初中数学苏科版九年级下册第6章 图形的相似6.5 相似三角形的性质优秀课后测评

6.5相似三角形的性质苏科版初中数学九年级下册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在▱中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，于点若，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

2. 已知菱形，，是动点，边长为，，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，中，，，且∽，连接，将沿方向平移至，连接，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，▱中，，，将▱绕点旋转至▱的位置，使点落在上，交于点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，点，，分别在的边，，上，连接，，，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在等边中，为上一点，为上一点，且，，，则的边长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知平行四边形，点是延长线上一点，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知点、、、、、分别在的三边上，如果六边形是正六边形，下列结论中不正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，将一张面积为的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片．根据图中标示的长度，则矩形纸片的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、，与交于点，并与圆交于点，连接、，给出下列个结论，其中正确的结论有(    )
    是的中点：：≌

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得，点在上，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

12. 菱形中，，，，分别是，上的动点，且，连接，交于，则下列结论：
    ≌；
    为等边三角形；
    的最小值为；
    若，则．
    其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在中，，矩形的顶点、在上，点、分别在、上，若，，且，则的长为______ ．

14. 如图，是的中线，点在上，延长交于点若，则 ______ ．

15. 如图，在中，点、分别在边、上，且，与四边形的面积的比______ ．

16. 从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在中，，是的最美分割线．若为等腰三角形，则的度数为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

17. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
    求证：∽；
    若，，求的长．
     

18. 如图，与交于点，，，为延长线上一点，过点作，交的延长线于点．
    求证≌；
    若，，，求的长．

19. 如图，为线段上一点，以为圆心，长为半径的交于点，点在上，连接，满足．
    求证：是的切线；
    若，求的值．

20. 如图，在中，，点是的中点，以为直径的与边交于点，连接．
    判断直线与的位置关系，并说明理由；
    若，，求的直径．

21. 如图，和的面积相等，点在边上，交于点，，求的长．
     

22. 如图，平行四边形中，点在上，平分，过点作，交于点．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求四边形的面积．

23. 如图，已知：正方形中，一个以点为顶点的绕着点旋转，角的两边分别与边、的延长线交于点、，联结．
    如图，若被对角线平分时，求证：．
    如图，求证：．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】略
 

2.【答案】 

【解析】解：过点作交于点，

，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
．
故选：．
过点作交下点点，易证是等边三角形，则，由，进而解答即可．
本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质、等边三角形性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：连接，

，，
，
∽，
，，，
，
，
∽，
，，
由平移得：
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
故选：．
连接，在中，利用锐角三角函数的定义可得，再利用相似三角形的性质可得，，，从而利用等式的性质可得，进而可证∽，然后利用相似三角形的性质可得，，再利用平移的性质可得，，从而利用平行线的性质可得，最后证明∽，从而可得，进而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平移的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：

，，
．
▱绕点旋转至▱的位置，
，，
，
，
．
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
在中，，
，，
，
∽，
．
故选：．
过点作于点，由等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和旋转的性质可求得、、、和的度数；进而可判定为等腰直角三角形，设，用含的式子分别表示出、和；由可判定∽，由相似三角形的性质可得比例式，将相关线段代入计算即可得出答案．
本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、解直角三角形和相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，，
，故A选项正确，
，
选项不正确；
，故B选项不正确；
，而不一定等于，故C选项不正确；
故选：．
根据平行四边形的性质得出，，，根据相似三角形的判定得出∽，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质逐个判断即可．
本题主要平行四边形的性质，平行线分线段成比例等相关知识，利用平行四边形的性质得出是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
即，，
∽；
，
，，
，
，
的边长为．
故选：．
根据等边三角形性质求出，，推出，即可证得∽，据此解答即可，．
本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出∽，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
，故A错误；
，
，故B正确；
，
∽，
，故C错误，
，
∽，
，
，
∽，
，
，故D错误．
故选：．
根据平行四边形的性质得到，，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：六边形是正六边形，
，
即是等边三角形，
，
故A选项结论正确，不符合题意；
同理得出，
即是等边三角形，
，
即，
，
，
故B选项结论正确，不符合题意；
，
故C选项结论不正确，符合题意；
，
故D选项结论正确，不符合题意；
故选：．
根据六边形是正六边形，得出是正三角形，然后判断各个选项即可．
本题主要考查正多边形和圆的知识，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作于点，交于点，

的面积为，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
∽，
，即，
，
，
，
故选：．
过点作于点，交于点，由的面积为，求出，由矩形的性质得出，，证明∽，得出，求出，即可求出矩形的面积．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握三角形面积公式，矩形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在与中，
，
≌，
，
，
，
由垂径定理，
得：，
即是的中点，故正确；
如图，过分别作于，于，

