初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.5 用二次函数解决问题精品复习练习题

5.5用二次函数解决问题苏科版初中数学九年级下册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场，其中若新建墙与总长为，则该梯形储料场的最大面积是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度与飞行时间满足函数表达式则下列说法中正确的是(    )

A. 点火后和点火后的升空高度相同
B. 点火后火箭落于地面
C. 点火后的升空高度为
D. 火箭升空的最大高度为

3. 向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为公尺，且时间秒与高度公尺的关系为、为常数，且若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则下列哪一个时间的高度是最高的？(    )

A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒

4. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据单位：有下列结论：
   ；
   池底所在抛物线的解析式为；
   池塘最深处到水面的距离为；
   若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
   则最深处到水面的距离减少为原来的．
   其中结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某商品现在的售价为每件元，每天可卖出件．市场调查反映：如果调整价格，每降价元，每天可多卖出件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

6. 小伟在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分如图，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是

A.
B.
C.
D.

7. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度单位：与足球被踢出后经过的时间单位：之间的关系如表：下列结论不正确的是(    )

A. 足球距离地面的最大高度超过
B. 足球飞行路线的对称轴是直线
C. 点在该抛物线上
D. 足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降

8. 为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度一段时间内，温度与时间的函数关系满足，当时，该地区的最高温度是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 九年级班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来米长的围栏，准备围成一边靠墙墙足够长的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形底边靠墙、半圆形这三种方案，最佳方案是(    )

A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 方案或方案

10. “闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，“可食用率”与加工煎炸时间单位：分钟近似满足的函数关系为：是常数，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(    )

A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

11. 如图是一座拱桥两个连续的拱，轴左侧的拱可用表示单位长度为，已知轴两侧的拱关于轴对称，则两个拱的最高点之间的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．某校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙墙长米，其它三面用防疫隔离材料搭建，但要开一扇米宽的进出口不需材料，共用防疫隔离材料米搭建的隔离区的面积最大为平方米．(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 某快餐店销售、两种快餐，每份利润分别为元、元，每天卖出份数分别为份、份该店为了增加利润，准备降低每份种快餐的利润，同时提高每份种快餐的利润售卖时发现，在一定范围内，每份种快餐利润每降元可多卖份，每份种快餐利润每提高元就少卖份如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______ 元
14. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面米时，水面宽米，水面下降______米，水面宽米．

15. 亮亮推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系为，则小明推铅球的成绩是______
16. 如图，用长的篱笆围成一个一面靠墙的矩形场地，墙的最大长度为则场地的最大面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

17. 某超市经销一种商品，每千克成本为元，经试销发现，该种商品的每天销售量千克与销售单价元千克满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

求千克与元千克之间的函数表达式；
为保证某天获得元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

18. 农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同以每棵树上桃子的数量个为横坐标、桃子的平均质量克个为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线附近如图所示．
    求直线的函数关系式；
    市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格元与平均质量克个满足函数表达式在的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？

19. 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，米，米，抛物线的顶点到的距离是米，以所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系．
    

求抛物线的表达式；

已知从某时刻开始的小时内，水面与河底的距离单位：米随时间单位：时的变化满足函数关系，且当水面到顶点的距离不大于米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

20. 某超市经销一种商品，每件成本为元．经市场调研，当该商品每件的销售价为元时，每个月可销售件，若每件的销售价每增加元，则每个月的销售量将减少件．设该商品每件的销售价为元，每个月的销售量为件．
    求与的函数表达式；
    当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
21. 某个体商店某日购进、两种商品共件，其中，种商品件设、的总售价分别为、它们与的关系均为一次函数．已知销售种商品的件数与的关系如表所示；种商品总价元与件的关系图象如图所示：
    又已知购进件种商品和件种商品共需元；购进件种商品和件种商品共需元．

求购进、两种商品的单价各是多少？
设销售、两种商品获得的总利润为元，求与间的函数关系式；
当日购进的件、两种商品全部售完，
求总利润的最大值；
在总利润最大的情况下，店主分别从销售每件、商品的利润中向助学基金捐元、元．若捐款数不超过总成本的，求的最大值精确到．

22. 某商家购进一批产品，成本为每件元，采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现：线下销售每件售价为元时可以销售件，每涨价元则少售出件．设线下售价为每件元且为整数，月销售量为件．
    直接写出与的函数关系式；
    若线上销售每件售价始终比线下便宜元，且线上的月销售量固定为件，试问：当为多少时，线上和线下月总利润总最大？并求出此时的最大利润；
    在的条件下，若月总利润不低于元，则的取值范围为______．
23. 精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在天的试销中，每天的销售量与销售天数满足一次函数关系，部分数据如下表：

设第天的售价为元千克，关于的函数关系满足如上图像：已知种植销售草莓的成本为元千克，每天的利润是元．利润销售收入成本
将表格中的最后一列补充完整；
求关于的函数关系式；
求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

