初中数学苏科版九年级下册5.2 二次函数的图象和性质课堂检测

5.2二次函数的图像与性质苏科版初中数学九年级下册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是(    )

A. 或 B.  C.  D.

3. 如图，二次函数的图像开口向下，且经过第三象限的点若点的横坐标为，则一次函数的图像大致是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 设圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线长为，满足，这样的圆锥的侧面积(    )

A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值

5. 已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离始终相等，如图，点的坐标为，是抛物线上一个动点，则周长的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 点在以轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最大值等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若将双曲线向下平移个单位后，交抛物线于点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 二次函数的图象平移后经过点，则下列平移方法正确的是(    )

A. 向左平移个单位，向下平移个单位
B. 向左平移个单位，向上平移个单位
C. 向右平移个单位，向下平移个单位
D. 向右平移个单位，向上平移个单位

9. 将如图所示的两条水平直线，中的一条作为轴，且令向右为正方向；两条铅垂线，中的一条作为轴，且令竖直向上为正方向，并在此坐标平面上画二次函数的图象，关于轴和轴的叙述，正确的是(    )

A. 为轴，为轴 B. 为轴，为轴
C. 为轴，为轴 D. 为轴，为轴

10. 如图，是二次函数的图象，下列结论：
    二次三项式的最大值为；
    ；
    使成立的的取值范围是或；
    一元二次方程的两根之和为．
    其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11. 抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知，，是抛物线上的点，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知函数若，则的值为          ．
14. 定义：将两个不相交的函数图像在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”如果抛物线与抛物线的“和谐值”为，试写出一个符合条件的函数解析式：______．
15. 在平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，，若对于任意的满足，且此时所对应的函数值的最小值为，则______．
16. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：；；；其中；若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有______个．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

17. 已知抛物线与直线都经过点．

求、的值

指出该抛物线的顶点坐标和对称轴

当在什么范围内时，二次函数中的随的增大而增大

18. 如图，点、在二次函数的图像上，点、关于轴对称，且求点、的坐标．

19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点．
     

求的值及点、的坐标

连接、、，求四边形的面积．

20. 已知函数为常数．
    若，当时，求的最大值．
    若，当时，有最大值，求．
21. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
    当，时，求抛物线与轴交点的坐标及的值；
    点在抛物线上．若，求的取值范围及的取值范围．
22. 已知二次函数为常数，且的图象与轴交于点，顶点为，点的坐标为．
    求和的值可用含的式子表示；
    已知点是抛物线上的点，，当且时，求的最大值．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点．抛物线经过点，且交线段于点，．
    求的值．
    求点的坐标．
    向左平移抛物线，使得抛物线再次经过点，求平移后抛物线的函数解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：抛物线，
关于抛物线对称轴轴对称点的坐标为
又，，
．
故选：．
依据抛物线的对称性可知：在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴在轴右侧，
，
．
抛物线．
将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：，
将代入，得，
解得舍去，．
故选：．
根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将代入，求得的值．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是写出平移后抛物线解析式．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．根据二次函数的图象可以判断、、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】
解：由二次函数的图象可知，
，，
当时，，
的图象在第二、三、四象限，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，
，
圆锥的侧面积，
当时，有最大值
故选：．
由，得出，代入圆锥的侧面积公式：，利用配方法整理得出，，再根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了圆锥的计算，二次函数的最值，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．熟记圆锥的侧面积：是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质以及三角形三边关系，根据三角形的三边关系确定点的位置是解题的关键．
过点作轴于点，交抛物线于点，由结合三角形三边关系，即可得出此时周长取最小值，再由点、的坐标即可得出、的长度，进而得出周长的最小值．
【解答】
解：过点作轴于点，交抛物线于点，此时周长最小值，