，，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
≌是错误的，故不正确；
过分别作于，
由知，，
，
，
，
，故正确；
由知，，
，
，故正确．
故选：．
先证明≌，得，，由垂径定理，得：，即是的中点；
分别过分别作于，于，由余弦三角函数和勾股定理算出了，，再算面积，即得：：；
只要证明题干任意一组对应边不相等即可；
余弦三角函数和勾股定理算出了，即可得．
本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由旋转可得，≌，
，，
，
又，
，
又，
∽，
，即，
，
，
故选：．
根据，，即可判定∽，再根据相似三角形的性质，即可得到的长，进而得到的长．
本题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交于点，

四边形是菱形，，，
，，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
结论符合题意；
≌，
，，
，
，即，
是等边三角形，
结论符合题意；
是等边三角形，
要求的最小值，即是求的最小值，
当时，最小，
在中，，，
，
的最小值是，
结论符合题意；
，，，
，，
，
，即，
，
，
，
结论不符合题意；
故选：．
过点作交于点，由菱形的性质结合已知条件得出，，得出是等边三角形，进一步即可证明≌，可判断结论；由≌，得出，，由，可得，得出是等边三角形，可判断结论；
由是等边三角形，得出要求的最小值，即是求的最小值，当时，最小，利用解直角三角形求出此时，可判断结论；由，，，得出，，由平行线分线段成比例定理求出，进一步求出，可判断结论结论；即可得出答案．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，设，则，
四边形是矩形，
，
∽，
，即，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
即，
解得：或舍，
，
故答案为：．
根据矩形的性质得到，证明∽，可得，证明≌，得到，在中，利用勾股定理求出值即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到的长．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，是的中线，
点是的中点，
，
过点作交于，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
过点作交于，可得∽，所以，得到；再根据∽，得，所以，即．
本题考查了相似三角形的判定与性质，过点作，构造相似三角形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，则设，，，，
，，
，
又，
．
相似比为，面积比，
设，则，
，
：．
故答案为：．
先由，设，，，，证明，又，可证明进而可得相似比为，面积比，从而可得：：．
本题考查了相似三角形的判定与性质，证明得出相似比是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当时，如图，

，
∽，
，
．
当时，如图，，

∽，
，
．
当时，如图，，

∽，
，
不合题意．
综上所述，或．
根据为等腰三角形，需要分三种情况讨论：当时，如当，当，然后结合最美分割线的定义，可得∽，可以分别求出的度数．
本题考查了相似三角形的性质以及等腰三角形的性质，理解最美分割线的定义是解决本题的关键．
 

17.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
∽；
解：是的中点，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
∽，
，
． 

【解析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．
由矩形性质得，进而由平行线的性质得，由于，再根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
由是的中点，求得，再由勾股定理求得，最后根据相似三角形的性质求得．
 

18.【答案】证明：在和中，

≌；
解：由得：≌，
，
，，
，
，
∽，
，
即，
解得：． 

【解析】由证明≌即可；
由全等三角形的性质得，再证∽，得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】证明：连接，

，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：，
，，，
，
，
∽，
． 

【解析】由得，可证得∽，根据相似三角形的性质得，根据圆周角定理得，则，由得，等量代换可得，即，即可得出结论；
由可得，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质即可得出的值．
本题考查三角形相似的判定与性质，考查切线的判定，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定等知识点的综合运用．
 

20.【答案】证明：连接，如图，

，为的中点，
，
，
又，
，
而，
，即，
，
与相切；

由得，，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
直径的长为． 

【解析】连接，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由，为的中点得到，则利用等腰三角形的性质得，，由于，所以，即，于是根据切线的判定定理即可得到与相切；
根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．
 

21.【答案】解：，
．
．
和的面积相等，
．
又中边上的高与中边上的高相同，
结合三角形的面积公式，得，
，
．
． 

【解析】见答案
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
四边形是菱形；
解：如图，过点作于，

，
，
，
，
由知四边形是菱形，
，
四边形的面积． 

【解析】根据平行四边形的性质以及角平分线的定义可得，进而可得结论；
过点作于，在中，由可得的长，再由菱形的面积公式即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
平分，
，
，
≌，
；
四边形是正方形，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
由得：，
∽，
，
，
，
． 

【解析】根据正方形的性质可得，再利用对顶角相等可得，然后根据角平分线的定义可得，从而证明≌，利用全等三角形的性质即可解答；
根据正方形的性质可得，再利用三角形的外角和已知，可得，然后再利用的结论可证明∽，利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．