三角形两边之和大于点三边可知：，的长的最大值为，
故选：．
取中点，连接、，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的三边关系解答即可．
本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质、正确作出辅助线是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
先通分后计算即可．
本题考查分式的加减法，解题关键是熟知分式加减法的计算法则．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为一共个球，其中个白球，所以从袋中任意摸出个球，恰好是白球的概率．
故答案为：．
用白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
设，，
，
故答案为：．
利用设法，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
 

14.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
即：，
解得：，
关于的一元二次方程中，
，
故答案为：且．
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，且周长是，
，，
又，
是直角三角形且，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的周长是，，可知是直角三角形且，，再根据勾股定理可求出，再根据菱形性质可求出．
本题考查菱形的性质以及直角三角形勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质能推出是直角三角形且是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，，
，
∽，
，
，
，
该古城墙的高度是，
故答案为：．
根据题意可得，根据垂直定义可得，从而可证∽，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作轴，过点作轴，
，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
过点作轴，过点作轴，根据，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，，再根据，得，列出方程，解出即可．
本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的综合应用，其中辅助线的作法是解题关键．
 

18.【答案】或 

【解析】解：如图，过点作交于点，在上，

可得四边形是矩形，
，，
是的三等分点，，
由折叠性质得，
在中，，
，
设，则，
在中，，
解得：，
，
即；
如图，过点作交于点，在上，

可得四边形是矩形，
，，
在中，，
，
设，则，
，
在中，，
解得：，即，
．
综上所述，或．
故答案为：或．
分两种情况进行讨论：点在上；点在上，结合折叠的性质，可得直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
本题考查了矩形性质，翻折变换的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握相关的知识，运用方程思想是解题关键．
 

19.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
方程两边都乘以，得：，
解得，
检验：当时，，
原分式方程的解为． 

【解析】将左边因式分解，继而得出关于的一元一次方程，解之即可；
将分式方程化为整式方程，解之求出的值，继而检验得出答案．
本题主要考查解一元二次方程和分式方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

20.【答案】解：



，
当时，
原式

． 

【解析】利用分式的相应的运算法则把式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

21.【答案】
类人数为人，
补全条形统计图为：


根据题意得：
人，
答：想参加类活动的人有人 

【解析】解：这次统计共抽查的学生数是：名．
故答案为：；

见答案

见答案
由条形图和扇形统计图，用类别的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
用总人数减去其它类别的人数求出类的人数，从而补全条形统计图；
用乘以参加类的人数所占的百分比．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】随机 

【解析】解：“志愿者被选中”是“随机”事件；
故答案为：随机；

根据题意画树状图如下：

共有种等可能的情况数，其中抽到，两名志愿者有种，
则抽到，两名志愿者的概率是．
根据随机事件的定义即可得出答案；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及抽到，两名志愿者的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
在菱形中，，
，
四边形是矩形；
解：，，
，
，
是等边三角形，
，，
四边形是菱形，
，
四边形的面积． 

【解析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，主要利用了有一个角是直角的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形，菱形与平行四边形的关系是解题的关键．
先判断出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
根据两直线平行，同旁内角互补求出，判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出、，然后得到，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
 

24.【答案】解：设甲车间每天生产这种防护型口罩万只，则乙车间每天生产这种防护型口罩万只，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：甲车间每天生产这种防护型口罩万只． 

【解析】设甲车间每天生产这种防护型口罩万只，则乙车间每天生产这种防护型口罩万只，由题意：两车间各自生产万只防护型口罩，乙车间比甲车间少用天．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

25.【答案】解：将点代入，得：，
则反比例函数解析式为，
当时，，则点，
将点、代入得：，
解得：，
则一次函数解析式为；

如图，过点作，交的延长线于点，

点，点，
，，
则的面积．

点，点，
当时，的取值范围是或． 

【解析】将点坐标代入可得反比例函数解析式，据此求得点坐标，根据、两点坐标可得直线解析式；
过过点作，交的延长线于点，可得，，据此可得．
观察图象直接写出解集即可
本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积求法是解题的关键．
 

26.【答案】解：设，则，
，，，
，
∽，∽，
，，
解得，
，
答：小明行走的距离是． 

【解析】设，则，根据平行线的判定定理得到，根据相似三角形的性质得到，，求得，于是得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

27.【答案】解：若与全等，
或，
当时，则，
当时，则，
当为或时，和全等；
四边形是矩形，
，，，
在中，，
，
若为等腰三角形，
则或或，

当时，
，，
，
，
，
当时，
，
，
，
当时，
，
，
在中，．
，
，
，
，
，
综上所述：当或或时，为等腰三角形． 

【解析】若与全等，可得或，根据时间路程的关系可求的值；
根据题意可得：，根据勾股定理可求的长；分，，三种情况讨论，可求的值．
本题主要考查了勾股定理的应用，全等三角形和等腰三角形的判定与性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
 

28.【答案】等腰直角三角形 

【解析】解：【基础回顾】四边形为正方形，
，，，
顺时针旋转，得，
，，
为等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形；
【类比探究】．
证明：将顺时针旋转后得到，
，，
，
≌，
．
【联想拓展】．
将逆时针旋转后得到，连接，则是等腰直角三角形，

由旋转的性质可知，，
，
，
，
，
，
．
【基础回顾】由正方形的性质得出，，，由旋转的性质得出，，则可得出结论；
【类比探究】证明≌，由全等三角形的性质可得出结论；
【联想拓展】将逆时针旋转后得到，连接，则是等腰直角三角形，由旋转的性质得出，，证出，由勾股定理可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．