、，
，，
周长的最小值．  

6.【答案】 

【解析】解：点在以轴为对称轴的二次函数的图象上，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，
故选：．
根据题意，可以得到的值，和的关系，然后将、作差，利用二次函数的性质，即可得到的最大值，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：双曲线向下平移个单位后的函数为，
交抛物线于点，
，整理得，，
令，且随的增大而增大．
当时，，
当时，，
当时，，
若，则的取值范围为：．
故选：．
根据题意可得出平移后的函数的解析式，由两个函数交于点可得出关于的方程，利用方程的根的正负关系可得出结论．
本题主要考查函数的综合应用，涉及两个函数的交点于零的关系，将函数交点问题转化为方程的解的问题是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．
B、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．
C、平移后的解析式为，当时，，函数图象经过，本选项符合题意．
D、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．
故选：．
求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，当时，，
直线为轴，
，
抛物线的对称轴为直线，
直线是轴，
故选：．
由抛物线与轴的交点坐标为，配方成顶点式得出其对称轴为直线，据此判断可得．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线解析式判断出抛物线的对称轴位置，与坐标轴的交点，开口方向等特征．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象经过，可设抛物线解析式为，
将代入得，
解得，
，
函数最大值为，正确．
抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
抛物线经过，
抛物线经过，
时，或，正确．
当时，方程有个不相等的实数根，
抛物线关于直线对称，
，正确．
故选：．
通过待定系数法可得抛物线解析式，从而判断，由抛物线的对称性可得抛物线经过，，结合图象可判断，由二次函数的对称轴可得，从而判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
由抛物线顶点式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，
时，函数值最大，
又到的距离比到的距离小，
．
故选：．
求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】略
 

14.【答案】 

【解析】解：将抛物线向上平移个单位可得抛物线，
故答案为：．
抛物线向上或向下平移个单位求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是理解题意，掌握二次函数图象的平移规律．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
当时，，
，方程无解．
当时，将代入得，
令，
解得舍或，
故答案为：．
将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴与开口方向分类讨论顶点为图象最低点或直线与抛物线交点为最低点，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个坐标为，
把代入，可得：
，
解得，
，故正确；
抛物线开口方向向下，
，
，，
，故错误；
抛物线与轴两个交点，
当时，方程有两个不相等的实数根，
，故正确；
，
，
，
又，，
，
即其中，故正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
可知二次函数，在时，随的增大而减小，
，
，故错误，
正确的有，共个，
故答案为：．
根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
 

17.【答案】解：直线经过点，
，即点的坐标为．
抛物线经过点，
 

抛物线的顶点坐标为，对称轴为轴

【解析】见答案
 

18.【答案】略 

【解析】略
 

19.【答案】解：抛物线与轴交于点，
，解得．
．
令，则，解得， 
、

根据题意，得、，
、、，
，，，，．
  

【解析】见答案
 

20.【答案】解：，
，
，
随增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为；
抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，随的增大而增大，
时，有最大值，
，
． 

【解析】由题意得，根据一次函数的性质求解即可；
先求出抛物线对称轴为直线，则当时，随增大而增大，求解即可．
本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟知一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：将点，代入抛物线解析式，
，
，
，整理得，，
抛物线的对称轴为直线；
，
，
抛物线与轴交点的坐标为．
，
，
解得，
，
，即．
当时，；
当时，．
的取值范围． 

【解析】将点，代入抛物线解析式，再根据得出，再求对称轴即可；
再根据，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定的取值范围．
本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．
 

22.【答案】解：二次函数的顶点坐标为，
，；即，．
由知，点的坐标为，点坐标为，
，
点的坐标为，
，
，
，即：，
解得，，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
当时，点在对称轴右侧，
抛物线开口向上，在对称轴的右侧随的增大而增大，
当时，． 

【解析】直接利用抛物线的顶点坐标的公式计算；
利用坐标系中两点间的距离公式求出，，再根据，之间的关系得到关于的方程，解方程求出的值，得到二次函数解析式，然后根据二次函数的增减性及的取值范围求出的最值．
本题考查了二次函数的图像与性质及平面直角坐标系中两点间距离的求法，熟练掌握坐标系中两点间的距离公式是解题的关键．
 

23.【答案】解：令，
解得，，
点坐标为，
将代入得，
解得．
令，
解得，，
将代入得，
点坐标为．
将代入得，
解得，，
抛物线经过，
抛物线向左平移个单位后再次经过点，
． 

【解析】令，可得抛物线与轴的交点坐标．
联立直线与抛物线方程可得点坐标．
将代入抛物线解析式可得抛物线与直线的交点坐标，从而可得抛物线向左平移个单位可经过点，进而求解．
本题考查二次函数与几何变换，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数平移的规律．