则四边形为矩形，，，
则，，
在中，，
，
，，
梯形面积，
当时，．
即长为时，使梯形储料场的面积最大为；
故选：．
过点作于，则四边形为矩形，，，则，，由直角三角形的，性质得出，得出，，由梯形面积公式得出梯形的面积与之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．
此题考查了矩形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、当时，；当时，；所以点火后和点火后的升空高度不相同，此选项错误；
B、当时，，所以点火后火箭离地面的高度为，此选项错误；
C、当时，，此选项错误；
D、由知火箭升空的最大高度为，此选项正确．
故选：．
分别求出、、、时的值可判断、、三个选项，将解析式配方成顶点式可判断选项．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
 

3.【答案】 

【解析】解：此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，
抛物线的对称轴是：，
炮弹所在高度最高时：
时间是第秒，
最接近，
故选：．
根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，炮弹所在高度越高的值越接近顶点的横坐标．
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键
 

4.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，，
故错误；
设池底所在抛物线的解析式为，
将代入，可得，
故拋物线的解析式为；
故正确；
，
当时，，
故池塘最深处到水面的距离为，
故错误；
当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时，
将代入，得，
可知此时最深处到水面的距离为，
即为原来的，
故正确．
故选：．
根据图象可以判断；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出即可判断；把代入解析式求出，再用即可判断；把代入解析式即可判断．
本题考查抛物线的实际应用，体现了数学建模、数学抽象、数学运算素养．
 

5.【答案】 

【解析】解：设每件商品降价元，每天的销售额为元．
依题意有：，
，
当时，最大，最大值为，
最大销售额为元．
故选：．
设每件商品降价元，每天的销售额为元，由题意可得到和的二次函数关系，利用配方法可求最值．
本题考查二次函数的应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用的知识点，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
如图，实际是求的距离，而已知，所以只需求出即可； 而的长，又是点的横坐标，所以把点的纵坐标代入解析式即可解答．
【解答】
解：把点纵坐标代入中得：
解得：舍去负值，
即，
，
令解：把代入中得：
舍去，
米．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：由题意，抛物线的解析式为，把代入可得，
，
足球距离地面的最大高度为，故正确，
抛物线的对称轴，故正确，
时，，
点在该抛物线上，故不正确，
当时，，当时，，
足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降，故正确．
故选：．
由题意，抛物线经过，，所以可以假设抛物线的解析式为，把代入可得，可得，由此即可一一判断．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：

，
当时，温度有最大值，最大值为．
当时，该地区的最高温度是．
故选：．
将温度与时间的函数关系式写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：方案：设米，则米，

则菜园面积，
当时，此时菜园最大面积为米；
方案：当时，菜园最大面积米；

方案：半圆的半径，
此时菜园最大面积米米；
故选：．
分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．
本题考查了计算同周长的几何图形的面积的问题，根据周长为米计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将图象中的三个点、、代入函数关系中，
，
解得，
所以函数关系式为：，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：
，
则当分钟时，可以得到最佳时间．
故选：．
将图象中的三个点、、代入函数关系中，可得函数关系式为：，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查轴对称的性质，二次函数的应用，二次函数的图像与性质，掌握轴对称的性质，二次函数的图像与性质是关键．
先求得轴左侧抛物线的对称轴，再根据轴对称的性质可知，轴右侧抛物线的对称轴即可解答．
【解答】
解：轴左侧抛物线的对称轴为直线，
由轴对称的性质可知，轴右侧抛物线的对称轴为直线，
两个拱的最高点之间的距离是．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式，再求出最值．设这个隔离区一边长为米，则另一边长为米，得出，即可求出最大值．
【解答】
解：如图：

设这个隔离区一边长为米，则另一边长为米．
则，
墙长米
当时，面积的最大，最大为．  

13.【答案】 

【解析】解：设每份种快餐降价元，则每天卖出份，每份种快餐提高元，则每天卖出份，
由题意可得，，
解，
总利润

，
，
当时，取得最大值，
即两种快餐一天的总利润最多为元．
故答案为：．
设每份种快餐降价元，则每天卖出份，每份种快餐提高元，则每天卖出份，由于这两种快餐每天销售总份数不变，可得出等式，求得，用表达出，结合二次函数的性质得到结论．
本题属于经济问题，主要考查二次函数的性质，设出未知数，根据“这两种快餐每天销售总份数不变”列出等式，找到量之间的关系是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：以水平面所在的直线为轴，以过拱顶且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，为原点，

