苏科版九年级下册6.3 相似图形精品练习

6.3相似图形苏科版初中数学九年级下册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形时，整幅书画最美观此时，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 对于题目：“在边长为和的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图所示，最大值为；乙方案：如图所示，最大值为下列选项中说法正确的是(    )

A. 甲方案正确，周长和的最大值错误
B. 乙方案错误，周长和的最大值正确
C. 甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确
D. 甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误

3. 如图，点、、、分别在▱的、、、边上，，，与交于点，连结交于点，连结，设▱、▱、▱、▱的面积分别为、、、，若▱∽▱，则只需知道，就能求的面积．(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如下图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形图中阴影部分，如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

7. 如图，矩形被分成个正方形和个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形∽矩形，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列命题：

所有的等腰三角形都相似；

有一对锐角相等的两个直角三角形相似；

四个角对应相等的两个梯形相似；

所有的正方形都相似．

其中正确命题的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 下列各组中的两个图形，一定相似的是(    )

A. 有一个角对应相等的两个菱形
B. 对应边成比例的两个多边形
C. 两条对角线对应成比例的两个平行四边形
D. 任意两个矩形

10. 下列结论中，错误的有(    )
    所有的菱形都相似；     放大镜下的图形与原图形不一定相似；  
    等边三角形都相似；     有一个角为度的两个等腰三角形相似；  
    所有的矩形不一定相似．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11. 如图，矩形相框的外框矩形的长为，宽为，上下边框的宽度都为，左右边框的宽度都为则符合下列条件的，的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为(    )

A.  B.  C. ， D. ，

12. 如图，和都是等边三角形，点在的高上，且，则与的相似比是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，若正方形与正方形的相似比为，则的值为______．

14. 两个相似多边形的周长比是：，其中较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为______．
15. 如图，四边形∽四边形，则 ______ ．

16. ▱与▱相似，，的对应边，▱的面积为则▱的面积是______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

17. 如图，已知求的大小和的长．

18. 如图，、、分别是三边的中点．与相似吗？为什么？

19. 我们知道，如果两个四边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．仅有对应角相等的两个四边形不一定相似，如正方形与两邻边长为和的矩形就不是相似四边形．
    仅有对应边成比例的两个四边形______相似填“一定”、“不一定”或“一定不”；
    如图，在四边形和四边形中，，，，，求证：四边形∽四边形．
     

20. 如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且若矩形∽矩形，且相似比为，求的长．

21. 如图，矩形的长，宽若沿矩形四周有宽为的环形区域，则图中所形成的两个矩形与相似吗请说明理由．
     

22. 如图，是菱形的对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形∽菱形，连接、．
     

求证：

若，，，求的长．

23. 如图，在▱中，与交于点，、、、分别是、、、的中点，连接、、、，得到▱求证：▱▱．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意，，，，
矩形∽矩形，
，
，
解得，
故选：．
由矩形∽矩形，推出，由此构建方程即可解决问题．
本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图中，由题意可以假设两个矩形的长宽分别为，；，，
则有，
，
两个矩形的周长的和为，
甲的方案正确，周长和的最大值正确，
如图中，由题意可以假设两个矩形的长宽分别为，；，，
则有，
两个矩形的周长的和为，
乙的方案正确，周长和的最大值正确，
故选：．
利用相似多边形的性质分别求出甲乙的方案中，的两个矩形的周长，即可判断．
本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，学会利用参数解决问题吗，属于中考常考题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，▱∽▱，设相似比，，，则，，
，，，，
∽，
，
，
，
过点作于点，则，
，
，
，
故选：．
证明，可得结论．
本题考查相似多边形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【解答】
解：依题意，在矩形中截取矩形，

则矩形∽矩形，
则，
设，得到：，
解得：，
即，
所截矩形的面积：．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】解：使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
，
解得或舍去，
，
故选B．
 

6.【答案】 

【解析】解：设原来矩形的长为，宽为，
则对折后的矩形的长为，宽为，
得到的两个矩形都和原矩形相似，
：：，
解得：：．
故选：．
表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，，，，
，，
矩形∽矩形，
，即，
，
，，
矩形∽矩形，
．
故选：．
设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，，，，利用相似的性质得到，即，则，所以，，然后根据相似的性质求的值．
本题考查了相似图形：把形状相同的图形称为相似图形．相似图形面积的比等于相似比的平方．也考查了中心对称图形．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的形状必须完全相同进而判断是解题关键．
根据相似图形的性质以及定义分别判断得出即可．
【解答】
解：所有的等腰三角形形状不一定相同，故不一定都相似，故此选项错误；
有一对锐角相等的两个直角三角形相似，根据已知可得出三角形对应角相等，故此选项正确；
四个角对应相等的两个梯形相似；在梯形内，做一腰的平行线，得一小梯形，显然不相似，故此选项错误；
所有的正方形都相似，此选项正确．
故正确的有个．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】略
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
利用相似的定义逐一的对五个选项进行判定．本题考查了相似图形的判定，解题的关键是要掌握相似图形的概念与判定方法．
【解答】

解：：菱形的两组对角不一定分别对应相等，故所有的菱形不一定都相似；故错误．
：放大镜下的图形与原图形只是大小不相等，但形状相同，所以它们一定相似；故错误．
：等边三角形的三个内角相等，三条边都相等，故所有的等边三角形都相似；故正确．
：有一个角为度的两个等腰三角形一定相似．因为它们的顶角均为，两锐角均为，根据“两内角对应相等的两个三角形相似”即可判定．故正确．
：只有长与宽对应成比例的两个矩形相似，故正确．
故选B．

11.【答案】 

【解析】解：如图，当矩形∽矩形时，则有，
，
可得，选项B符合题意，
当矩形∽矩形时，则有，
，
推不出：或或，或，故选项A，，，都不满足条件，此种情形不存在．
矩形∽矩形，可得，
故选：．
分两种情形，利用相似多边形的性质求解即可．
本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

12.【答案】 

【解析】略
 

13.【答案】 

【解析】解：正方形与正方形的相似比为，
不妨假设，，
，
，，
，
，
≌，
，设则，
在中，，
，
整理得，
解得或舍弃，
，，
，
故答案为．
由正方形与正方形的相似比为，不妨假设，，证明≌，推出，设则，在中，根据，构建方程即可解决问题．
本题考查相似多边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：两个相似多边形的周长比是：，
两个相似多边形的相似比是：，
两个相似多边形的面积比是：，
较小多边形的面积为，
较大多边形的面积为，
故答案为：．
根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可．
本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形∽四边形，
，，
，
故答案为：．
根据相似多边形的对应角相等求出，，然后再利用四边形的内角和等于求出的度数．
本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等，熟记性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：平行四边形与平行四边形相似，，对应边
两平行四边形的相似比是：，
相似图形面积的等于相似比的平方，
即：平行四边形的面积：平行四边形的面积：，
平行四边形的面积为．
故答案为：．
根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方可得．
本题考查相似多边形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：因为，

所以它们的对应角相等，对应边成比例．

由此，得，，
．

【解析】见答案
 

18.【答案】解：由三角形中位线的性质，知

，，；，，．

于是，在▱、▱、▱中，

，，．

又因为，

所以．

【解析】判定两个三角形相似，需要知道它们的各角分别相等，各边成比例．
 

19.【答案】不一定 

【解析】解：仅有对应边成比例的两个四边形不一定相似；
故答案为：不一定；
连接，，如图，
，
∽，
，，，
，，
，
，
，
同理，
∽，
，
，
，，，

四边形∽四边形．
直接判断即可；
只要证明各角对应相等、各边对应成比例即可．
本题考查的多边形的相似，解题的关键是证明各边对应成比例，各角对应相等．
 

20.【答案】解：矩形∽矩形，且相似比为，
，
四边形为矩形，，，
． 

【解析】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．也考查了矩形的性质．利用相似多边形的性质得到，而根据矩形的性质得到，从而利用比例性质得到，，然后计算即可．
 

21.【答案】解：不相似．
理由：根据题意，得，，， ．
，．
， 
，
即矩形与矩形的各边不对应成比例．
矩形与矩形不相似． 

【解析】见答案
 

22.【答案】证明：菱形菱形，
 
，即 
，，
．
．

解：连接，交于点，则．

， 
．
．
 ．
，
．
．
．

【解析】见答案
 

23.【答案】证明：F、分别是、的中点，
，．
，．
同理，可得 ，，，
， ，，
， ，．
 ，，，， ．
▱▱． 

【解析】见答案