由题意可得：米，坐标为，
通过以上条件可设顶点式，
把点坐标代入抛物线解析式得，
，
解得：，
所以抛物线解析式为，
当时，，
水面下降米，
故答案为：．
根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把代入抛物线解析式得出，即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：令函数式中，，
，
解得，舍去．
即铅球推出的距离是．
故答案为：．
根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可．
本题考查了二次函数的应用，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设矩形的长为，场地面积为，根据题意得，
．
，开口向下，在时，随的增大而增大，
，
时，取得最大值，最大值为．
故答案为：．
根据题意设矩形的长为，场地面积为，根据题意列出函数关系，根据二次函数的性质结合已知条件求的最大值即可．
本题考查了二次函数的的应用，实际问题中，注意自变量的取值范围是解题的关键．
 

17.【答案】解：设与之间的函数表达式为，将表中数据、代入得：
，
解得：．
与之间的函数表达式为．
由题意得：，
整理得：，
解得，．
答：为保证某天获得元的销售利润，则该天的销售单价应定为元千克或元千克．
设当天的销售利润为元，则：

，
，
当时，．
答：当销售单价定为元千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
依题意可列出关于销售单价的方程，然后解一元二次方程组即可；
利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
 

18.【答案】解：设直线的函数关系式为：，
把和代入得：
，
解得：，
直线的函数关系式为；
设该树上的桃子销售额为元，由题意，得；
，
，
当时，桃子的销售额最大，最大值为元． 

【解析】先设出直线的函数关系式，再用待定系数法求解即可；
根据每棵树上的桃子销售额每个桃子的平均价格该棵树上的桃子数以及每个桃子的平均价格与平均质量满足函数表达式列出函数关系式，根据函数的性质求最值即可．
本题考查二次函数的应用以及用待定系数法求函数解析式，关键是根据每棵树上的桃子销售额每个桃子的平均价格该棵树上的桃子数列出函数解析式．
 

19.【答案】解：点到的距离是米，
，
设抛物线的解析式为，由题意得，
，
解得，
；
水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为米，
，
，
，
解得，，
小时．
答：需小时禁止船只通行． 

【解析】本题主要考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合得到的最大高度．
根据抛物线特点设出二次函数解析式，把坐标代入即可求解；
水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为，把代入所给二次函数关系式，求得的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．
 

20.【答案】解：根据题意，，
与的函数表达式为：；
设每个月的销售利润为，
由知：，
，
根据题意可知，，则，
每件销售价为元时，获得最大利润；最大利润为元． 

【解析】本题考查的是一次函数和二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．
根据等量关系“利润售价进价销量”列出函数表达式即可．
根据中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．
 

21.【答案】解：设商品的进货单价为元，商品的进货单价为元，
根据题意得：，
解得：，
答：、每件商品的进价各是元、元，
由题意得，种商品件，则种商品件，
由表和图可知，种商品的销售单价为元，
当时，种商品的销售单价为元，
此时，，
当时，种商品的销售单价为元，
此时，，
综上，．
，
的值越小，的值越大，
当时，时，有最大值，为，
当时，时，有最大值，为，
综上，总利润的最大值为元．
当时，由题意得，
 ，
解得，
的最大值为，
． 

【解析】设购进种商品的单价是元，购进种商品的单价是元，根据“购进件种商品和件种商品共需元；购进件种商品和件种商品共需元”列方程组求解即可．
先由题意得出、种商品的销售单价，再根据总利润等于的总利润的总利润列函数关系式即可．
根据一次函数的增减性进行分析，可得越小越大，即可求解；当时，根据题意列出不等式，求解即可．
本题考查了列二元一次方程组解决实际问题、一次函数的应用、一次函数的最值问题及列不等式解决实际问题，准确理解题意是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：根据题意，可得且为整数；
设线上和线下月总利润为元，
则，
，且且为整数，
当时，取得最大值，最大利润为元；
根据题意，得，
解得，
故答案为：．
根据“线下销售每件售价为元时可以销售件，每涨价元则少售出件”即可表示出与的函数关系式；
设线上和线下月总利润为元，根据每件的利润件数总利润即可表示出与的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出最大利润；
根据月总利润不低于元，列不等式求解即可．
本题考查了一次函数的应用，二次函数的性质和应用，根据题意表示出函数关系式并灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：设每天的销量为，
每天的销售量与销售天数满足一次函数关系，
，
当时，，时，
，
解得，
即，
故答案为：；
由函数图象知，当时，与成一次函数，且函数图象过，，
设，
，
解得，
，
当时，，
关于的函数关系式为；
由题意知，当时，
，
此时当时，有最大值为，
当时，
，
此时当时，有最大值为，
综上所述，销售草莓的第天时，当天的利润最大，最大利润是元．
设每天的销售量为，则用待定系数法可求出每天的销售量与销售天数的一次函数关系式，根据关系式填表即可；
根据图象写出分段函数即可；
根据函数关系列出和之间的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
本题主要考查一次函数的图象和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握一次函数的图象和性质及二次函数的应用是解题的关键．